一類具有記憶項的耦合方程組的全局吸引子

張利媛,任永華

( 太原理工大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,山西 榆次030600)

1.引言

本文研究了方程組

在邊界條件

及初始條件

下,其全局吸引子的存在性.

關(guān)于方程的全局吸引子的相關(guān)研究有很多,早在19世紀(jì),Kirchhoff[1]建立了如下模型方程

用來描述彈性桿橫截面運動,之后許多學(xué)者研究了此方程的初邊值問題,得到了整體解的存在性或不存在性.Park[2]研究了具有記憶項的Euler-Bernoulli梁方程

在滿足一定條件下解的存在性和衰減性,之后許多學(xué)者考慮了此類方程的全局吸引子的存在性.在文獻中,還有有很多關(guān)于熱彈性梁、板方程的研究[4?6],本文在以上文獻的基礎(chǔ)上,討論非線性問題(1.1)-(1.3)全局解的漸近行為,首先我們討論全局解的存在性和唯一性,然后通過證明系統(tǒng)吸收集的存在性和半群S(t)的漸近緊性,證明方程組的全局吸引子的存在性.

2.定義及基本假設(shè)

Mμ=L2μ(R+;H20(?)),為實值函數(shù)空間,范數(shù)與內(nèi)積為

假設(shè)2.1(函數(shù)N(z)=(ζ)dζ的假設(shè))首先,我們假設(shè)

a) 若|ux|2

b) 若|ux|2< L,存在常數(shù)>0 使得其中

由于對一些L >0,有M(v)∈Cm+2(?),?A=suptmax0≤α≤|ux|2M(α),根據(jù)a),b),我們有下列不等式

假設(shè)2.2(函數(shù)f,g的假設(shè))f(u)和g(ut)的形式分別為

f,g: R→R,f,g ∈C1(R),f(0)=g(0)=0,且存在常數(shù)p,p1,p2,p3>0,L0,L1>0 使得?u,v ∈R,|f′(u)|≤p(1+|u|ρ),g′(u)≥0 并且

假設(shè)2.3(記憶項μ的假設(shè))?s ∈R+使得μ(0)≥0,μ′(s)≤0,μ′(s)+δμ(s)≤0,δ >0.

3.適定性

顯然,問題(1.1)-(1.3)的系統(tǒng)不是自治的,我們定義一個新的變量η=ηt(x,s)=θ(x,t)?θ(x,t ?s),(x,s)∈?×R+,t ≥0 則有ηt+ηs=θt.

則我們可得到下面的新系統(tǒng)

邊界條件

及初始條件

我們的分析基于以下的Sobolev空間?=H20(?)×L2(?)×L2(?)×L2μ(R+;H20(?)),范數(shù)為|其中||·||p表示Lp范數(shù).

定理3.1設(shè)假設(shè)2.1-2.3成立,若初始值(u0,u1,θ0,η0)∈?1=H4(?)∩H20(?)×H20(?)×H20(?)×L2μ(R+;H4(?)∩H20(?)),系統(tǒng)(3.2)-(3.4)有唯一強解(u,ut,θ,η)滿足

定理3.2在定理3.1的條件下,若初值(u0,u1,θ0,η0,)∈?,系統(tǒng)(3.2)-(3.4)有唯一弱解(u,ut,θ,η)滿足(u,ut,θ,η)∈C(R+;?).

注3.1兩種情況下都有其中C是一個常數(shù),且C依賴于初始值。

注3.2運用Faedo-Galerkin方法,當(dāng)h ∈L2(?)的模型在空間?1上存在唯一強解.根據(jù)稠密性理論得到空間?上的唯一弱解.事實上,初始值(u0,u1,θ0,η0)∈?因?1在?中稠密.存在序列(un1,un1,θn0,ηn0)∈?1,使得

注3.3在?上定義一族非線性算子

是?到?的映射,根據(jù)解適定性定理可知S(t)是定義在?上的非線性C0-半群.

4.全局吸引子的存在性

引理4.1[7]令φ(t)是定義在[0,T]上的一個非負(fù)函數(shù),1

這里M0,M1,r都是正常數(shù),可以得到

引理4.2[8]設(shè)H是一個巴拿赫空間,對于任何正不變有界集B ?H,?ε >0,?T=T(ε,B),使得d(S(T)x,S(T)y)≤ε+χT(x,y),?x,y ∈B,這里χT:H ×H →R 滿足對于任意zn?B,

那么半群S(t)是漸近緊的.

