三維蜂窩狀聲子晶體的帶隙優(yōu)化研究*

邵瀚波， 陳國(guó)平， 何 歡

(南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院 南京，211100)

引 言

聲子晶體是內(nèi)部組元的彈性常數(shù)、密度以及聲速周期性變化的一種具有帶隙的聲學(xué)功能材料，當(dāng)彈性波頻率在聲子晶體帶隙范圍內(nèi)時(shí)，彈性波將被抑制或禁止傳播，所以較寬的低頻帶隙對(duì)于減振降噪提供了新的方法和思路[1]。

聲子晶體由于在控制彈性波方面具有很好的物理特性，吸引了廣泛的關(guān)注[2-3]。理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明，聲子晶體中可以出現(xiàn)完整的帶隙[4-7]，這些帶隙可以用來(lái)減振或者控制環(huán)境的噪音[8-10]，其中主要分為布拉格散射型[11-12]和局域共振型帶隙[13]。局域共振型聲子晶體與布拉格散射型聲子晶體不同，其可以用較小尺寸獲得低頻帶隙[14-15]，這一特點(diǎn)使得聲子晶體在低頻減振降噪方面很有理論價(jià)值和應(yīng)用前景。

由于聲子晶體的帶隙特征對(duì)減振降噪具有非常重要的價(jià)值，國(guó)內(nèi)外在聲子晶體帶隙的計(jì)算方面研究較多[16-18]。聲子晶體的帶隙范圍由晶體結(jié)構(gòu)特征決定，根據(jù)帶隙與晶體結(jié)構(gòu)形式之間的關(guān)系可以對(duì)聲子晶體的構(gòu)成參數(shù)或結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使聲子晶體具有最佳的帶隙特征，從而得到具有更好的減振降噪性能的聲子晶體。溫熙森[19]研究了二維平面蜂窩狀晶體結(jié)構(gòu)的聲子晶體，選用鋼作為散射體，丁腈橡膠作為基底，分析了局域共振型聲子晶體的原胞并運(yùn)用集中質(zhì)量法計(jì)算出能帶結(jié)構(gòu)，并與三角形晶格狀聲子晶體進(jìn)行比較，得出了其帶隙分布主要在200～270 Hz之間。筆者在此基礎(chǔ)上，研究了三維蜂窩狀聲子晶體，并通過(guò)對(duì)參數(shù)以及結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到了最優(yōu)的蜂窩狀聲子晶體，可以對(duì)帶隙范圍進(jìn)行調(diào)控，從而滿足不同的頻率要求。

1 聲子晶體的模型與計(jì)算方法

圖1為4種蜂窩狀結(jié)構(gòu)的聲子晶體，基體是用丁腈橡膠制作的三角形晶格板，在中間挖去孔并嵌入圓柱形的鋼作為芯體。其晶格常數(shù)a=0.01 m，孔半徑為r，板厚度為h，芯體高度為t。鋼和丁腈橡膠的材料參數(shù)如表1所示。

表1 各材料參數(shù)

圖1 不同蜂窩狀結(jié)構(gòu)聲子晶體Fig.1 Phononic crystals with different structures

通過(guò)有限元方法來(lái)計(jì)算三維蜂窩狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的離散關(guān)系，將其中一個(gè)晶胞劃分有限元網(wǎng)格，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一般的特征值問(wèn)題。

對(duì)于一個(gè)晶胞的特征方程可以表示為

(K-ω2M)U=0

(1)

其中：U=[U1U2…Un]T為節(jié)點(diǎn)的位移矩陣，且Ui=[uiviwi]T；K和M分別為單元?jiǎng)偠群唾|(zhì)量矩陣。

根據(jù)布洛赫定理，彈性結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)u(r)可以表示為

u(r)=uk(r)e(ikr)

(2)

其中：k=(kx,ky)為不可約布里淵區(qū)波矢量；r=(x,y,z)為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)矢。

uk(r)晶胞中有相同周期邊界條件的矢量式，根據(jù)布洛赫理論，通過(guò)式(2)可以得到周期邊界條件

U(r+a)=U(r)e(ika)

(3)

