基于微課的高等數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)研究

廖春艷 趙艷輝 唐偉國(guó)

摘 要：本節(jié)課是基于微課的教學(xué)設(shè)計(jì)，為了將抽象的概念簡(jiǎn)單化，在教學(xué)設(shè)計(jì)中利用第二宇宙速度問題創(chuàng)設(shè)情境，切入主題。通過探索實(shí)際問題與無窮限反常積分的聯(lián)系，明確無窮限反常積分的應(yīng)用思路和方法，進(jìn)而提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的畏懼感。同時(shí)，挖掘高等數(shù)學(xué)中課程思政元素，將高等數(shù)學(xué)上出新氣象。

關(guān)鍵詞：教學(xué)設(shè)計(jì);高等數(shù)學(xué);無窮限反常積分;課程思政

《高等數(shù)學(xué)》是面向高等院校理工類本科專業(yè)學(xué)生開設(shè)的一門公共基礎(chǔ)課，著重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理以及分析問題解決問題的能力，是開展數(shù)學(xué)素質(zhì)教育、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的重要課程。當(dāng)下，移動(dòng)設(shè)備的普及以及網(wǎng)絡(luò)信息精彩紛呈，學(xué)生總是不由自主被其吸引，就算教學(xué)經(jīng)驗(yàn)豐富的教師要很好地把控課堂也變得非常艱難，面對(duì)新的形式，高校教師應(yīng)如何進(jìn)行有效地教學(xué)？

微課是近幾年興起的一種新的教學(xué)模式，它以短小精煉的形式呈現(xiàn)一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)，將抽象的概念形象化、生動(dòng)化、直觀化、生活化，使得整個(gè)教學(xué)過程妙趣橫生。由于它獲取方式的便捷性，因此學(xué)生可以不受時(shí)間、空間的約束反復(fù)觀看視頻來進(jìn)行學(xué)習(xí)，此外，微課時(shí)間短，學(xué)生的注意力能夠短時(shí)集中，合理有效地將微課應(yīng)用到教學(xué)中，有利于提高學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高教學(xué)質(zhì)量。同時(shí)，高校教師也應(yīng)做好準(zhǔn)備，抓住機(jī)遇，主動(dòng)探究利用現(xiàn)代化信息技術(shù)有效組織課堂教學(xué)，改進(jìn)教學(xué)方式、提高授課效果，提高學(xué)生的高等數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備。下面，就以高等數(shù)學(xué)中無窮限反常積分教學(xué)設(shè)計(jì)為例，談一下筆者的教學(xué)體會(huì)與實(shí)踐。

一、 無窮限反常積分的教學(xué)設(shè)計(jì)

（一） 教學(xué)設(shè)計(jì)的總體思路

微課設(shè)計(jì)的初衷是將枯燥晦澀的學(xué)習(xí)內(nèi)容科學(xué)化、生活化、趣味化、合理化，這種教學(xué)模式有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性并提高教學(xué)效果，授課教師和學(xué)生教學(xué)相長(zhǎng)。

本節(jié)課以嫦娥奔月、牛郎織女、萬戶升天等古代人類對(duì)太空充滿向往的故事引入新課，再通過當(dāng)代的中國(guó)航空事業(yè)的發(fā)展，以及衛(wèi)星對(duì)我們的生活所帶來的翻天覆地的影響切入新課，引出利用火箭發(fā)射衛(wèi)星案例，順利進(jìn)入今天的主題，展開教學(xué)。并以火箭發(fā)射的物理背景作為新課探究知識(shí)點(diǎn)，誘導(dǎo)學(xué)生對(duì)新問題進(jìn)行分析，展開對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)。本節(jié)課主要采用啟發(fā)式、探究式、研討式教學(xué)，始終從問題出發(fā)，層層設(shè)疑，誘發(fā)學(xué)生解決問題的欲望，引導(dǎo)學(xué)生在不斷思考中獲取知識(shí)。教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生通過小組討論獲得合理解決方案，當(dāng)一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問題通過學(xué)生合作探究得到答案時(shí)，定能增強(qiáng)學(xué)生解決問題的成就感。

