對一道課后習(xí)題引發(fā)概率問題的思考

朱艷

[摘 要]對于教材上關(guān)于球賽獲勝的概率問題，教師提出了不同的觀點(diǎn)，教材對相關(guān)概率知識也做了介紹。綜合分析后可知，在計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率時，不能用已經(jīng)發(fā)生事件的結(jié)果去推斷未發(fā)生事件的結(jié)果。

[關(guān)鍵詞]球賽;獲勝;概率;判斷

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2019）17-0027-02

判斷生活事件發(fā)生的可能性，是數(shù)學(xué)概率計(jì)算的初等內(nèi)容。小學(xué)生由于沒有學(xué)過排列組合知識，無法應(yīng)用排列組合法算出一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)指定基本事件發(fā)生的可能性，所以只能應(yīng)用一一枚舉法將所有基本事件的可能性全部列出，清點(diǎn)數(shù)量，然后數(shù)出特定目標(biāo)事件的數(shù)量，最后再用除法計(jì)算出比例，即該事件發(fā)生的概率。但是，概率在一定程度上也能通過多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)中同一事件出現(xiàn)的頻率來反映，有時某些概率類型只能通過這一方法反映，如球賽的獲勝概率，因?yàn)檫@種概率與球隊(duì)的踢球水平緊密相關(guān)，而球隊(duì)的實(shí)力是很抽象的，無法量化。

一、對球賽獲勝概率問題的幾種觀點(diǎn)

人教版教材第十二冊104頁第7題是一道關(guān)于球賽獲勝概率的題目。題目如下：

甲、乙兩個足球隊(duì)對壘5場，比賽成績?nèi)缦卤怼Ｈ绻麅申?duì)再進(jìn)行第六回合的交鋒，請預(yù)測哪一個球隊(duì)取勝的概率大 為什么？

備課時，數(shù)學(xué)教研組圍繞究竟“哪個隊(duì)取勝的概率大？”這一問題展開激烈辯論，正反雙方各執(zhí)一詞，相持不下，存在很大分歧。

觀點(diǎn)一：兩隊(duì)取勝的概率相等，都是“[12]”。理由：《教師教學(xué)用書》提到：“從兩隊(duì)對戰(zhàn)的歷史記錄分析，均是勝兩場、平一場、輸兩場，旗鼓相當(dāng);從這個角度分析，再戰(zhàn)一場，兩隊(duì)取勝的概率相等，均為[12]。”

觀點(diǎn)二：乙隊(duì)取勝的概率大。理由：《教師教學(xué)用書》提到：“細(xì)心觀察表中數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)，在最后兩場對戰(zhàn)中，乙隊(duì)連連贏得比賽，表明最近乙隊(duì)遇強(qiáng)愈強(qiáng)，勢頭正猛，而甲隊(duì)則戰(zhàn)力衰退，節(jié)節(jié)失利，因此做出預(yù)測：乙隊(duì)贏得第六場比賽的概率更大。這種分析也合情合理?！?/p>

觀點(diǎn)三：甲、乙兩隊(duì)取勝的概率相等，都是[25]。理由：分析已經(jīng)分出勝負(fù)的五場比賽的比分結(jié)果，兩隊(duì)各有勝兩局、負(fù)兩局、平一局的賽績，因此，兩隊(duì)取勝的場數(shù)均占球賽總場數(shù)的[25]，兩隊(duì)?wèi)?zhàn)平的場數(shù)占總場數(shù)的[15]。

觀點(diǎn)四：甲、乙兩隊(duì)取勝的概率相等，均為[13]，平局的概率也是[13]。理由：由于兩隊(duì)對陣，每場比賽只會出現(xiàn)三種結(jié)果，即甲勝乙負(fù)、甲負(fù)乙勝、甲乙平局，所以，每一種情況均占所有可能出現(xiàn)結(jié)局的[13]，換言之，兩隊(duì)取勝的概率相等，都是[13]，戰(zhàn)成平局的可能性也是[13]。

