基于量子高斯混合模型的振動(dòng)信號(hào)降噪方法

楊望燦， 張培林， 陳彥龍， 吳定海， 李海平

(1.91404部隊(duì),秦皇島 066004;2.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 七系，石家莊 050003;3.陸軍特種作戰(zhàn)學(xué)院,桂林 541000；4.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 六系，石家莊 050003)

在機(jī)械設(shè)備運(yùn)行過程中，由于其工作條件和工(作環(huán)境較為惡劣，因此機(jī)械設(shè)備部件容易出現(xiàn)磨損和發(fā)生故障[1]。為了及時(shí)了解機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行狀態(tài)和及早發(fā)現(xiàn)機(jī)械設(shè)備的故障情況，振動(dòng)信號(hào)監(jiān)測和分析方法是一種行之有效的技術(shù)手段[2]。但是，由于機(jī)械設(shè)備的運(yùn)行工況較為復(fù)雜，振源較多，采集到的振動(dòng)信號(hào)經(jīng)常被強(qiáng)背景噪聲所淹沒，導(dǎo)致機(jī)械設(shè)備故障狀態(tài)特征不明顯，降低了對機(jī)械設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)判斷的準(zhǔn)確程度。因此，如何對采集的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理得到了廣大學(xué)者的熱切關(guān)注[3-5]。

由于小波變換具有多分辨率的時(shí)頻分析特性，因此被用于多種類型信號(hào)的降噪分析處理中[6-7]。其中，部分學(xué)者通過假設(shè)小波分解系數(shù)符合某一概率統(tǒng)計(jì)模型，結(jié)合貝葉斯先驗(yàn)知識(shí)，估計(jì)噪聲小波系數(shù)方差，得到小波系數(shù)收縮函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪。文獻(xiàn)[8]將雙樹復(fù)小波分解信號(hào)得到的高頻系數(shù)和低頻系數(shù)分別采用最大后驗(yàn)估計(jì)算法和廣義形態(tài)濾波進(jìn)行降噪處理，消除可見光近紅外光譜噪聲。文獻(xiàn)[9]應(yīng)用高斯混合模型(Gaussian Mixture Model，GMM)對小波分解的各類系數(shù)建模，通過噪聲方差估計(jì)對信號(hào)進(jìn)行降噪。其中，GMM能夠較好地描述小波系數(shù)的分布情況，降噪效果比較理想。但是傳統(tǒng)的GMM使用全局統(tǒng)一的閾值函數(shù)，算法的局部自適應(yīng)較差，使算法的應(yīng)用受到一定的限制[10]。

自從Eldar等[11]提出量子信號(hào)處理(Quantum Signal Processing，QSP)理論后，基于量子理論的信號(hào)處理技術(shù)逐漸得到了廣泛地應(yīng)用[12-14]。文獻(xiàn)[15]通過建立量子模型，對聲音信號(hào)進(jìn)行量子傅里葉編碼，相比傳統(tǒng)的聲音信號(hào)處理方法，該方法在魯棒性和計(jì)算復(fù)雜度方面均有改善。文獻(xiàn)[16]將圖像像素的位置信息和灰度值信息分別用比特量子系統(tǒng)的基態(tài)和量子比特描述，實(shí)現(xiàn)了量子圖像的水印加注。受量子衍生信號(hào)處理技術(shù)的啟發(fā)，本文提出了一種基于量子高斯混合模型(Quantum Gaussian Mixture Model，QGMM)的振動(dòng)信號(hào)降噪方法，將量子疊加態(tài)理論應(yīng)用于雙樹復(fù)小波包系數(shù)建立的高斯混合模型中，改善高斯混合模型的局部自適應(yīng)性，使小波包系數(shù)自適應(yīng)非線性收縮，提升機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的降噪處理效果。

1 高斯混合模型的建立

1.1 雙樹復(fù)小波包變換

雙樹復(fù)小波變換是一種有限冗余的小波變換方法，具有近似平移不變性，改善了傳統(tǒng)離散小波變換的Gibbs效應(yīng)和平移敏感性。由于雙樹復(fù)小波變換沒有對高頻部分進(jìn)一步分解，因此為了提高振動(dòng)信號(hào)的頻率分辨率，本文采用雙樹復(fù)小波包變換(Dual-Tree Complex Wavelet Packet Transform，DTCWPT)對信號(hào)的高頻部分和低頻部分同時(shí)進(jìn)行雙樹復(fù)小波變換，用兩棵并行的小波樹實(shí)現(xiàn)振動(dòng)信號(hào)的分解。雙樹復(fù)小波包變換如下式所示

(1)