其中：a為晶格常數(shù)。

通過(guò)COMSOL軟件來(lái)計(jì)算分析上述蜂窩狀結(jié)構(gòu)聲子晶體的特征頻率，從而分析相對(duì)應(yīng)的能帶結(jié)構(gòu)和振動(dòng)模式以及傳輸特性。傳輸特性方程定義為

H=10log(u1/u2)

(4)

其中：u1和u2分別為激振位移和傳遞到邊界的位移。

傳遞方式如圖2所示，在藍(lán)色陰影邊界施加“1”

圖2 聲子晶體施加邊界加速度Fig.2 Exerts a boundary acceleration to phononic crystal

的加速度，方向垂直于邊界面沿板面方向，其余邊界均為自由邊界條件。

2 結(jié)果和分析

2.1 不同蜂窩狀結(jié)構(gòu)聲子晶體對(duì)帶隙的影響

在二維蜂窩煤狀聲子晶體模型的基礎(chǔ)下，筆者通過(guò)對(duì)4種三維不同蜂窩狀結(jié)構(gòu)的聲子晶體建模并利用COMSOL進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證了各種聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)，分析了位移模式以及傳輸特性。

圖1中設(shè)置板厚度h=3 mm，散射體高度t=18 mm，半徑分別為10，8，6和8 mm。將波矢k在不可約Buillouin區(qū)邊界上取值，M，X和Γ為其中3個(gè)頂點(diǎn)，計(jì)算出能帶結(jié)構(gòu)。由圖3可以看出：當(dāng)散射體只有1個(gè)或者2個(gè)芯體時(shí)，出現(xiàn)的帶隙較寬，分別為605.89～985.42 Hz和1 041.45～1 492.8 Hz；而當(dāng)有3個(gè)芯體或者有1個(gè)缺陷芯體時(shí)，出現(xiàn)的帶隙很窄。這表明在此頻率范圍內(nèi)的彈性波傳播被抑制，而其他頻率范圍(通帶)的彈性波可以無(wú)損耗地進(jìn)行傳播。

圖4所示為聲子晶體的振動(dòng)模式俯視圖(分別含有1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)芯體及1個(gè)芯體缺陷的蜂窩狀結(jié)構(gòu))，其中前4幅為帶隙下邊緣，后4幅為帶隙上邊緣。由圖4的位移模式可以看出，不管是帶隙上邊緣還是下邊緣，主要振動(dòng)都出現(xiàn)在橡膠板上，在1個(gè)芯體聲子晶體的帶隙下邊緣激勵(lì)以及接受邊上出現(xiàn)彎曲振動(dòng)，而上邊緣只有1個(gè)角上出現(xiàn)縱向位移。相同的，對(duì)于2個(gè)芯體的聲子晶體的帶隙上邊緣，有2個(gè)角出現(xiàn)很大的縱向位移，而下邊緣4個(gè)角的縱向位移都很平均。對(duì)于有1個(gè)芯體缺陷的聲子晶體，帶隙下邊緣和2個(gè)芯體時(shí)情況類似，而上邊緣只有缺陷出現(xiàn)很大的縱向位移，這些位移變化導(dǎo)致了兩種聲子晶體帶隙的存在。相反的，對(duì)于3個(gè)芯體的聲子晶體，位移變化不大，導(dǎo)致帶隙也不是很明顯。

圖2中，選取8×8周期結(jié)構(gòu)聲子晶體并采用四面體網(wǎng)格，利用式(4)計(jì)算其傳輸特性(transmission loss，簡(jiǎn)稱TL)。如圖5所示 ，可以看出箭頭及陰影范圍內(nèi)輸出端的響應(yīng)明顯減少，說(shuō)明該頻率范圍的幅頻特性明顯衰減，通過(guò)與帶結(jié)構(gòu)圖對(duì)比可以驗(yàn)證其減振效果。

本節(jié)內(nèi)容驗(yàn)證了在蜂窩煤狀聲子晶體中，對(duì)于1個(gè)及2個(gè)芯體的聲子晶體具有更好的減振效果，和二維平面的結(jié)果類似，但是比二維平面情況得到更寬的帶系范圍，減振效果更好。

