數(shù)學(xué)建模教學(xué)“五步曲”例談

鄭琰

新課標(biāo)明確指出，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步與發(fā)展。數(shù)學(xué)建模就是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，然后根據(jù)模型進(jìn)行求解，最后用結(jié)果去解決實(shí)際問(wèn)題。

在職高數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生基礎(chǔ)較為薄弱，理解掌握知識(shí)慢、錯(cuò)誤多，不能完全有效地掌握教師所傳授的知識(shí)和技能。再加上數(shù)學(xué)這一門學(xué)科抽象性極強(qiáng)，造成了數(shù)學(xué)難懂、難教、難學(xué)。數(shù)學(xué)建模教學(xué)應(yīng)遵循“五步曲”，下面就以購(gòu)房貸款中的數(shù)學(xué)——數(shù)列的應(yīng)用舉例一課為例，談?wù)劰P者對(duì)此的看法。

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)建模興趣

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的?！?教師要充分挖掘生活資源，在現(xiàn)實(shí)中尋找數(shù)學(xué)素材，把有限的知識(shí)源于無(wú)窮的生活情境中，使數(shù)學(xué)零距離貼近生活，揭開(kāi)它抽象的神秘面紗，感受數(shù)學(xué)的真諦和價(jià)值。在教學(xué)中，筆者開(kāi)放小教室，把生活中的鮮活題材引入課堂。

創(chuàng)設(shè)情境：參觀房地產(chǎn)銷售中心，獲取“中梁玖墅購(gòu)房中心”A、B、C、D四種房型的相關(guān)信息。

房型A 面積105平方米，總價(jià)104萬(wàn)元;

房型B 面積95平方米，總價(jià)92萬(wàn)元;

房型C 面積112平方米，總價(jià)126萬(wàn)元;

房型D 面積166平方米，總價(jià)180萬(wàn)元。

思考并回答：

①什么是等額本息？什么是等額本金？

②如何計(jì)算各月還款額？總還款額？總利息額？

③個(gè)人住房按揭貸款首付款比例不得低于多少？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課外實(shí)地調(diào)查及網(wǎng)絡(luò)搜索，讓學(xué)生初步感知當(dāng)前一個(gè)社會(huì)生活現(xiàn)象——貸款買房，推送微課方便學(xué)生隨時(shí)隨地自主學(xué)習(xí)。通過(guò)平臺(tái)進(jìn)行數(shù)據(jù)匯總、檢測(cè)答題、主題討論，明確課堂中要解決的問(wèn)題，提高學(xué)習(xí)效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

二、引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，培育建?；A(chǔ)

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，其根源是實(shí)際問(wèn)題的解決，教師應(yīng)該選取適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)建模問(wèn)題，結(jié)合數(shù)學(xué)教材中的相關(guān)內(nèi)容，將生活中的應(yīng)用問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)。

實(shí)例：花明天的錢圓今天的夢(mèng)，已經(jīng)是一種相當(dāng)普遍的生活方式了。俗話說(shuō)：有貸有還，再貸不難，貸款不還，信用度可要直線下降;借了錢，就要準(zhǔn)備還，如何借，怎么還呢？接下來(lái)就一起來(lái)研究一下貸款購(gòu)房中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

教師：我看中了“中梁玖墅”的D型房，你能根據(jù)房型D的“購(gòu)房信息”計(jì)算出各月還款額？累計(jì)還款總額和累計(jì)支出利息嗎？

回顧主題討論，引導(dǎo)學(xué)生討論計(jì)算方法的可行性，初步確定出使用專業(yè)知識(shí)計(jì)算、網(wǎng)絡(luò)搜索、銀行咨詢?nèi)N計(jì)算求解方式。

將學(xué)生分為不同層次的三個(gè)小組：

組①（計(jì)算組）：利用已學(xué)過(guò)的單復(fù)利計(jì)算公式進(jìn)行求解，借助“智通課堂”APP、計(jì)算相關(guān)結(jié)果;

組②（網(wǎng)絡(luò)組）：通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索引擎查詢相關(guān)結(jié)果;

組③（咨詢組）：連線銀行貸款評(píng)估員在線咨詢結(jié)果。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)與專業(yè)相關(guān)的生活實(shí)際問(wèn)題，使學(xué)生形成高昂的學(xué)習(xí)熱情。通過(guò)分層、分組、分任務(wù)的“頭腦風(fēng)暴”，實(shí)現(xiàn)了“人人有事做、人人都能做”。突出本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，激發(fā)了學(xué)生探索新知識(shí)的欲望。

三、引導(dǎo)自主探究，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在教學(xué)中要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型幫助學(xué)生加以理解，通過(guò)自主合作探究，充分給學(xué)生更多的自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)、動(dòng)手操作的時(shí)間、展示思維過(guò)程的舞臺(tái)，培養(yǎng)學(xué)生分析和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析和解決問(wèn)題的能力以及合作與交流的能力。

1.走近“等額本息”還款方式

環(huán)節(jié)一：連線財(cái)會(huì)專業(yè)教師。

數(shù)學(xué)教師打算購(gòu)買D型房，購(gòu)房總額為180萬(wàn)元，支付54萬(wàn)元最低首付款額，則需要向銀行貸款126萬(wàn)元，貸款期限為20年，共20×12=240月，2018年的貸款月利率為r=4.9%÷12≈0.4083333%（這里為了方便計(jì)算，我們就將貸款月利率統(tǒng)一按0.4%計(jì)算）。

