基于機(jī)器學(xué)習(xí)梯度下降法的OAM對準(zhǔn)算法*

張亞中，李玉簫，劉雨享，何 偉

（南京郵電大學(xué)，江蘇 南京 210003）

0 引 言

近年來，互聯(lián)網(wǎng)業(yè)務(wù)的迅速發(fā)展使信道容量接近飽和，頻譜利用率也逼近香農(nóng)限。而帶有軌道角動量（Orbital Angular Momentum，OAM）的渦旋電磁波OAM渦旋電磁波具有相互正交的不同模態(tài)，有望通過開辟一個新的維度“模分復(fù)用”，提高頻譜效率，實(shí)現(xiàn)同一頻帶承載更大的傳輸容量，因此成為通信領(lǐng)域和電磁波領(lǐng)域的熱點(diǎn)。

當(dāng)發(fā)射和接收陣列天線個數(shù)相同并且彼此完全對齊時，OAM系統(tǒng)的信道容量與多輸入多輸出（Multiple Input Multiple Output，MIMO）陣列信號相比擬。但是當(dāng)發(fā)射接收機(jī)之間出現(xiàn)軸心偏角時，接收器可能會收到錯誤的模態(tài)，即產(chǎn)生模態(tài)串?dāng)_，導(dǎo)致誤碼率增大，系統(tǒng)性能下降，劣于MIMO系統(tǒng)[1-2]。

這是由于渦旋電磁波的螺旋傳輸特性，OAM系統(tǒng)要求收發(fā)天線軸心對齊，而由于用戶接入數(shù)量的巨大和模態(tài)復(fù)用的存在，以及多址用戶的動態(tài)性，都會引起波達(dá)角的時變，帶來大量的信息丟失和不必要的功率損耗，這都對大型天線陣列精準(zhǔn)對齊和應(yīng)對多址用戶動態(tài)變化提出了更高的要求。周葉青等人對OAM系統(tǒng)在不對齊情況下的接收功率譜密度進(jìn)行了仿真，提出一種基于二分法迭代的軌道角動量無線通信中軸向?qū)?zhǔn)的新方法[3]。但是這種對準(zhǔn)算法收斂速度較慢，初始狀態(tài)不容易滿足，并且過程繁瑣，不適合于機(jī)器的高效操作。本文提出一種基于機(jī)器學(xué)習(xí)梯度下降法的自動對齊算法，通過步長的逐步優(yōu)化，降低收斂時間，過程簡單，是一種適合于機(jī)器的高效算法。

1 基于梯度下降的對準(zhǔn)算法

為了使發(fā)射天線和接收天線的軸心對準(zhǔn)，OAM系統(tǒng)需要調(diào)整的參數(shù)主要有兩種[4]，第一，方向偏移，對應(yīng)的參數(shù)為偏角γ；第二，水平位置偏移，對應(yīng)的參數(shù)為水平坐標(biāo)（x,y）。檢驗(yàn)發(fā)射天線和接收天線是否對齊的指標(biāo)有多種，本文中使用的是接收天線接收到的信號能量譜方差，當(dāng)發(fā)射接收天線軸心對齊時，天線接收到的能量譜方差應(yīng)達(dá)到最小。

當(dāng)實(shí)際中的OAM系統(tǒng)中伴隨著橫向偏移和角度偏移時，文獻(xiàn)[5]研究了偏移情況下的拉蓋爾高斯電磁波，給出了對于發(fā)生軸偏移的OAM系統(tǒng)的諧波能量計算。文獻(xiàn)[4]給出了一種基于二分法迭代求解能量譜方差最小的最優(yōu)解的方法，但是這種方法對每一個參數(shù)初始狀態(tài)的要求比較高，需要找到分別在最優(yōu)解兩側(cè)的兩個點(diǎn)。但是實(shí)際上，我們考慮到機(jī)器實(shí)際上不知道自己當(dāng)前位置，只能獲取當(dāng)前位置相關(guān)數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)由于環(huán)境因素以及發(fā)射機(jī)狀態(tài)是一直在變化的，因此我們考慮用機(jī)器學(xué)習(xí)中的梯度下降法，依靠在當(dāng)前位置以及相鄰較近位置處接收機(jī)測量到的能量譜方差求出近似梯度。

機(jī)器學(xué)習(xí)算法中，解決無約束問題常用的方法有梯度下降法和最小二乘法。在最小化損失函數(shù)時，可以通過梯度下降法來一步步的迭代求解，得到最小化的損失函數(shù)和模型參數(shù)值。在微積分中，各個參數(shù)的偏導(dǎo)組合成的向量就是梯度。梯度的幾何意義就是函數(shù)變化最快的地方，沿著梯度向量的方向，更容易找到函數(shù)的最值。但是梯度下降法不一定找到全局最優(yōu)解，有可能是一個和局部最優(yōu)解。但是如果損失函數(shù)是凸函數(shù)，梯度下降法得到的解就一定是全局最優(yōu)解[6]。

收發(fā)天線需要調(diào)整的參數(shù)有三個，可以采用對參數(shù)逐一優(yōu)化的方案，使發(fā)射天線和接收天線逐步對準(zhǔn)，最終精確對準(zhǔn)。為了使算法更優(yōu)化，可以同時調(diào)整多個參數(shù)即多維梯度下降法，但是需要注意這時每個參數(shù)需要有不同的學(xué)習(xí)率。我們使用三維梯度下降法，得到在偏移狀態(tài)下間隔較小每一點(diǎn)的數(shù)據(jù)，然后按照如下步驟：