式中：l=(1，2，…，J)為變換尺度因子;J為最大變換尺度。

雙樹復(fù)小波包變換第一層采用傳統(tǒng)的非下抽樣小波變換分解，然后對小波系數(shù)進(jìn)行奇偶分離，分別采用Mallat算法進(jìn)行分解和重構(gòu)，雙樹復(fù)小波包分解的小波系數(shù)如下式所示

(2)

(3)

式中:h(n)和g(n)為希爾伯特變換對的濾波器組，滿足半采樣延遲，即

g(n)≈h(n-0.5)

(4)

信號(hào)重構(gòu)時(shí)，根據(jù)下式對樹a和樹b進(jìn)行聯(lián)合重構(gòu)

(5)

1.2 高斯混合模型

高斯混合模型是一種應(yīng)用較為廣泛的數(shù)理統(tǒng)計(jì)模型，其理論基礎(chǔ)為概率統(tǒng)計(jì)，具有較強(qiáng)的靈活性.機(jī)械振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過雙樹復(fù)小波包變換后，其小波分解系數(shù)呈現(xiàn)稀疏和聚集的分布特性，即在零值附近小波系數(shù)較為稀疏，但幅值較大；在分布兩端小波系數(shù)較為聚集，但幅值較小[17-18]。由于高斯混合模型的分布曲線具有“高峰值”和“長拖尾”的特性，所以可以用高斯混合模型來描述機(jī)械振動(dòng)信號(hào)小波系數(shù)的分布規(guī)律。

對含有加性高斯白噪聲的信號(hào)y(t)(y(t)=x(t)+n(t))進(jìn)行雙樹復(fù)小波包變換，根據(jù)小波變換的線性性質(zhì)，信號(hào)分解得到的小波系數(shù)滿足以下關(guān)系

Y=X+N

(6)

式中:Y=Yr+iYi，X=Xr+iXi，N=Nr+iNi分別為含噪信號(hào)，有用信號(hào)和噪聲信號(hào)的雙樹復(fù)小波包系數(shù)。

對含噪信號(hào)進(jìn)行雙樹復(fù)小波包分解后，將同一層次、同一子帶內(nèi)復(fù)小波系數(shù)的實(shí)部系數(shù)和虛部系數(shù)按照一一間隔的方式排列，即Yd(s)=[Yr(1,s)，Yi(1,s)，Yr(2,s)，Yi(2,s)，…，Yr(nk,s,s)]，其中nk,s為第s層第k個(gè)子帶中小波系數(shù)的個(gè)數(shù)。對小波系數(shù)排列Yd(s)采用兩狀態(tài)的高斯混合模型建立模型，其概率密度函數(shù)如下式所示

F(Yd)=a1Gaussian(Yd,σ1)+a2Gaussian(Yd,σ2)=

(7)

式中：a1，a2分別為各個(gè)單高斯分布的權(quán)重;σ1，σ2分別為各個(gè)單高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差。

對于高斯混合模型中參數(shù)a1，a2，σ1和σ2，采用最大期望(Expectation Maximization，EM)算法計(jì)算確定。EM算法首先計(jì)算對數(shù)似然函數(shù)的期望，然后搜索使期望值最大的參數(shù)，得到混合高斯模型參數(shù)的最優(yōu)值，具體步驟參見文獻(xiàn)[19-20]。

對于高斯白噪聲信號(hào)，噪聲信號(hào)的小波系數(shù)近似服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為σN的高斯分布，其概率密度函數(shù)如下所示

(8)

1.3 貝葉斯最大后驗(yàn)估計(jì)

對于振動(dòng)信號(hào)的降噪，可以通過從觀測信號(hào)y(t)中盡可能精確地估計(jì)出真實(shí)信號(hào)x(t)來完成信號(hào)的降噪。本文采用貝葉斯最大后驗(yàn)估計(jì)(Maximum A Posterior，MAP)算法對建立的高斯混合模型進(jìn)行求解，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪處理。

(9)

根據(jù)貝葉斯理論

(10)

則式(9)變換為

(11)

此式等價(jià)于

(12)

令f(X)=lnpX(X)，對式(12)求一階導(dǎo)數(shù)，并使其等于0，得到下式

(13)

將式(7)、式(8)代入式(13)，經(jīng)過推導(dǎo)可得X的估計(jì)式，即小波系數(shù)收縮函數(shù)，如下所示

(14)

式中：σN為噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，其魯棒估計(jì)為雙樹復(fù)小波包系數(shù)的絕對值的中值[21]，即

σN=median(Yd)/0.674 5

(15)

