淺談統(tǒng)計(jì)決策方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

朱慧　賈云濤

摘要：本文主要討論了在數(shù)學(xué)建模中解決一些經(jīng)濟(jì)決策類問(wèn)題所需的幾種統(tǒng)計(jì)決策方法，給出了算法步驟，和適用條件。最后進(jìn)行了案例分析，根據(jù)不同的決策結(jié)果對(duì)決策方法做了總結(jié)。

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計(jì)決策;數(shù)學(xué)建模;損益值

中圖分類號(hào)：O224

文獻(xiàn)識(shí)別碼：A

文章編號(hào)：1001-828X（2019）010-0459-01

一、引言

數(shù)學(xué)是一門重要的基礎(chǔ)學(xué)科，應(yīng)用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型是最關(guān)鍵的一步。數(shù)學(xué)建模在不同領(lǐng)域的研究和發(fā)展中日益彰顯出其重要性，是現(xiàn)代科技工作者必備的能力之一。數(shù)學(xué)建模面臨的問(wèn)題是紛繁復(fù)雜的，建模的方法也各不相同。在經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，經(jīng)常遇到對(duì)未來(lái)的現(xiàn)象和規(guī)律進(jìn)行分析預(yù)測(cè)的問(wèn)題，對(duì)于預(yù)測(cè)者來(lái)說(shuō)，預(yù)測(cè)的最終目的是要從各種預(yù)測(cè)的結(jié)果和方案中做出最優(yōu)選擇，這就涉及到?jīng)Q策問(wèn)題。在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的決策問(wèn)題中，統(tǒng)計(jì)決策方法是必不可少的工具，也是數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)中需要掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。下文將對(duì)幾種統(tǒng)計(jì)決策方法進(jìn)行分析和討論。二、統(tǒng)計(jì)決策方法

1.風(fēng)險(xiǎn)型決策方法

在建模時(shí)，如果涉及到最優(yōu)方案的選擇，每種方案相關(guān)條件是不確定的，要結(jié)合概率來(lái)做判斷，這就屬于風(fēng)險(xiǎn)型決策。做決策時(shí)，抉擇的標(biāo)準(zhǔn)有很多，損益的最大期望值就是其中之一。該方法通過(guò)計(jì)算各個(gè)可行方案的期望損益值，選擇其中期望收益最大的或期望損失最小的方案作為最優(yōu)方案。

計(jì)算的過(guò)程可以在損益表中進(jìn)行，也可以用決策樹(shù)方法。在決策樹(shù)中，用矩形方框代表決策點(diǎn)，表示該處需要做出方案選擇;從矩形引出若干條直線，表示各種備選方案，稱為方案枝;在直線末端畫一圓圈代表機(jī)會(huì)點(diǎn);從機(jī)會(huì)點(diǎn)引出若干直線代表自然狀態(tài)，分別標(biāo)上概率，稱為概率枝。在概率枝的末端標(biāo)上該條件下的損益值，最終得到整個(gè)樹(shù)形圖。通過(guò)從右往左，比較每個(gè)方案枝的損益值，選出最大值對(duì)應(yīng)的方案。決策樹(shù)方法，所用到的數(shù)學(xué)工具簡(jiǎn)單，并且可以直觀的把討論的問(wèn)題的所有信息展示出來(lái)，方便決策者整體把握。尤其是對(duì)于面臨的方案、狀態(tài)較多，并且行動(dòng)方案帶有階段性，不同階段的不同狀態(tài)有著相互影響的時(shí)候，更適合用決策樹(shù)的方法。

在該方法中，選擇方案所依賴的一個(gè)重要信息就是各自然狀態(tài)出現(xiàn)的概率，也叫先驗(yàn)概率。概率如果出現(xiàn)一些偏差有可能引起決策結(jié)果的改變。決策時(shí)，先驗(yàn)概率可以根據(jù)歷史數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)得到，具有一定的主觀性。為了降低風(fēng)險(xiǎn)，也可根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，搜集補(bǔ)充資料，進(jìn)行修正，利用貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)概率，利用后驗(yàn)概率進(jìn)行期望損益值計(jì)算，選擇方案。

2.不確定型決策方法

如果對(duì)于自然狀態(tài)的概率完全不確定，則可使用不確定型決策方法，一般有“樂(lè)觀決策法”，“悲觀決策法”，“α系數(shù)決策法”，

“等概率決策法”等。其中，等概率決策表示取各自然狀態(tài)概率相等，與決策樹(shù)方法類似?！皹?lè)觀決策法”是在每個(gè)方案的最大損益值中挑選最大值對(duì)應(yīng)的那個(gè)方案?！氨^決策法”是在每個(gè)方案的最小損益值中挑選最大值對(duì)應(yīng)的方案?！唉料禂?shù)決策方法”則是對(duì)上述兩種方法的折衷選擇。同一問(wèn)題，采取的方法不同，有可能會(huì)得到不同的方案。比較來(lái)看，“樂(lè)觀決策法”適合對(duì)未來(lái)發(fā)展形勢(shì)樂(lè)觀，對(duì)市場(chǎng)有信心的決策者;“悲觀決策法”則適合承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)能力小，比較保守，缺乏信心的企業(yè)決策者;“α系數(shù)決策方法”則是體現(xiàn)了決策者對(duì)未來(lái)發(fā)展形勢(shì)的中立看法。

三、案例分析

例1：某公司打算擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，有三個(gè)行動(dòng)方案d1，d2，d3，兩個(gè)自然狀態(tài)θ1，θ2，d1，d2，d3在狀態(tài)θ1下?lián)p益值（萬(wàn)元）分別為8，-1，3;在狀態(tài)θ2下的損益值分別為-3，6，4;該選擇哪個(gè)方案最佳？

首先，如果知道每個(gè)自然狀態(tài)的概率，假設(shè)P（θ1）=0.8，P（θ2）=0.2，那么可以用以期望值為標(biāo)準(zhǔn)的風(fēng)險(xiǎn)型決策方法，為直觀，我們用決策樹(shù)來(lái)體現(xiàn)決策問(wèn)題的整體局面。

在決策點(diǎn)1處，方案d1期望損益最大，選擇方案d1作為最終的行動(dòng)方案。

如果自然狀態(tài)的概率未知，則可選擇不確定型決策方法。例如等概率決策方法，假設(shè)每種狀態(tài)的概率相同P（θ1）=0.5，P（θ2）=0.5，則可得各方案的期望收益為E（d1）=2.5，E（d2）=2.5，E（d3）=3.5，此時(shí)將選擇d3作為最優(yōu)方案。

此外，若不使用自然狀態(tài)概率，則也可根據(jù)決策者的對(duì)市場(chǎng)的預(yù)期和主觀判斷來(lái)決策方法。比如決策者比較保守求穩(wěn)，認(rèn)為形勢(shì)不樂(lè)觀，用“悲觀決策法”?？梢员容^出每個(gè)方案的最低收益分別為-3，-1，3，最低收益中最大值為3，所以方案d3為最優(yōu)方案。

四、結(jié)語(yǔ)

從上述案例中，我們可以看出選擇的方案會(huì)隨著決策方法的不同而改變。在同一個(gè)問(wèn)題中，很難用理論證明哪種方法更好。所以在建模過(guò)程中，決策者需要對(duì)歷史數(shù)據(jù)，對(duì)市場(chǎng)的客觀情況有充分的分析，在合理的假設(shè)下選擇合適的決策方法進(jìn)行分析，并且可以對(duì)不同決策方法所得的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，進(jìn)而取得最佳決策方案。

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