抽樣分布的若干反例

張幗奮

【摘要】數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有三大分布，χ2分布，t分布和F分布，這三個(gè)分布的定義中要求隨機(jī)變量之間相互獨(dú)立，一旦相互獨(dú)立的條件不滿足，那么得到的隨機(jī)變量函數(shù)就不再服從原來的分布;又比如，在正態(tài)總體下，樣本均值與樣本方差是相互獨(dú)立的，如果沒有正態(tài)總體這個(gè)條件，樣本均值與樣本方差就不一定獨(dú)立.本文針對這些問題，列舉若干反例加以說明.

【關(guān)鍵詞】χ2分布;t分布;F分布;正態(tài)總體;獨(dú)立性

【基金項(xiàng)目】在線開放課程開發(fā)（2016），高等教育出版社.

一、引 言

在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》[1]教材或課程中都會(huì)提到數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布：χ2分布、t分布和F分布.它們是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，在剛開始學(xué)習(xí)的時(shí)候，有不少同學(xué)并不太注意定義中獨(dú)立的條件.那么，如果把獨(dú)立的條件去掉，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？這就是本文想要說明的，通過若干具體的例子，提醒我們定義中獨(dú)立的條件是不可缺少的.另外，在學(xué)習(xí)抽樣分布時(shí)，我們知道，如果是正態(tài)總體，那么樣本均值與樣本方差是相互獨(dú)立的.但這個(gè)定理的證明相對來說比較復(fù)雜，所以多數(shù)學(xué)生只知道樣本均值與樣本方差獨(dú)立，而沒有注意前提是正態(tài)總體，一旦失去這個(gè)前提，樣本均值與樣本方差就不一定獨(dú)立了.下面我們就針對以上問題一一給出反例加以說明.