根據(jù)建立的混合高斯模型和MAP估計(jì)，可以從含噪信號(hào)的小波系數(shù)中估計(jì)出有用信號(hào)的小波系數(shù)，然后對估計(jì)的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)信號(hào)的降噪。但是從式(14)可知，傳統(tǒng)的高斯混合模型為全局概率模型，其參數(shù)均為全局統(tǒng)一的參數(shù)，不具有局部自適應(yīng)性。當(dāng)信號(hào)中信噪比較低時(shí)，傳統(tǒng)的高斯混合模型對小波系數(shù)的分布不能達(dá)到理想的擬合精度，影響信號(hào)的降噪效果。

離合詞“A了個(gè)B”與網(wǎng)絡(luò)詞“A了(嘞)個(gè)B”同屬概念重組的結(jié)果，形式上相同，兩者都不能接賓語，但如果我們深究入語法功能、語體運(yùn)用等方面，可發(fā)現(xiàn)它們之間的巨大差別。

2 量子高斯混合模型

傳統(tǒng)的高斯混合模型本質(zhì)上是一種層內(nèi)模型，其僅考慮了同一層次內(nèi)小波系數(shù)的分布情況，但實(shí)際上信號(hào)的小波系數(shù)還存在著高階相關(guān)性，如尺度間的傳遞性。對于含噪信號(hào)的小波系數(shù)，其實(shí)質(zhì)上是有用信號(hào)小波系數(shù)和噪聲信號(hào)小波系數(shù)的疊加，與量子信號(hào)處理理論中量子疊加態(tài)原理相似，因此，根據(jù)量子疊加態(tài)理論和小波系數(shù)尺度間的相關(guān)性，提出了一種量子高斯混合模型，使高斯混合模型具有局部自適應(yīng)性，改善信號(hào)的降噪效果。

2.1 量子疊加態(tài)原理

在量子理論中，量子比特是描述量子世界的基本單位，量子比特有|0〉和|1〉兩個(gè)基本狀態(tài)。根據(jù)量子疊加態(tài)原理，量子比特所表達(dá)的狀態(tài)如下所示

|Ψ〉=a|0〉+b|1〉

(16)

式中，系數(shù)a和b稱為|0〉和|1〉兩個(gè)基態(tài)的量子概率幅，其模的平方稱為量子概率，表示對應(yīng)基態(tài)出現(xiàn)的概率值。量子概率幅需滿足歸一化條件，即

(17)

含噪信號(hào)的小波系數(shù)中包含有用信號(hào)和噪聲信號(hào)兩種小波系數(shù)，如果用基態(tài)|0〉表示噪聲信號(hào)的小波系數(shù);基態(tài)|1〉表示有用信號(hào)的小波系數(shù)。這樣量子概率幅a和b就可以表示噪聲信號(hào)和有用信號(hào)小波系數(shù)的概率，從而可以分析處理二者之間的關(guān)系。

2.2 基于量子疊加態(tài)的模型參數(shù)估計(jì)

由于小波系數(shù)具有尺度間的傳遞性，當(dāng)父代系數(shù)的模較大時(shí)，那么其子代系數(shù)的模也大，反之，當(dāng)父代系數(shù)的模較小時(shí)，其子代系數(shù)的模也較小。所以將父代和子代的小波系數(shù)取模相乘得

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

將小波系數(shù)的量子比特疊加態(tài)應(yīng)用于傳統(tǒng)高斯混合模型得到的小波系數(shù)收縮函數(shù)式(14)可得

(23)

從式(23)可知，量子高斯混合模型通過小波系數(shù)的量子疊加態(tài)特性，根據(jù)信號(hào)自身的特點(diǎn)，對傳統(tǒng)高斯混合模型中參數(shù)進(jìn)行了局部自適應(yīng)調(diào)整。當(dāng)尺度s+1下第j個(gè)小波系數(shù)中出現(xiàn)有用信號(hào)的概率大時(shí)，則自適應(yīng)地增大該位置有用信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，反之，當(dāng)尺度s+1下第j個(gè)小波系數(shù)中出現(xiàn)噪聲信號(hào)的概率大時(shí)，則自適應(yīng)地增大該位置噪聲信號(hào)的標(biāo)準(zhǔn)差，提高高斯混合模型對小波系數(shù)的分布的擬合精度，改善信號(hào)的降噪效果。

2.3 基于量子高斯混合模型的降噪流程

基于量子高斯混合模型的信號(hào)降噪流程步驟如表1所示。

表1 量子高斯混合模型降噪算法

3 仿真信號(hào)分析

為了模擬行星齒輪箱齒輪局部故障，構(gòu)造了如下的仿真信號(hào)

(24)