財(cái)會(huì)教師結(jié)合《財(cái)務(wù)管理》中的所學(xué)貨幣時(shí)間價(jià)值引出時(shí)間軸，設(shè)每個(gè)月應(yīng)付款x元，從時(shí)間軸出發(fā)，起始時(shí)間上我們從銀行借得126萬(wàn)元，然后每個(gè)月還x元，共分240個(gè)月還清。

由于本金及還款額因復(fù)利的存在其價(jià)值會(huì)隨著時(shí)間而增長(zhǎng)。最后再根據(jù)會(huì)計(jì)專業(yè)中權(quán)利與義務(wù)相統(tǒng)一的原則：貸款總額與還款總額必須相等，建立等量關(guān)系，進(jìn)而得出相關(guān)結(jié)論。聰明的你們還等什么？趕快動(dòng)手做起來(lái)吧！

設(shè)計(jì)意圖：借助學(xué)習(xí)通平臺(tái)直播功能連線財(cái)會(huì)教師。引出時(shí)間軸幫助學(xué)生了解專業(yè)課程中貸款總額與還款之間的等量關(guān)系，同時(shí)拓展學(xué)習(xí)空間。

環(huán)節(jié)二：實(shí)例探究。

①玩一玩：“時(shí)間軸”APP

②看一看：觀察以上動(dòng)態(tài)程序圖表后，你發(fā)現(xiàn)貸款金額與還款金額以時(shí)間節(jié)點(diǎn)為項(xiàng)數(shù)呈什么規(guī)律增長(zhǎng)了嗎？（學(xué)生能發(fā)現(xiàn)其均成等比數(shù)列）

③算一算：根據(jù)會(huì)計(jì)專業(yè)中權(quán)利與義務(wù)相統(tǒng)一的原則我們知道：貸款總額與還款總額必須相等，那么你能得出怎樣的結(jié)論呢？

對(duì)于一般的等額本金還款問(wèn)題，每月還款額可以分成本金部分和利息部分，其計(jì)算公式分別為：

本金部分=貸款本金÷貸款期月數(shù)

利息部分=（貸款本金-已歸還貸款本金累計(jì)額）×月利率

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)畫微視頻、時(shí)間軸app，直觀感知到其中蘊(yùn)含等差數(shù)列模型，本節(jié)課的另一個(gè)重難點(diǎn)得以解決，進(jìn)而得出等額本金還款方式的一般求解公式。

四、解決實(shí)際問(wèn)題，解釋應(yīng)用模型

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)將數(shù)學(xué)與實(shí)際生活緊密相連的一個(gè)很好的橋梁。用數(shù)學(xué)的思維方法分析問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題，在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，初步掌握數(shù)學(xué)建模思想，體驗(yàn)學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)真正為生活服務(wù)。

實(shí)例：對(duì)課前搜集到的“購(gòu)房信息”A，B，C三種房型，分別用等額本息和等額本金兩種還款方式，計(jì)算他們的每月還款額、還款總額和利息總額。

教師：依托實(shí)時(shí)互動(dòng)平臺(tái)，調(diào)閱學(xué)生操作情況，有針對(duì)性地進(jìn)行指導(dǎo)。

學(xué)生：對(duì)等額本息還款法和等額本金還款法進(jìn)行比較，分析這兩種還款方式的區(qū)別。

1.等額本息還款法

就是每個(gè)月還款的“本+息”之和始終保持不變。每月以相等的金額償還貸款本息。每月還款額中蘊(yùn)含著等比數(shù)列模型問(wèn)題。優(yōu)點(diǎn)是等額本息的月還款額固定不變，便于借款人記憶;缺點(diǎn)是與等額本金還款方式相比，借款人若按照等額本息方式還款需要支付的貸款利息較多，適合工作、收入穩(wěn)定的房貸客戶。

2.等額本金還款法

就是每月的還款總額里，每期還的本金不變，只要求出每期的應(yīng)還利息數(shù)就行了。每月還款額和利息中均蘊(yùn)含著等差數(shù)列模型問(wèn)題。等額本金還款的優(yōu)點(diǎn)是可以為借款人節(jié)省不少貸款利息;缺點(diǎn)是雖然按照等額本金方式還款可以省不少錢，但是這種還款方式的前期還款壓力較大，所以只適用于收入較高的房貸客戶。

五、回歸生活情境，拓展模型外延

從數(shù)學(xué)角度出發(fā)的話，建模就是聯(lián)結(jié)數(shù)學(xué)的“兩張臉”，即現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)和抽象形式化的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)建模的最終歸宿就是讓數(shù)學(xué)回歸生活，讓數(shù)學(xué)模型為生活所用。

數(shù)學(xué)建模是動(dòng)手操作的過(guò)程，學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，再用現(xiàn)實(shí)模型驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的正確性，這充分驗(yàn)證了“實(shí)踐出真知”的道理;數(shù)學(xué)建模也是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，在此過(guò)程中，應(yīng)用的不僅僅是在數(shù)學(xué)課堂所學(xué)的知識(shí)，還有其他學(xué)科知識(shí)的滲透與生活知識(shí)的融入，有利于實(shí)現(xiàn)“融會(huì)貫通，綜合運(yùn)用”的教學(xué)目標(biāo)。

（作者單位：寧波建設(shè)工程學(xué)校）