基于能陷理論的石英力敏諧振器集群的設(shè)計(jì)

陳福彬，田文杰，高錦春

(1.北京信息科技大學(xué) 傳感器重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100101；2.北京郵電大學(xué) 電子工程學(xué)院，北京 100876)

0 引言

石英晶體諧振器已廣泛應(yīng)用于晶體濾波器、振蕩器等系統(tǒng)穩(wěn)頻控制器件中[1-3]。在發(fā)現(xiàn)石英諧振器的力敏效應(yīng)后，利用石英晶體諧振器作敏感組件而構(gòu)成的傳感器應(yīng)用在運(yùn)動(dòng)載體姿態(tài)、力(壓力)、質(zhì)量檢測(cè)等領(lǐng)域[4-5]。本文打破傳統(tǒng)石英晶片上單個(gè)電極構(gòu)成諧振器的設(shè)計(jì)方法，在同一圓形晶片上設(shè)計(jì)多對(duì)電極構(gòu)成力敏諧振器集群。同一石英基片上集成多個(gè)諧振器，諧振器之間存在耦合效應(yīng)，依據(jù)能陷理論及其厚度剪切石英晶體諧振能量分布曲線，確定石英晶片的外形尺寸以及諧振器電極間距，保證各個(gè)諧振器能同時(shí)獨(dú)立工作。利用共模抑制原理將諧振器集群輸出頻率信號(hào)作差頻處理，溫度等因素引起相同的頻率漂移，但不產(chǎn)生差頻輸出，達(dá)到了抑制溫度等因素干擾的目的。該石英諧振器集群可作為敏感元件應(yīng)用于高精度的數(shù)字式慣性傳感器以及相關(guān)檢測(cè)系統(tǒng)。

1 石英力敏諧振器

石英晶體受外界機(jī)械壓力作用產(chǎn)生壓電效應(yīng)。對(duì)石英晶體沿適當(dāng)?shù)慕嵌惹懈畛杀∑?，并在兩面鍍上電極，利用正-逆壓電效應(yīng)，電激勵(lì)信號(hào)通過(guò)電極加到石英晶片上使其產(chǎn)生振動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)信號(hào)的頻率與石英晶體的固有頻率一致時(shí)，可形成諧振，該晶片即為諧振器。當(dāng)諧振器的諧振特性受到外力的影響，利用這一特性可以制成石英諧振力傳感器，如圖1所示。

圖1 徑向受力的厚度剪切石英諧振器

2 能陷理論

能陷理論[4]是彈性波在晶片上傳播時(shí)，當(dāng)其頻率大于電極區(qū)截止頻率而小于非電極區(qū)的截止頻率時(shí)，波可以在電極區(qū)自由傳播，形成駐波，但在非電極區(qū)呈指數(shù)衰減，其振動(dòng)能量集中在電極中心區(qū)，離開(kāi)中心區(qū)時(shí)，振動(dòng)能量則迅速減小。圖2為圓形AT-切石英諧振器結(jié)構(gòu)及電極區(qū)(中心區(qū)域)、非電極區(qū)彈性波傳播示意圖。

圖2 圓形石英諧振器結(jié)構(gòu)及彈性波傳播示意圖

彈性波在介質(zhì)中傳播的波動(dòng)方程為

(1)

對(duì)于石英晶片，彈性剪切波的波動(dòng)方程解為

u=Asinyej(β r-ωt)

(2)

式中A為剪切波幅度。

為了便于分析，假定波的能量沿各個(gè)方向傳播是均勻的，r代表z或x方向的距離，y代表厚度方向的距離。彈性波在電極區(qū)(“e”區(qū))可以自由傳播，函數(shù)式為

(3)

式中βe為電極“e”區(qū)的傳播系數(shù)。彈性波在非電極區(qū)(“s”區(qū))內(nèi)隨著r的增大而按指數(shù)衰減，有

(4)

式中ηs為“s”區(qū)的衰減系數(shù)。

(5)

(6)

式中：p為泛音次數(shù)；b為石英晶片厚度；fe為電極區(qū)(“e”區(qū))的截止頻率；fs為非電極區(qū)(“s”區(qū))的截止頻率。

為了抑制能陷寄生，Shockley等建立了設(shè)計(jì)單電極石英振子的重要依據(jù)，即能陷判別不等式：

(7)

式(7)為多電極諧振器的設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

3 諧振能量的分布

3.1 非電極區(qū)能量的分布方程

根據(jù)能陷理論，彈性波隨著離開(kāi)“e”區(qū)距離r的增加而呈指數(shù)衰減，“e”區(qū)的諧振能量只有很少的部分進(jìn)入“s”區(qū)，而能量與波的振幅是平方關(guān)系，因此，能量的衰減系數(shù)為2ηs。

(8)

“s”區(qū)的總能量取r→時(shí)，對(duì)式(8)求積分可得

(9)

(10)

將式(10)與式(9)相除，可得環(huán)內(nèi)能量與“s”區(qū)總能量的比值σ為

(11)

經(jīng)變換得到“s”區(qū)能量分布的近似方程為

(12)

式(11)表示了σ、φe、φs和Ω0的關(guān)系，由此可以得到能量的分布曲線。

3.2 能量分布方程的求解

令

ηsφs+1=x

(13)

(14)

將式(5)、(7)取等號(hào)相乘，得到

(15)

再將式(15)代入式(14)，可得

(16)

最后將式(13)、(14)代入式(12)，得到一個(gè)超越方程，即簡(jiǎn)化的能量分布方程:

ex=k·x

(17)

