依托函數(shù)的概念，拓展與應(yīng)用兩個重要極限公式

殷玫

摘要：極限是微積分的基石，兩個重要極限公式是極限運(yùn)算的重點和難點，又是基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)出的理論依據(jù)。教師在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生運(yùn)用兩個重要極限公式的過程中，發(fā)生了認(rèn)識上的誤區(qū)和使用上的困難。因此，在教學(xué)上通過具體的實例，引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤所在及尋找解決問題的對策：從函數(shù)的兩要素出發(fā)，采用“先滿足公式的形式，然后再平衡”的原則，幫助學(xué)生解決極限中遇到的困難。

關(guān)鍵詞：拓展;應(yīng)用;兩個重要極限公式

Abstract：Limit is the foundation of differential calculus.Two important limit formulas are key and difficult points of limit calculus.They are also the theoretical basis for the derivation of the basic derivative formula of elementary functions.In the teaching practice，the teachers find that the students have some misunderstandings and difficulties in using the two important limit formulas.Therefore，through concrete examples in teaching，the students are guided to analyze where the mistakes are and how to solve the problems：starting from the two elements of the function，The principle of"Satisfy the formula first and then balancing it"is adopted to help students solve the difficulties encountered in the limit.

Key words：expansion;application;two important limit formulas.

高等數(shù)學(xué)微積分知識的學(xué)習(xí)，都是圍繞著函數(shù)的概念展開而進(jìn)行的學(xué)習(xí)。因此，函數(shù)概念應(yīng)該貫穿在微積分各知識點的教學(xué)過程之中。函數(shù)的連續(xù)性、函數(shù)的可導(dǎo)向性、函數(shù)的可積性都是由函數(shù)的極限來定義的，作為函數(shù)極限的兩個重要極限公式，毋庸置疑，在微積分知識的學(xué)習(xí)中占有重要的地位。

一、對兩個重要極限公式的認(rèn)識

1.極限是微積分的基石。微分運(yùn)算實際上就是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，積分運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，而導(dǎo)數(shù)是由極限來定義的。因此，極限是微積分的基石。兩個重要極限公式，它是導(dǎo)出微積分的導(dǎo)數(shù)公式的理論依據(jù)。由公式

可以直接推導(dǎo)出三角函數(shù)和反三角函數(shù)求導(dǎo)公式。由公式

可以推導(dǎo)出對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。這樣，就可以推導(dǎo)出基本初等函數(shù)的十六個導(dǎo)數(shù)公式。

2.學(xué)生認(rèn)識上的誤區(qū)。公式

在運(yùn)用時，學(xué)生時常會出現(xiàn)：只注重公式的外表即函數(shù)表達(dá)式，沒有重視其“內(nèi)涵”即自變量的變化趨勢，從而造成公式使用錯誤;機(jī)械的背公式，缺乏對其正確理解，錯誤的認(rèn)為在公式使用時，只是在自變量趨于零時方可使用。出現(xiàn)兩個認(rèn)識上的誤區(qū)：

（1）公式的運(yùn)用中，自變量x只能是趨于零。

（2）函數(shù)表達(dá)式只要滿足公式形式，不論自變量x是在什么變化過程中，其極限的值都是1。

公式

在運(yùn)用時;（1）學(xué)生對函數(shù)表達(dá)式化為公式形式感到困難。（2）對自變量的變化過程不能靈活的變換，比較教條。因此，教師在這兩個重要極限公式的教學(xué)時，既要重視公式的外表，即“對應(yīng)法則”，又要重視公式的“內(nèi)涵”，即自變量變化過程。也就是說兩重要極限公式的運(yùn)用，關(guān)鍵要抓住函數(shù)的兩要素。而函數(shù)的二要素學(xué)生比較熟悉而且容易掌握，于是，在此尋找突破口，突破難點，突出重點。這樣，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)遇到困難時，要學(xué)會化繁為易的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生在輕松的學(xué)習(xí)情緒下去探索和研究數(shù)學(xué)知識。

二、依托函數(shù)概念，拓展與應(yīng)用兩個重要極限公式

針對學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)識上的誤區(qū)，教師在教學(xué)時必須采取有效措施，消除學(xué)生在學(xué)習(xí)上錯誤認(rèn)識。眾所周知，事實勝于雄辯。我們可以通過具體的實例來剖析問題所在，并且尋找解決問題的對策。

1.公式

的拓展與應(yīng)用

例1.求下列函數(shù)的極限

解：（1）令t=x-a，則當(dāng)x→a時，t→0

原式

（2）令t =

，則當(dāng)x→∞時，t→0

原式

在此引導(dǎo)學(xué)生觀察其兩個函數(shù)極限的特征：

兩題目中自變量x的變化趨勢都不是公式中的x→0，它說明了運(yùn)用公式時，自變量x的變化趨勢，既可以是x→a，也可以x→∞。

（2）觀察函數(shù)表達(dá)式的特征，即函數(shù)對應(yīng)法則的特征，可以描述為

。

由此可知，重要公式

只要從函數(shù)的二要素：對應(yīng)法則、定義域下的自變量的變化過程這兩個方面，去檢索并驗證。同時，公式可以推廣為

（1）形式。

如何正確的理解和靈活的運(yùn)用拓展后的公式呢？

由函數(shù)的概念，我們知道，函數(shù)有兩要素：定義域和對應(yīng)法則。

當(dāng)定義域和對應(yīng)法則一旦確定，函數(shù)的性質(zhì)就隨之確定了。因此重要極限公式（1）的正確運(yùn)用，其關(guān)鍵要看自變量的變化過程和對應(yīng)法則是否滿足公式的條件：

1）定義域下自變量的變化過程：不論自變量x是在什么過程中變化，必須保證φ（x）→0（即φ（x）是無窮小量）。這樣，避免討論自變量的各種變化過程，以達(dá)到了化繁為易的目的，并且快速掌握運(yùn)用公式的要點，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)。