圖3 不同蜂窩狀結(jié)構(gòu)聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)Fig.3 Band gaps with different structures

圖4 聲子晶體的振動(dòng)模式俯視圖Fig.4 The vibration mode of the phononic crystals

2.2 芯體幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響

2.2.1 芯體高度對(duì)帶隙的影響

選取2個(gè)芯體的聲子晶體進(jìn)行研究，分別設(shè)置芯體的高度為3，9和18 mm，其他條件不變，用COMSOL模擬出的能帶結(jié)構(gòu)以及傳輸特性如圖6所示?？梢钥闯?，當(dāng)t=3 mm時(shí)，僅僅在1 700 Hz左右出現(xiàn)1條很窄的帶隙；而當(dāng)t=9 mm時(shí)，能帶結(jié)構(gòu)有所改善，除了1 600 Hz左右有1條很窄的帶隙之外，1 148.46～1 398.25 Hz之間還出現(xiàn)一條比較寬的帶隙；當(dāng)t=18 mm時(shí)，高頻的窄帶隙消失了，出現(xiàn)了1條從1 041.45～1 492.8 Hz的帶隙，能帶結(jié)構(gòu)有明顯改善，說(shuō)明當(dāng)t=18 mm時(shí)具有更好的減振特性。圖6中的傳輸特性圖和能帶結(jié)構(gòu)基本吻合，也驗(yàn)證了這一結(jié)果。

2.2.2 芯體半徑對(duì)帶隙的影響

在t=18 mm的基礎(chǔ)上改變聲子晶體芯體的半徑，由于r=2 mm時(shí)，結(jié)構(gòu)不存在帶隙，所以考慮3～10 mm半徑對(duì)帶隙的影響。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，其能帶結(jié)構(gòu)主要出現(xiàn)在第13～14階固有頻率中間，如表2所示。由圖7可以看出，改變半徑時(shí)，帶隙下邊緣值基本保持不變，維持在1 000 Hz左右。上邊緣值波動(dòng)很大，當(dāng)r=3，5，10 mm時(shí)，較接近下邊緣，直接導(dǎo)致了帶隙很窄；而當(dāng)r=4，6，8和9 mm時(shí)，帶隙上邊緣較遠(yuǎn)離下邊緣，所以出現(xiàn)的帶隙較寬，尤其是當(dāng)r=8 mm時(shí)，帶隙最寬，得到最優(yōu)的能帶結(jié)構(gòu)。

圖8所示的振動(dòng)模式中，(a)～(c)為帶隙下邊緣，(d)～(f)為帶隙上邊緣。由圖8可以看出：當(dāng)r=3 mm時(shí)，第13階的振動(dòng)幅度很小且集中在聲子晶體內(nèi)部，而14階主要集中在激勵(lì)邊和接受邊上，表現(xiàn)為很大的彎曲振動(dòng)；當(dāng)r=6 mm時(shí)，帶隙的上下邊緣振動(dòng)位置正好相反，都變現(xiàn)為較強(qiáng)的縱向振動(dòng)；當(dāng)r=9 mm時(shí)，下帶隙主要表現(xiàn)為4個(gè)角的彎曲振動(dòng)，而上帶隙則偏向激勵(lì)邊上的振動(dòng)，且振動(dòng)幅度變小很多。

圖5 不同蜂窩狀結(jié)構(gòu)聲子傳輸特性Fig.5 The transmission loss of structures

圖6 不同高度芯體的聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)和傳輸特性圖Fig.6 The phononic crystal band structure and transmission loss of cores in different height

圖7 不同半徑聲子晶體的帶隙上下邊緣值折線圖Fig.7 The edge values of the band gap of different phononic crystals′radii

圖8 不同半徑下聲子晶體的振動(dòng)模式Fig.8 Vibration mode of phonon crystals in different radii

2.3 橡膠幾何參數(shù)對(duì)帶隙的影響

2.3.1 橡膠高度對(duì)帶隙的影響

在保持芯體高度t=18 mm和r=8 mm的條件下，改變橡膠的高度分別為2，3和5 mm，分析對(duì)帶隙的影響，如圖9所示。

圖9 不同高度橡膠的聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)和傳輸特性圖Fig.9 The phononic crystal band structure and transmission loss of rubber with different height