（二） 教學(xué)設(shè)計(jì)的過程

1. 從生活實(shí)例出發(fā)——概念的引入

荷蘭著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家漢斯·弗賴登塔爾認(rèn)為：“數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實(shí)，存在于現(xiàn)實(shí)，并且應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)，數(shù)學(xué)過程應(yīng)該是幫助學(xué)生把現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程”。教師在教學(xué)中始終將知識(shí)學(xué)習(xí)與生活實(shí)際緊密結(jié)合，鮮活的生活場(chǎng)景有助于學(xué)生將已有的知識(shí)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。通過嫦娥奔月、牛郎織女、萬戶飛天等同學(xué)耳熟能詳?shù)墓适禄仡欀袊?guó)古人的飛天夢(mèng)，利用中國(guó)古代的飛天夢(mèng)和現(xiàn)代人的飛天夢(mèng)描述，為后面的火箭發(fā)射案例的引出做鋪墊，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。

案例引出：在地球表面垂直發(fā)射火箭，要使火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球，初速度v0至少要多大？

2. 剖析問題——新知探究

通過對(duì)案例的分析得到12mv20=∫∞RmgR2x2dx，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)要求初始速度v0，必須先計(jì)算出這個(gè)無窮限積分∫∞RmgR2x2dx，這個(gè)積分結(jié)構(gòu)上類似定積分，但它的積分區(qū)間是無窮區(qū)間，該如何來計(jì)算呢？

引導(dǎo)學(xué)生把握好兩個(gè)思想，第一，轉(zhuǎn)化的思想。將未知的無限區(qū)間上的積分轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的有限區(qū)間上的定積分。第二，極限的思想，利用極限的思想理解無窮限積分反常積分的概念。所以這個(gè)無窮限積分∫∞RmgR2x2dx的實(shí)質(zhì)就是求定積分的極限問題limx→∞∫xRmgR2x2dx，由此引出無窮區(qū)間上反常積分的概念。這部分內(nèi)容的設(shè)計(jì)主要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法，掌握問題求解的思路。

3. 定義梳理——探究實(shí)質(zhì)

師生共同梳理、分析、總結(jié)無窮限反常積分的定義。在原函數(shù)存在的情況下，又利用牛—萊公式，得出結(jié)論：無窮限反常積分計(jì)算問題的實(shí)質(zhì)為計(jì)算定積分的極限存在與否。同時(shí)，我們已經(jīng)得出了函數(shù)f（x）定義在[a，∞）的無窮限反常積分，如果函數(shù)f（x）定義在（-∞，b]上，又該如何定義？函數(shù)f（x）定義在（-∞，∞）上，又該如何定義？

提出問題，啟發(fā)學(xué)生思考探究，模擬已知的定義得出其他情形無窮限反常積分的定義。針對(duì)其他兩種情形，需進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)定義中“定積分+極限”的思想，并且指出∫+∞-∞f（x）dx的收斂性與收斂時(shí)的值，都和實(shí)數(shù)a的選取無關(guān)。由于∫+∞-∞f（x）dx是由∫+∞af（x）dx和∫b-∞f（x）dx兩類無窮積分來定義的，因此，f（x）在任何有限區(qū)間v，u（-∞，+∞）上必須是可積的。

給出反常積分的幾何意義。啟發(fā)學(xué)生回顧定積分的幾何意義為求曲邊梯形面積，無窮限反常積分的幾何意義如何描述？利用多媒體，給出無窮限反常積分的幾何意義：求開口曲邊梯形的面積。進(jìn)一步加深概念的理解。

4. 實(shí)例計(jì)算——強(qiáng)化定義

給出經(jīng)典例題：討論無窮積分∫+∞a1xpdx的斂散性。

引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算實(shí)例，加深反常積分定義及幾何意義的理解，明確并強(qiáng)調(diào)反常積分計(jì)算原則，并指出要計(jì)算無窮限反常積分，關(guān)鍵只要計(jì)算定積分的極限是否存在即可，強(qiáng)調(diào)p=1的時(shí)候的特殊性，得出結(jié)論：p>1，收斂;p≤1，發(fā)散，并指出這道例題的結(jié)論經(jīng)常用來判斷一些無窮限反常積分的斂散性。同時(shí)，這道例題的講解也為后續(xù)引例的求解做鋪墊。

