帶有不同Hardy項的橢圓方程組的Mountain-Pass解

康東升,高蒙, 劉曉楠, 曹玉平

(1 中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院, 武漢 430074； 2 中南民族大學(xué) 圖書館, 武漢 430074)

1 相關(guān)知識及假設(shè)

本文主要研究下列臨界橢圓方程組：

(1)

其中Ω?N(N≥3),0∈Ω是光滑有界區(qū)域, 參數(shù)滿足以下條件：

(2)

這里E(u,v):=|u|2+|

F(u,v):=|u|2*+|v|2*+η|u|α|v|β,

Q(u,v):=a1u2+2a2uv+a3v2.

因此能量泛函J∈C1(H×H,). 我們稱(u,v)∈H×H{(0,0)} 是方程(1)的解, 如果

(u,v)≠(0,0)，J′(u,v),(φ,φ)=0,?(φ,φ)∈H×H,

這里J′(u,v)是能量泛函J在點(u,v)的Fréchet導(dǎo)數(shù).在(H1)的假設(shè)下, 由Hardy, Sobolev和Young不等式, 我們可以定義如下最佳Sobolev常數(shù)[2-4]:

S(μ1,μ2)=

這里D=(D1,2(N))2{(0,0)},D1,2(N)是N)關(guān)于·|2dx)1/2的完備化.

近年來, 許多學(xué)者研究了帶有Hardy不等式和臨界非線性的橢圓方程組(參見[2-7]). 在文獻(xiàn)[4]中, Terracini證明了最佳常數(shù)S(μ)的達(dá)到函數(shù)為:

其中Uμ(x)是如下的徑向?qū)ΨQ函數(shù):

在(H1)的假設(shè)下, 我們定義如下常數(shù):

除(H1)外, 還定義下列假設(shè)：

(H2)β<2或者η>η*.

我們得到的新結(jié)果歸納為以下定理.

本文用到以下符號和定義:o(1)表示一個無窮小量,O(εt)滿足|O(εt)|/εt≤C(任意ε>0足夠小), 特別地,o(εt) 表示當(dāng)ε→0時,|o(εt)|/εt→0,O1(εt)表示存在常數(shù)C1,C2>0使得C1εt≤O1(εt)≤C2εt. 我們將正常數(shù)表示為C, 有時省略積分中的dx.

2 引理及證明

證明證明過程類似于文獻(xiàn)[6]中引理2.1, 這里略去.

假設(shè) (H1)成立, 考慮如下橢圓方程組:

(3)

需要指出的是, 文獻(xiàn)[2]首次介紹了方程組(3), 文獻(xiàn)[3]證明了方程組(3)徑向?qū)ΨQ且嚴(yán)格遞減解的存在性, 文獻(xiàn)[8]則證明了方程組(3)徑向?qū)ΨQ且嚴(yán)格遞減的解的漸近性質(zhì).

引理2[3]假設(shè)(H1)和(H2)成立, 則最佳常數(shù)S(μ1,μ2)存在一個正的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減的達(dá)到函數(shù)對(U(x),V(x)).

引理3[8]假設(shè)(H1)成立, (u,v)∈

(D1,2(N))2是方程組(3)正的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減的解. 設(shè)r=|x|.

1)另外假定(H4)成立, 則存在常數(shù)Ci>0,1≤i≤4, 使得：

(4)

2)另外假設(shè)(H5)成立, 則u滿足(4)式, 且存在常數(shù)ci>0,1≤i≤6 , 使得v滿足：

3 解的存在性

設(shè)(U(x),V(x))是在引理2中得到的最佳常數(shù)S(μ1,μ2)的徑向?qū)ΨQ嚴(yán)格遞減的達(dá)到函數(shù)對. 定義：

引理4假設(shè)(H1)和(H2)成立.

(i) 則有：

(ii) 進(jìn)一步假設(shè)(H4)成立, 則：

(iii) 進(jìn)一步假設(shè)(H5)成立, 則：

證明假設(shè)(H5)成立, 直接計算可得：

通過討論發(fā)現(xiàn)當(dāng)條件(H1),(H2),(H5)成立的情況與條件(H1),(H2),(H4)成立的情況相同. 我們僅在假設(shè)條件(H4)成立的基礎(chǔ)上證明(i)的第一個等式和第二個等式. 其他情況也可以類似地證明(過程略).

假設(shè)條件(H1), (H2), (H4)成立, 因為(Uε(x),Vε(x))是S(μ1,μ2)的達(dá)到函數(shù)對,則：

(5)

由(5)式、引理2和引理3有：

|φ||φ||Vε||Vε|dx=

|x|-2b(μ2)-2dx+

如果(H4)成立, 則有：

證畢.

證明我們只證明當(dāng)(H4)成立的情況, (H5)成立時的證明過程類似.

可以得到:

(6)

(7)

由(6), (7)式和引理4有：

引理5證畢.

滿足引理1條件的{(un,vn)}存在子序列, 仍記為{(un,vn)}, 使得在H×H中,(un,vn)→(u,v). 因此，(u,v)是能量泛函J的臨界點, 且(u,v)是方程組(1)的解,c是其對應(yīng)的臨界值.