二、教材對于概率相關(guān)知識的介紹

現(xiàn)在通用的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中有關(guān)概率知識的課程，教學(xué)一般分為三個階段：第一個階段，讓學(xué)生明白有些事件的發(fā)生是必然的，有些事件的發(fā)生則是偶然的或者隨機(jī)的;會用“可能”“一定”“不可能”等詞來陳述事件發(fā)生的概率。第二個階段，讓學(xué)生明白隨機(jī)事件發(fā)生的概率是可以區(qū)分大小的，也就是說可能發(fā)生的事件，其可能性是不一樣的，有的事件發(fā)生的概率較大，也就是發(fā)生得較為頻繁，而有的事件發(fā)生的概率較小，也就是發(fā)生得較為稀少。第三個階段，教會學(xué)生利用分?jǐn)?shù)形式來定量刻畫隨機(jī)事件發(fā)生的概率大小。前兩個階段只是定性分析事件發(fā)生的概率的特征，這部分課程被安排在人教版教材第五冊。第三個階段是定量刻畫事件發(fā)生的概率大小，這部分課程被安排在人教版教材第九冊。

判定事件發(fā)生的概率都是一種預(yù)測，都是對還未發(fā)生但即將發(fā)生的事件做出科學(xué)預(yù)判，對已然發(fā)生的事件而言，只存在確定性，不存在“概率”一說。以拋擲硬幣為例，拋幣之前可以猜想“正面向上”和“正面向下”的概率都是[12]，拋幣之后，由于不是正面向上就是正面向下，兩種結(jié)局必定出現(xiàn)一個，因此，如果正面向上，則“正面向上”和“正面向下”都是確定的，只不過，“正面向上”碰巧發(fā)生了，“正面向下”不巧沒有發(fā)生。求某隨機(jī)事件發(fā)生的概率，其實(shí)就是要算出在大量重復(fù)試驗(yàn)后，該基本事件出現(xiàn)的次數(shù)占實(shí)驗(yàn)總次數(shù)的比例。例如，一個仿制的骰子，六個面上分別刻印著1、2、 2、3、3、 3六個數(shù)字。將骰子拋擲，待骰子落定，數(shù)字2朝上的概率是[13]（或[26]）。這是因?yàn)閷Ⅶ蛔訏仈S后，每個面朝上的機(jī)會均等，寫有數(shù)字2的面有2個，所以數(shù)字2朝上的概率是2[÷]6=1[÷]3=[13]。

三、已知事件不影響未發(fā)生事件的概率判斷

筆者認(rèn)為，上述四種不同的觀點(diǎn)中，觀點(diǎn)四是正確的，即甲、乙兩隊(duì)取勝的概率相等，都是[13]。其余三種觀點(diǎn)看起來頭頭是道、鞭辟入里，仔細(xì)分析后發(fā)現(xiàn)是經(jīng)不起推敲的，因?yàn)樗鼈兌挤噶艘粋€“致命”的錯誤，那就是將兩球隊(duì)的歷史賽績作為判斷下一場球賽勝負(fù)的依據(jù)，這是不合邏輯的。這是因?yàn)?，即使是某一球?duì)連勝五場，幾乎完勝對手，也無法確保該球隊(duì)下一場比賽還是必勝。在全球各類大型足球賽事中，著名的弱隊(duì)?wèi)?zhàn)勝強(qiáng)隊(duì)的戰(zhàn)例也是存在的。這正應(yīng)了那句戲言：“足球是圓的，什么情況都有可能發(fā)生?！?/p>

再以拋幣為例，如果已經(jīng)拋擲4次硬幣，剛巧每回都是“正面向上”，那么，第五次拋幣“正面向上”的概率照舊是[12]，連續(xù)拋幣五次“正面向上”的概率僅僅是[12×12×12×12×12=132]，而絕不能因?yàn)榍懊?次“正面向上”的結(jié)果，就認(rèn)定第五次投擲結(jié)果也是“正面向上”。

綜上所述，在計(jì)算隨機(jī)事件發(fā)生的概率時，不能簡單地將重復(fù)實(shí)驗(yàn)中同一事件發(fā)生的頻率作為獨(dú)立實(shí)驗(yàn)時該事件發(fā)生的概率，也就是說，不能用已經(jīng)發(fā)生事件的結(jié)果去推斷未發(fā)生事件的結(jié)果，只能用一次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)后指定事件可能出現(xiàn)的所有次數(shù)除以全部基本并列基本事件的總數(shù)。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 張澤慶.促進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)積累與應(yīng)用的策略初探：以“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（19）：6-8.

[2] 丁海峰.小學(xué)數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值與教學(xué)例析[J].小學(xué)教學(xué)參考，2016（35）：50-51.

[3] 康云龍.小學(xué)數(shù)學(xué)概率教學(xué)的問題與對策[J].江西教育，2015（30）：58-59.

[4] 韋小玲.小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)中存在的問題探討[J].小學(xué)教學(xué)參考，2014（27）：31.

（責(zé)編 黃春香）