通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，隨著高度的增加，帶隙的寬度沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的變化，但是帶隙的上邊界值和下邊界值都有所增加(只考慮第13階固有頻率到14階固有頻率之間的帶隙)，具體數(shù)值見(jiàn)表2。當(dāng)r=2 mm時(shí)，帶隙范圍為805.62～1 250.34 Hz，相比較其他的帶隙而言，能得到較低的能帶結(jié)構(gòu)，且?guī)秾挾纫膊粫?huì)減少，傳輸特性圖也表明了在這區(qū)間，響應(yīng)得到明顯衰減；當(dāng)r=3 mm時(shí)，帶隙增加到1 041.45～1 492.8 Hz；當(dāng)r=5 mm時(shí)帶隙增加至1 397.56～1 785.54 Hz。通過(guò)計(jì)算分析得知，如果要得到比較低的帶隙頻率，必須降低橡膠高度，當(dāng)r=2 mm時(shí)，對(duì)于低頻的減振效果最明顯。

表2 不同半徑時(shí)聲子晶體的帶隙上下邊緣值

Tab.2 The upper and lower edge values of phononic crystals in different radii

r/m13/Hz14/Hz0.0030.0040.0050.0060.0070.0080.0090.0101 060.871 062.431 048.381 003.12987.491 041.451 004.561 009.811 120.701 297.561 128.791 295.431 198.601 492.801 403.211 208.10

計(jì)算分析表明，可以通過(guò)調(diào)節(jié)橡膠的高度對(duì)聲子晶體的帶系在2 000 Hz之內(nèi)達(dá)到可調(diào)節(jié)化，隨著橡膠高度從2～5 mm之間變化，帶隙下界限從805.62 Hz變化到1 397.56 Hz。通過(guò)這一理論，對(duì)于不同的減振需求可以選擇不同的聲子晶體。

2.3.2 減少橡膠剛度對(duì)帶隙的影響

在維持橡膠高度為3 mm的條件下，為減少橡膠剛度，在模型的4個(gè)角分別挖去半徑為8 mm的部分圓形，構(gòu)成如圖10的模型。對(duì)其進(jìn)行進(jìn)一步分析表明，由圖11的能帶結(jié)構(gòu)可以看出，減少了橡膠剛度后，原本1 041.45～1 492.8 Hz的帶隙被分成了兩個(gè)很窄的帶隙，并且1 446.78～1 702.36 Hz之間出現(xiàn)了一條比較高的帶隙，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)對(duì)低頻減振性能的降低，通過(guò)傳輸特性圖也可以驗(yàn)證這一點(diǎn)。

圖10 減少橡膠剛度后的聲子晶體Fig.10 Phononic crystal that the stiffness of rubber is reduced

圖11 減少橡膠剛度后聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)和傳輸特性圖Fig.11 The structure and transmission loss of the phononic crystal that the stiffness of rubber is reduced

3 結(jié) 論

1) 改變芯體的高度時(shí)，當(dāng)t=18 mm得到的帶隙范圍更寬且頻率相對(duì)較低，相對(duì)其他高度而言具有最好的減振性能。

2) 芯體的半徑不同，帶隙的范圍波動(dòng)不定，但是帶隙下邊界基本保持不變，上邊界在r=8 mm時(shí)出現(xiàn)最大值，且位移模式以彎曲振動(dòng)和縱向振動(dòng)為主。

3) 隨著橡膠高度的增加，帶隙范圍變化不大，但是帶隙頻率一直在增高，所以通過(guò)調(diào)節(jié)橡膠的高度，可以滿足不同頻率范圍的減振效果，從而可以針對(duì)不同的減振需求達(dá)到帶隙范圍的可調(diào)節(jié)化。

4) 在四周挖去4個(gè)角來(lái)減少橡膠的剛度對(duì)于聲子晶體的帶隙影響效果不大，具體剛度對(duì)帶隙的影響還需要做進(jìn)一步研究認(rèn)證。