定理4.1[8]S(t)是距離空間H上的一個耗散的半群,S(t)存在緊吸引子當(dāng)且僅當(dāng)S(t)在H中漸近緊.

定理4.2在定理3.1 的假設(shè)下,系統(tǒng)(3.2)-(3.4)確定的半群S(t)在?中有一個全局吸引子.

定理4.2的證明根據(jù)引理4.1,4.2,我們證明半群S(t)有一個吸收集,它滿足在?中漸近緊,為此,我們設(shè)系統(tǒng)(3.2)-(3.4)的解是正則的,它的攝動總能量方程為

步1 吸收集在?中的存在性

設(shè)半群S(t)在?有吸收集B,任意有界集B ??,考慮新系統(tǒng)的解(u(t),ut(t),θ(t),η)=S(t)(u0,u1,θ0,η0),且(u0,u1,θ0,η0)∈B,以下的分析基于矯正能量函數(shù)

其中λ1是Laplace算子在空間H20(?)的第一個特征值,根據(jù)可得

(3.2)-(3.4)系統(tǒng)的第一方程與ut在L2(?)上做內(nèi)積,

第二個方程與θ在L2(?)上做內(nèi)積,

第三個方程與ηt在Mμ上做內(nèi)積,

三式相加并在[t,t+1]上積分

(3.2)-(3.4)系統(tǒng)的第一個方程與u相乘并在?×[t1,t2]上積分可得

由假設(shè)2.1,我們得到

代入(4.10)式,并結(jié)合假設(shè)2.2,得到

根據(jù)不等式|u+|≤|u|,得

由假設(shè)2.2,得

根據(jù)H20(?)2(?)和Young不等式,我們得到

由假設(shè)2.2,得

由假設(shè)2.3,有

再由(4.8)式可知

將(4.14)-(4.23)式代入(4.13) 式,得到

再根據(jù)積分中值定理,?tξ∈[t1,t2]使得

由上式,再根據(jù)(4.8)式可得

將(4.26)式代入(4.24)式,得

由引理4.1,我們得到

當(dāng)t →∞時,上式右邊第一項趨向于0.因此由我們得到結(jié)論

是系統(tǒng)的一個吸收集.

步2 半群S(t)在?中漸近緊

給定初值(u0,u1,θ0,η0,)和∈B,這里B ??是一個有界集,且正不變,令(u,θ,是系統(tǒng)的相關(guān)弱解,那么w=u ?v,φ=θ ?,ψt=ηt?是方程

其中?f=f(u)?f(v),?g=g(ut)?g(vt).

現(xiàn)在,我們估計(4.33)式,事實上,我們有M(|ux|2)?M(|vx|2≤M′(sup{||ux||22,||vx||22})· ||wx||(||ux||+||vx||),運用M′的連續(xù)性可以得出

其中0≤o ≤T.

由假設(shè)2.2,我們得到以下式子

另一方面我們有

根據(jù)Young不等式

將上式在[t,t+1]上積分,得

系統(tǒng)(4.32)第一個方程與w相乘在?×[t1,t2]上積分

類似第一步部分計算過程,有

則存在t?∈[t1,t2]使得

由Ew(t)≤Ew(t+1)+2Q(t)2令ν ∈[t,t+1],使得Ew(ν)=supt≤τ≤t+1Ew(τ),將(4.38)式分別在[t,ν],[t?,t+1]上積分可得

由(4.42)-(4.43)式,得

因此

應(yīng)用引理4.1,存在D1,D2>0,使得

即

對于給定ξ >0,滿足當(dāng)T足夠大時,定義χT:?×? →R 為

根據(jù)(4.47)-(4.48)式可得

根據(jù)嵌入定理H20(?)10(?)是緊的,則?T′>0,C([0,∞),H20(?))∩C1([0,∞),L2(?))([0,T′),H10(?))也是緊的.因此存在子序列{unk}在C([0,T′),H10(?))中一致強收斂.

因此,半群S(t)在空間?中漸近緊.

步3 步1,2證明了(?,S(t))是一個耗散系統(tǒng),半群S(t)在空間?中漸近緊,根據(jù)定理4.1可知,系統(tǒng)存在整體吸引子.