（1）隨機(jī)給出一組當(dāng)前機(jī)器的偏移狀態(tài)（x0,y0,γ0）；

（2）確定損失函數(shù)，能量譜方差V（x,y,γ）。

（3） 測 出 機(jī) 器 當(dāng) 前 位 置 （x0,y0,γ0）和 和 的（x0+Δ1,y0+Δ2,γ0+Δ3）能量譜方差，其中 Δi是一個很小的量，根據(jù)這兩點(diǎn)算出處的梯度；

（4）接下來需要分別為三個參數(shù)確定合適的學(xué)習(xí)因子 ηi（i=1,2,3），進(jìn)而確定步長 αi（i=1,2,3），即，即每個參數(shù)在當(dāng)前位置每次移動的距離。

（5）確定是否所有的變量，梯度下降的距離是否都小于ε，如果小于ε則算法終止，當(dāng)前（x,y,γ）即為最終結(jié)果。否則進(jìn)入步驟6。

（6）做最小值優(yōu)化，則更新所有的變量，以x為例，其更新表達(dá)式如下，y，γ同理。更新完畢后繼續(xù)轉(zhuǎn)入步驟3。

（7）算法調(diào)優(yōu)。算法的步長選擇。算法中步長α的取值取決于數(shù)據(jù)樣本，其取值應(yīng)從大到小，分別運(yùn)行算法，使迭代效果中損失函數(shù)變小的取值有效，否則要增大步長。前面說了。步長太大，會導(dǎo)致迭代過快，甚至有可能錯過最優(yōu)解。步長太小，迭代速度太慢，很長時間算法都不能結(jié)束。所以算法的步長需要多次運(yùn)行后才能得到一個較為優(yōu)的值。

2 算法仿真

2.1 一維梯度下降法

對于每一個參數(shù)變量，能量譜都是關(guān)于變量的凸函數(shù)，因此使用梯度下降法最終都能得到損失函數(shù)的最優(yōu)解。以參數(shù)x為例，任意選擇一個初始狀態(tài)，仿真時我們選擇初始狀態(tài)為x0=6，學(xué)習(xí)因子的選取與具體的數(shù)據(jù)樣本有關(guān)，我們分別設(shè)置學(xué)習(xí)因子為0.7和0.3，循環(huán)終止?fàn)顟B(tài)為ε=0.1，按照上文中的算法步驟進(jìn)行仿真。得到兩種不同的收斂路徑下，能量譜方差（用符號V表示）隨橫向偏移之間的曲線如圖1所示。

圖1 一維梯度下降法收斂路徑示意圖

圖1 中，曲線上的點(diǎn)表示實(shí)際可測量到的樣本數(shù)據(jù)，實(shí)線表示η1=0.3時的搜索路徑，搜索點(diǎn)只分布在最優(yōu)解右側(cè)；虛線表示η1=0.7時的搜索路徑，搜索點(diǎn)分布在最優(yōu)解兩側(cè)。由此可見，選擇不同的學(xué)習(xí)因子時，收斂路徑也會不同，但最終都將收斂到損失函數(shù)最小的最優(yōu)解。我們列出了不同學(xué)習(xí)因子的搜索點(diǎn)，見表1。

表1 不同學(xué)習(xí)因子的收斂步數(shù)

由表1可見，不同的學(xué)習(xí)因子η會導(dǎo)致不同的收斂速率，選擇合適的學(xué)習(xí)因子會使算法的效率有效提升。本次仿真中最優(yōu)的學(xué)習(xí)因子為0.5。

2.2 多維梯度下降法

為例更加直觀地看出算法的收斂路徑，我們先仿真給出二個參數(shù)同時調(diào)整的示意圖，實(shí)際中可以同時調(diào)整三個參數(shù)，各自步長的選取需要人為靈活調(diào)整。

按照梯度下降法求解能量譜方差隨（x,y）的路徑示意圖如圖2所示。其中實(shí)線路徑表示學(xué)習(xí)因子較小的情況，虛線路徑表示學(xué)習(xí)因子較大的情況，兩者最終都收斂至凸函數(shù)的最優(yōu)解。

多維梯度下降法可以提高算法效率，但是步長的確定需要根據(jù)實(shí)際的數(shù)據(jù)樣本靈活調(diào)整。

圖2 多維梯度下降法收斂路徑示意圖

3 結(jié) 語

OAM渦旋電磁波在提高無線通信系統(tǒng)容量方面有很大的潛力，但是對收發(fā)天線的對準(zhǔn)非常嚴(yán)格。本文我們建立了基于機(jī)器學(xué)習(xí)梯度下降法的OAM對準(zhǔn)算法模型，仿真表明不同的學(xué)習(xí)率會導(dǎo)致不同的收斂速度，因此我們給出了一種優(yōu)化學(xué)習(xí)率的方案，確定了此條件下的最佳學(xué)習(xí)率，實(shí)現(xiàn)了收發(fā)天線的快速對準(zhǔn)。這種算法與前人的算法相比在實(shí)際中收斂速度更快，更適合于機(jī)器，對初始狀態(tài)要求低。未來的工作將考慮多維梯度下降法，以及優(yōu)化學(xué)習(xí)率的高效算法。