圖3 能量分布曲線

由圖3可知，進(jìn)入“s”區(qū)的能量大部分集中在電極區(qū)的周?chē)?，?dāng)φs/φe=2 時(shí)，φs邊緣上的能量?jī)H約為“s”區(qū)總能量的-40 dB；而當(dāng)φs/φe=3時(shí)，φs邊緣上的能量很快下降到-80 dB，這時(shí)傳到外邊緣的能量已經(jīng)很少。通過(guò)對(duì)能量分布曲線的分析可以得到晶片與電極尺寸以及多對(duì)電極間距的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：

1)對(duì)于由電極電場(chǎng)激勵(lì)的晶體諧振器，由圖3可見(jiàn)，φs/φe取大或φe取小為宜。φe減小，可以減小諧振器的靜態(tài)電容，也可以改善振蕩器的穩(wěn)定性。同時(shí)，φe減小，電極面積就減小，可以減小電極面積下晶片厚度不均勻所產(chǎn)生的雜散寄生。因此，在確保激勵(lì)和高品質(zhì)因數(shù)(Q)值的情況下，應(yīng)盡量選取大的φs/φe值。

2)同一石英基片上集成多個(gè)諧振器，應(yīng)避免諧振器之間的耦合。由圖3可見(jiàn)，φs/φe=3時(shí)，φs邊緣上的能量已下降到“s”區(qū)總能量的-80 dB，晶片直徑取電極直徑的3倍。實(shí)驗(yàn)證明，這樣的取值合適。

利用該結(jié)論可以在同一圓形晶片上設(shè)計(jì)多對(duì)電極，形成諧振器集群。通過(guò)電極的合理設(shè)計(jì)，保證各個(gè)諧振器能同時(shí)獨(dú)立工作，減小諧振器之間的相互干擾和噪聲影響，以及改善頻率的穩(wěn)定性。

4 諧振器集群實(shí)驗(yàn)及分析

實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)包括石英諧振器集群、6個(gè)獨(dú)立振蕩電路、恒溫箱、頻率計(jì)、頻穩(wěn)測(cè)試儀和數(shù)據(jù)處理，如圖4所示。

圖4 諧振器集群實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)原理

4.1 溫頻特性

將諧振基頻為20 MHz的6對(duì)電極諧振器集群置于溫度試驗(yàn)箱內(nèi)，在大氣環(huán)境條件下測(cè)試-50～70 ℃對(duì)應(yīng)的諧振器的諧振頻率,得到的溫度頻率特性如圖5所示。將諧振器對(duì)應(yīng)的兩個(gè)諧振頻率作差頻處理，得到的差頻輸出溫度頻率特性如圖6所示。

圖5 諧振器集群的6個(gè)諧振器溫度-頻率特性

圖6 諧振器集群差頻輸出的溫度-頻率特性

由圖5、6可知，在溫度為-50～70 ℃時(shí)，同一晶片上的6個(gè)諧振器諧振頻率變化為-500～300 Hz，相對(duì)頻率變化約為(-25～15)×10-6。其溫度-頻率特性與單電極諧振器的溫度-頻率特性相似，經(jīng)過(guò)差頻處理后，輸出的頻率變化為-300～200 Hz，相對(duì)頻率變化約為(-15～10)×10-6。差頻輸出的溫度-頻率特性明顯優(yōu)于單個(gè)諧振器的溫度-頻率特性，諧振器集群具有較小的溫度-頻率變化率。

4.2 力-頻特性

通過(guò)靜力實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)石英晶體諧振器集群的力-頻特性進(jìn)行測(cè)試?；l為20 MHz，電極在石英晶片中心位置的傳統(tǒng)單個(gè)石英晶體諧振器力-頻特性的理論值為f=714.28F(Hz/N)，實(shí)驗(yàn)得到的力靈敏度略小于理論計(jì)算值。現(xiàn)在廣泛采用的差動(dòng)型雙諧振器傳感器系統(tǒng)力-頻特性約為單諧振器的2倍，力靈敏度較低[5-7]。

石英晶體諧振器集群在徑向力作用下，加力方位角為0°時(shí)，諧振器輸出頻率變化量為fA、fB、fC、fD、fE、fF。實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 六電極石英諧振器的力-頻特性

利用共模抑制原理將諧振器集群力-頻特性差異較大的諧振器輸出頻率信號(hào)作差頻處理，得到8組諧振器差頻輸出,并作最小二乘法線性擬合，得到力-頻特性結(jié)果如圖7所示。由圖可見(jiàn)，差頻輸出力靈敏度系數(shù)最大為1 489.1 Hz/N，最小為9 66.56 Hz/N。將8組差頻輸出信號(hào)進(jìn)行疊加求和，得到力靈敏度系數(shù)為9 992 Hz/N，提高了諧振器集群整體的力靈敏度系數(shù)。

圖7 石英諧振器集群差頻輸出的力-頻特性

5 結(jié)束語(yǔ)

本文利用能陷理論的結(jié)論，推導(dǎo)了石英晶體厚度剪切振動(dòng)能量的近似分布方程，得到了能量分布曲線，提出了在同一圓形晶片上設(shè)計(jì)多對(duì)電極構(gòu)成石英諧振器集群的設(shè)計(jì)依據(jù)，設(shè)計(jì)的石英諧振器集群滿足抑制相互干擾的要求。利用共模抑制原理將諧振器集群輸出頻率信號(hào)作差頻處理，抑制了溫度等因素的干擾。將差頻輸出信號(hào)進(jìn)行疊加求和，能提高石英晶體諧振器集群整體的力敏特性，力靈敏度系數(shù)可達(dá)9 992 Hz/N。利用這種具有顯著力敏特性的石英諧振器集群作敏感元件構(gòu)成的數(shù)字式慣性傳感器系統(tǒng)(如加速度傳感器、角速度傳感器、水平姿態(tài)傳感器等)具有廣泛的應(yīng)用前景。