特殊四邊形中的折疊問題探析

周潔

特殊四邊形中的折疊問題在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，是近年來一個比較熱門的考點.這個主題內(nèi)容是專門利用折疊的本質(zhì)和性質(zhì)來研究特殊四邊形與折疊結(jié)合的問題，達到訓(xùn)練以及考查學(xué)生綜合運用知識的能力.

折疊性質(zhì)的探索是通過手工操作進行的，操作的過程借以發(fā)現(xiàn)軸對稱的本質(zhì)，借助軸對稱發(fā)現(xiàn)了全等，總結(jié)出折疊的性質(zhì).這個知識點是以生活中常遇的問題為載體開展折疊問題的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際問題抽象為數(shù)學(xué)的折疊問題和軸對稱問題，再利用性質(zhì)將折疊和特殊四邊形結(jié)合的問題化為全等的問題.其實折疊問題從本質(zhì)上來說是軸對稱問題，作為初三學(xué)生，在此之前其實也經(jīng)常見到折疊問題，但是解決這方面的經(jīng)驗尚顯不足，也沒有過專項的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，特別是面對不論是從圖形上看，還是從題目的已知條件上分析都顯得比較復(fù)雜和煩瑣的特殊四邊形問題時，更會感到陌生，無從下手.

事實上，折疊的本身就是一項探究性的數(shù)學(xué)活動，是獲得證明題依據(jù)的一種嘗試，但是學(xué)生在遇到綜合性問題中的應(yīng)用問題時經(jīng)常感到迷茫，經(jīng)常容易忽略折疊對應(yīng)的全等，常常發(fā)出“怎么想到的”的疑問.學(xué)生由于認知經(jīng)驗不足，教學(xué)時，教師可以讓學(xué)生首先思考，親自動手折疊，為學(xué)生搭建認知的橋梁，在證明時，教師要適時地點撥學(xué)生，讓學(xué)生體會到折疊的作用.解決這一問題的難點是如何利用折疊的性質(zhì)解決特殊四邊形中比較復(fù)雜的折疊問題.下面通過一個教學(xué)設(shè)計為例來談一談解決這一問題的方法.

一、探索折疊的性質(zhì)

問題1 學(xué)習(xí)折疊我們先從會折疊開始，讓我們通過手工，從觸覺、本質(zhì)上認識一下折疊，準(zhǔn)備好道具.

活動1 如果我們身邊沒有量角器或三角尺，你能作出45度的角嗎？

師生活動：學(xué)生動手操作，利用矩形、正方形能比較容易地得到45度角.

活動2 如果我們身邊沒有量角器或三角尺，你能作出30度的角嗎？

師生活動：最初學(xué)生會直接將直角分成三份制造30度，先讓學(xué)生明確這種做法的錯誤性，再利用30度角的性質(zhì)推出折疊結(jié)果.

強調(diào)：數(shù)學(xué)上的知識一定要理論上可以證明.我們是借助折疊過程中不變的邊和角去證明的，而不是手工直接翻折而來的.

設(shè)計意圖：讓學(xué)生利用軸對稱性質(zhì)折疊出這些角度，體會折疊的本質(zhì)和性質(zhì).

總結(jié)：經(jīng)過我們的手工操作，你能得出折疊具有哪些特征呢？性質(zhì)是什么？

二、習(xí)題初步體驗

折疊的過程其實就是軸對稱的過程，折疊前后對應(yīng)圖形的全等是解題的關(guān)鍵，尤其在特殊的四邊形與折疊知識的結(jié)合中更為突出，例如，我們可以看一下這樣的題目.

試一試：

1.如圖1所示，將正方形ABCD沿BE對折，使點A落在對角線BD上的點A′處，連接A′C，則∠BA′C=度.

2.如圖2所示，在矩形紙片ABCD中，AB=2 cm，點E在BC上，且AE=CE.若將紙片沿AE折疊，點B恰好與AC上的點B1重合，則AC=cm.

師生活動：學(xué)生嘗試回答，并互相補充，最后達成共識.折疊問題對應(yīng)的全等是解決問題的關(guān)鍵所在.

設(shè)計意圖：通過簡單問題的探索，讓學(xué)生將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，初步體會折疊性質(zhì)的簡單應(yīng)用，也初步體會折疊問題在對應(yīng)全等方面的考題.正方形里面有折疊，折疊里面有全等，全等就可以推出邊和角的相等，我們就是利用這些環(huán)環(huán)相扣的知識求出答案的.

師生活動：在解決這些問題時我們都應(yīng)用了一個非常重要的過程——折疊，折疊相當(dāng)于已知條件，折疊的性質(zhì)經(jīng)常作為證明題的理論依據(jù).

三、習(xí)題鞏固練習(xí)

問題2 如圖3所示，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4.將紙片折疊，使頂點A與邊CD上的點E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點G，F(xiàn)，AE與FG交于點O.求證：A，G，E，F(xiàn)四點圍成的四邊形是菱形.

師生互動：這個問題不論是從圖形上還是題干的已知條件分析，都顯得比較綜合和復(fù)雜，所待求解的問題也不是折疊問題中常見的邊和角的問題，學(xué)生獨立思考，回憶折疊性質(zhì)的應(yīng)用和菱形的證明方法，并嘗試回答.

學(xué)生敘述，方法多樣，教師展示，共同探討.

設(shè)計意圖：這個問題只是涉及的知識點比較廣泛，其折疊推出的結(jié)論并沒有改變，需要我們?nèi)ゾC合四邊形性質(zhì)和折疊的特性去綜合性地解決問題，遇到這樣的問題時，我們需要頭腦鎮(zhèn)定，抓住本質(zhì)，完成問題.

四、師生活動總結(jié)

教師與學(xué)生一起回顧所學(xué)的主要內(nèi)容，并請學(xué)生總結(jié)一下問題：

（a）本節(jié)課研究問題中的基本過程是什么？

（b）折疊在所研究問題中起到了什么作用？

教師小結(jié)：折疊問題導(dǎo)出的性質(zhì)比較簡單，希望每個同學(xué)都清楚并靈活運用，多注意、多思考、多觀察、多整理，正確在這類問題中得到高分.

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生把握研究問題的基本策略、基本思路和基本方法，體會折疊在解決特殊四邊形中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的重要價值.

基于以上分析，解決折疊問題的重點是利用折疊的性質(zhì)探索特殊四邊形中的折疊問題.同時在利用折疊解決特殊四邊形中的折疊問題時，又讓同學(xué)們體會圖形的變化在解決綜合性特殊四邊形問題中的重要作用，感悟數(shù)學(xué)中重要的轉(zhuǎn)化思想.為了達到這個內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)，我們可以通過讓學(xué)生自己動手實驗發(fā)現(xiàn)折疊的性質(zhì)，從而加深對折疊性質(zhì)的由來的理解.從而讓學(xué)生能在折疊問題的情境中利用性質(zhì)證明特殊四邊形中的問題，進而達到教學(xué)目標(biāo).