突破集合與函數(shù)的學(xué)習(xí)重難點(diǎn)

丁小飛 藍(lán)云波

集合與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是重難點(diǎn)，大家在學(xué)習(xí)時(shí)一定要夯實(shí)基礎(chǔ)，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

一、集合

從對(duì)近五年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試卷分析來(lái)看，集合的考查題設(shè)穩(wěn)定，難度較低，均以集合的運(yùn)算為主，其中有兩次結(jié)合一元二次不等式進(jìn)行考查，所以集合的運(yùn)算是大家要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容。在解答集合運(yùn)算的問(wèn)題時(shí)，要做到“一看、二化、三畫(huà)”：一看，即看元素構(gòu)成，比如是點(diǎn)集還是數(shù)集，是連續(xù)的還是離散的;二化，即對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn)（有時(shí)注意定義域的限制），使得元素更具體、更清晰，以方便解題;三畫(huà)，即利用數(shù)形結(jié)合思想畫(huà)出數(shù)軸或韋恩（ Venn）圖。

例1 （201 6年全國(guó)卷工）設(shè)集合人一{x|x2-4x+30），則A∩B=（ ）。

A.（-3，-3/2）

B.（-3，3/2）

c.（1，3/2）

D.（3/2，3）

解析 一看：集合中的元素是實(shí)數(shù)集，是連續(xù)的。二化：元素沒(méi)有直接具體體現(xiàn)，需要進(jìn)行化簡(jiǎn)，A={x2-4x+3<0}一{x|l

二、函數(shù)

根據(jù)對(duì)近五年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試卷的分析統(tǒng)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)：函數(shù)知識(shí)中函數(shù)的奇偶性每年必考;函數(shù)與方程考查了四次，主要考查函數(shù)的零點(diǎn);函數(shù)圖像考查了四次;指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)考查了三次;分段函數(shù)考查了三次，主要以分段函數(shù)考查函數(shù)的性質(zhì);二次函數(shù)考查了三次;函數(shù)的單調(diào)性考查了兩次;函數(shù)模型及綜合應(yīng)用考查了兩次;函數(shù)概念（定義域）考查了一次;冪函數(shù)考查了一次。由此可見(jiàn)，函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中具有舉足輕重的作用，也反映出函數(shù)的重難點(diǎn)，即函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖像、函數(shù)與方程。

1.函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是必考內(nèi)容，通常與函數(shù)的圖像、零點(diǎn)等結(jié)合在一起進(jìn)行考查，考查了數(shù)形結(jié)合思想，既是難點(diǎn)也是重點(diǎn)，同學(xué)們必須熟練掌握。

例2 （2017年全國(guó)卷Ⅰ）函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)。若f（1）=-1，則滿足-l≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是（ ）。

A.[-2，2]

B.[ -1，1]

C.[o，4]

D.[1，3]

解法1：根據(jù)題目的條件，容易聯(lián)系到函數(shù)f（x）=-x，且此函數(shù)滿足題目給出的所有條件。因?yàn)槭沁x擇題，所以可以用特值法進(jìn)行解答。令f（x）=-x，則f（x-2）=2-x，故-1≤f（x-2）≤1的解可轉(zhuǎn)化為 1≤2 、r≤1的解，由此解得1≤x≤3。故選D。

解法2：利用所給函數(shù)的單調(diào)性求解。因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（-1）=-f（1）=1。于是-l≤f（x-2）≤1等價(jià)于f（1）≤f（x-2）≤f（-1）。又因?yàn)閒（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，所以 1≤x-2≤1，解得l≤x≤3。故選D。

解法3：根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，畫(huà)出符合條件的圖像，如圖2所示，即可得出答案為D。

解析 本題的解題思路比較多，題目條件可以靈活轉(zhuǎn)變，例如，“函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減”可以用“函數(shù).f（x）在其定義域中任取x1”﹤0代替，“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”用“函數(shù)f（x）在其定義域中任取x都有f（x）+f（-x） =o”代替等。對(duì)不熟悉函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的考生來(lái)說(shuō)，這道題就成為一道難題了。

2.函數(shù)圖像：從對(duì)近五年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試卷的分析統(tǒng)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像是高考的熱點(diǎn)，主要考查對(duì)函數(shù)圖像的識(shí)別，本來(lái)是易、中難度的試題，但很多同學(xué)卻拿不到分?jǐn)?shù)。實(shí)際上，函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表示，所以圖像的差別就是函數(shù)的差別，函數(shù)的差別就是函數(shù)性質(zhì)的差別，只需從函數(shù)的差別人手進(jìn)行解答，就會(huì)使問(wèn)題得到解決。而函數(shù)的差別在哪里呢？就在于定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和周期性上的差別，當(dāng)然還有“特殊點(diǎn)”對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差別。所以解答這類問(wèn)題的策略是一點(diǎn)（特殊點(diǎn)）、兩域（定義域、值域）、三性（單調(diào)性、奇偶性、周期性）。

例3 （2018年新課標(biāo)卷Ⅱ）函數(shù)的圖像大致為（）。

解析

這是一道典型的函數(shù)圖像識(shí)別題，所給函數(shù)，f（x）對(duì)大家來(lái)說(shuō)是復(fù)雜陌生的函數(shù)，如果沒(méi)有方向是很難解答出來(lái)的。用定義域不能排除錯(cuò)誤的選項(xiàng)，但可以證明函數(shù)的奇偶性，因?yàn)閤≠0，f（-x）=

=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，排除A項(xiàng)。通過(guò)特殊值進(jìn)行排除，由f（1）=e- e-1>0，排除D項(xiàng)。根據(jù)指數(shù)增值率與二次函數(shù)增值率的快慢和極限思想，排除C項(xiàng)。故選B。

3.函數(shù)與方程：由對(duì)近五年來(lái)的高考數(shù)學(xué)試卷分析統(tǒng)計(jì)，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程是一個(gè)考查熱點(diǎn)，尤其在考查函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根時(shí)，一般會(huì)與函數(shù)的圖像、性質(zhì)結(jié)合在一起考查，綜合性較強(qiáng)，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)。從理論上來(lái)說(shuō)可以結(jié)合函數(shù)與方程的關(guān)系，解方程來(lái)求解，若不易求解，可以用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解答。解答函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的策略：利用函數(shù)與方程的關(guān)系，求出零點(diǎn)個(gè)數(shù);直接畫(huà)出函數(shù)的圖像，找成零點(diǎn)個(gè)數(shù);轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)。

例4 已知函數(shù)f（x）=6/x-log2x，則f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是_____。

解法1：利用零點(diǎn)存在性定理和函數(shù)的單淵性即可解答。因?yàn)閒（2）=3log22=2>0，f（4）=6/4-log24=3/2-2<0，可知函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)。又易知函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)f（x）有一個(gè)零點(diǎn)。

解法2：不易直接畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖像，但是可以轉(zhuǎn)化成熟悉的，h（x）=6/x與g（x）=log2x兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖像（圖略）容易得出交點(diǎn)個(gè)數(shù)為l。

點(diǎn)評(píng) 在解答函數(shù)與方程的問(wèn)題時(shí)，尤其是涉及函數(shù)零點(diǎn)、方程根的問(wèn)題，要根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕夥?，這樣有利于提高解題效率。