時空分數階擴散方程的最小二乘混合型有限元方法

劉思宇 陳煥貞

( 山東師范大學數學與統(tǒng)計學院,250358,濟南 )

1 引 言

考慮如下時空分數階變系數擴散方程

(1)

2 預備知識

本節(jié)簡要介紹兩類分數階導數算子和分數階Soblove空間的定義及其相關性質.

對自然數n和n-1<α

(2)

這里

(3)

(4)

并且滿足伴隨性質

(5)

對α(n-1<α

(6)

(7)

半范為

(8)

3 最小二乘混合型變分形式

則在t=tn時, 問題(1)改寫為

(9)

其中,

pn=p(x,tn),fn=f(x,tn),

γα,τ=(1-α)Γ(1-α)τα,

經適當整理后, (9)可表達為下式:

(10)

為方便書寫, 我們在下文中將pn仍記作p,并引入中間變量u=-Dp，則問題(10)改寫為

(11)

依據(11), 我們定義下列最小二乘泛函

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

在此基礎上, 我們將證明極小問題(13)與變分形式(14)等價.

定理1極小問題(13)與變分問題(14)等價.

證根據(12), 我們可構造如下的二次函數Φ(s),s≥0,

Φ(s)=L([p+sq,u+sv]).

(17)

將其展開后, 表達式為

顯然, [p,u]使泛函L取極小等價于二次函數Φ(s)在s=0取極小, 由

Φ'(0)=B([p,u],[q,v])-F([q,v])=0,

可推出

B([p,u],[q,v])-F([q,v])=0,

且

Φ''(0)=L([q,v],[q,v])=0.

此即說明, 二次函數Φ(s)在s=0取極小, 從而, [p,u]使泛函L取極小等價于[p,u]滿足變分形式(14).

B([q,v];[q,v])

B([p,u];[q,v])

連續(xù)性得證.

4 全離散的最小二乘混合有限元格式

本節(jié)中, 我們將基于上述最小二乘變分形式構造最小二乘混合有限元離散格式, 并給出收斂性結果, 并重點討論線性有限元算法.

此處Pk(Ii)表示次數不高于k的多項式子空間.

相應于變分問題(15)全離散的混合有限元格式定義如下: 求(ph,uh)∈Vh×Hh使

B([ph,uh];[qh,vh])=F([qh,vh]),?[qh,vh]∈Vh×Hh.

(18)

定理3最小二乘混合有限元離散格式(18)在Vh×Hh中存在唯一解, 且具有下列收斂性

(19)

在實際計算中, 分別令qh=0和vh=0, 得到與(18)的等價形式,

(20a)

(20b)

這就意味著格式(18)可以被分裂成兩個子系統(tǒng)(20a)和(20b)分別求解.

為方便應用, 下面將重點討論線性有限元算法, 即有限元空間指數分別為l=1,k=1. 此時, 可設有限元空間的Lagarange節(jié)點基函數φi,i=0,1,2,…,N, 即

令

則格式(20a與(20b))可表達為以下矩陣的形式:

(A+B)p+(γα,τC+D)u=F,

(21a)

(21b)

其中

A=(φj,φi)(N-1)×(N-1),B=(Dφj,Dφi)(N-1)×(N-1),

且F=(f1,f2,…,fN-1)T, 對應分量為

G=(g0,g1,…,gN)T對應分量為

經復雜計算可知,A是對稱正定三對角陣, 且

B是對稱正定三對角陣, 且

C是一個具有Toeplitz結構正定矩陣, 且

其中,矩陣元素表示為

D是反對稱矩陣, 且

E是對稱正定陣, 且

其中，矩陣元素表示為

這里, 矩陣E的元素可通過六點高斯數值積分公式求出.

5 數值實驗

本節(jié)通過一個數值實驗例子對不同的分數階導數階數α,β來驗證最小二乘混合元格式的有效性, 我們通過Matlab軟件進行數值模擬, 經過復雜編程后得到數值實驗擬合結果.

P(x,t)=t2x2(1-x)2∈H2+γ([0,1]),

u(x)=-Dp=t2(4x3-6x2+2x)∈H1+γ([0,1]),

表1 關于p-ph在時間步長τ=2-10下的誤差

表2 關于u-uh在時間步長τ=2-10下的誤差