5. 引例求解——學(xué)以致用

回顧引例，在案例中，把常數(shù)mgR2從積分號(hào)中提出，即為∫+∞R1x2dx的積分，也是一個(gè)反常積分，不難發(fā)現(xiàn)，這正是前一例題中p=2時(shí)的特殊情形，由分析可知是收斂的。將g=9.81（m/s2），R=6.371×106（m）代入，有v0=2gR≈11.2（km/s），這就是我們熟悉的第二宇宙速度。回顧火箭發(fā)射案例，掌握反常積分的實(shí)際應(yīng)用，計(jì)算引例，首尾呼應(yīng)。通過第二宇宙速度問題的引入，激發(fā)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，探索實(shí)際問題與無窮區(qū)間上的反常積分的聯(lián)系，明確無窮區(qū)間上的反常積分的應(yīng)用思路和方法，最終提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力。

6. 融入思政元素——提升學(xué)生人文情懷

從中國(guó)古代的飛天夢(mèng)，到現(xiàn)代人的飛天夢(mèng)，進(jìn)而引入衛(wèi)星發(fā)射，切入教學(xué)主題，融入思政教育。從古至今，人類的飛天夢(mèng)從未間斷，中國(guó)人的飛天夢(mèng)從未間斷。航天日新月異，讓中國(guó)夢(mèng)更加完美。通過第二宇宙速度的求解，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思想的美妙，數(shù)學(xué)是有“用”的。同時(shí)，簡(jiǎn)要介紹國(guó)家航天事業(yè)發(fā)展之路所創(chuàng)造的奇跡，領(lǐng)會(huì)我國(guó)在航天技術(shù)發(fā)展過程中形成的航天精神，只要我們腳踏實(shí)地，一步一個(gè)腳印地走下去，當(dāng)我們的知識(shí)積累，先進(jìn)技術(shù)由量變到質(zhì)變的時(shí)候，中華民族的騰飛之日必將到來。通過思政元素的融入有效地激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)主義情感和民族自豪感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)技術(shù)的熱情和動(dòng)力。

7. 小結(jié)

本節(jié)課通過火箭發(fā)射的具體案例，采用轉(zhuǎn)化的思想，從有限區(qū)間過渡到無限區(qū)間再利用極限的思想給出反常積分的概念及斂散性的判定方法，介紹了無窮限反常積分的幾何意義，并給出了無窮積分的典型計(jì)算問題?；仡櫡闯７e分概念的形成思路，幫助學(xué)生更好地梳理與掌握本次課的重點(diǎn)知識(shí)。

8. 課后延伸——補(bǔ)充課堂知識(shí)

簡(jiǎn)單介紹“喇叭悖論”，從有趣的悖論著手，激發(fā)學(xué)生探知欲望，引導(dǎo)學(xué)生分析悖論的實(shí)質(zhì)，即涉及旋轉(zhuǎn)體的容積和內(nèi)側(cè)表面積問題。拓展學(xué)生的思維和知識(shí)面，也能培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)想象力和探索新知的能力。補(bǔ)充課堂知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，達(dá)到更好的學(xué)習(xí)效果。

二、 結(jié)束語

合理利用微課教學(xué)可以更好地提高教學(xué)效率，優(yōu)化教育結(jié)構(gòu)，微課的教學(xué)應(yīng)緊扣主題，而不能單純?yōu)榱俗非笕の缎裕瑒?chuàng)新性而忽視了授課的主旨——知識(shí)的傳授，好的教學(xué)設(shè)計(jì)可以使得微課變得精彩且有生命力。傳統(tǒng)的高等教育教學(xué)模式正處于千載難逢的變革之中，高校教師在教學(xué)中應(yīng)順應(yīng)潮流，腳踏實(shí)地，推陳出新，在教學(xué)設(shè)計(jì)中，充分利用多媒體技術(shù)，采用豐富的教學(xué)素材，挖掘課程思政元素，形象生動(dòng)地展示課程內(nèi)容，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思考與交流，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，提升數(shù)學(xué)課堂的深度，促進(jìn)學(xué)生快速、有效、個(gè)性化、愉悅地學(xué)習(xí)。

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作者簡(jiǎn)介：

廖春艷，趙艷輝，唐偉國(guó)，湖南省永州市，湖南科技學(xué)院理學(xué)院數(shù)學(xué)系。