仿真信號(hào)的采樣頻率為4 096 Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2 048個(gè)。由式(24)中可知，仿真信號(hào)由一個(gè)正弦諧波分量，一個(gè)調(diào)幅分量和一個(gè)調(diào)頻分量線性疊加而成。在仿真信號(hào)中加入高斯白噪聲，雙樹復(fù)小波包采用4層分解，采用信噪比σSNR作為評價(jià)指標(biāo)，信噪比計(jì)算公式如下

(25)

在實(shí)驗(yàn)過程中，引入傳統(tǒng)的高斯混合模型、硬閾值和軟閾值的降噪方法作為對比實(shí)驗(yàn)，傳統(tǒng)的硬閾值、軟閾值的閾值計(jì)算按下式計(jì)算

(26)

式中:nk,s為第s層第k個(gè)子帶中小波系數(shù)的總個(gè)數(shù)。硬閾值降噪方法將絕對值低于閾值的小波系數(shù)置0，保留其他小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)信號(hào)；軟閾值降噪方法將絕對值低于閾值的小波系數(shù)置0，將絕對值高于閾值的小波系數(shù)減去閾值后進(jìn)行重構(gòu)信號(hào)。

不同方法對仿真信號(hào)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖1所示。從圖1可知，對于仿真信號(hào)，量子高斯混合模型去噪效果優(yōu)于其他幾種方法，降噪后的信噪比最高。硬閾值和軟閾值降噪方法，在去除噪聲的同時(shí)，也消除了部分原始的真實(shí)信號(hào)，導(dǎo)致信號(hào)部分失真，信噪比提升有限。傳統(tǒng)的高斯混合模型采用全局統(tǒng)一的模型參數(shù)，導(dǎo)致噪聲殘留較多，降噪后的信噪比也不高。而量子高斯模型將小波系數(shù)尺度間的傳遞性用量子比特的疊加態(tài)特性描述，自適應(yīng)調(diào)整模型參數(shù)，在保留原始波形特征的基礎(chǔ)上，最大限度的消除噪聲，取得更優(yōu)的降噪效果。

4 實(shí)測信號(hào)分析

實(shí)測信號(hào)來自如圖2所示的行星齒輪箱傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)，加速度傳感器安裝在行星齒輪箱的箱體上，采集實(shí)驗(yàn)過程中的振動(dòng)信號(hào)，采樣頻率為20 kHz。該實(shí)驗(yàn)通過機(jī)械加工的手段模擬了太陽輪齒輪的單個(gè)齒齒面的輕微磨損故障。實(shí)驗(yàn)過程中，電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，磁粉制動(dòng)器提供的負(fù)載為1.2 N·m，采樣時(shí)長為2 s。行星齒輪箱的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示。根據(jù)理論計(jì)算，太陽輪齒輪故障的特征頻率為55.5 Hz。

圖1 不同方法對仿真信號(hào)的降噪處理

Fig.1 Denoising process for simulated signal by different methods

圖2 行星齒輪箱實(shí)驗(yàn)臺(tái)

齒輪太陽輪行星輪(個(gè)數(shù))齒圈齒數(shù)1364(3)146

圖3為行星齒輪箱實(shí)驗(yàn)臺(tái)采集的太陽輪齒輪故障的原始振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形和包絡(luò)頻譜圖，為了便于圖形展示，時(shí)域波形的時(shí)間取0～0.5 s，頻譜圖中頻率取0～500 Hz。從圖3可知，由于故障較為輕微，故障齒輪所產(chǎn)生的沖擊信號(hào)不明顯，基本淹沒在背景噪聲中，在包絡(luò)譜中也看不到太陽輪故障的特征頻率，無法判斷行星齒輪箱是否發(fā)生故障。

圖4～圖7為分別采用不同方法對實(shí)測太陽輪故障振動(dòng)信號(hào)的降噪結(jié)果。實(shí)驗(yàn)過程中，雙樹復(fù)小波包分解都為4層分解。從圖4可知,采用量子高斯混合模型降噪后，振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形出現(xiàn)了沖擊特征，對其進(jìn)行包絡(luò)解調(diào)，從包絡(luò)譜圖中可以明顯地看到太陽輪故障的特征頻率55.5 Hz及其2倍頻、3倍頻和4倍頻，符合太陽輪故障的頻譜特點(diǎn)，所以可以判斷行星齒輪箱中太陽輪輪齒發(fā)生了故障。圖5為傳統(tǒng)高斯混合模型的降噪結(jié)果，雖然從包絡(luò)譜圖中能看到太陽輪故障的特征頻率55.5 Hz，但是仍有大量的干擾噪聲，特征頻率淹沒在其他干擾頻率中，不能準(zhǔn)確判斷行星齒輪箱中太陽輪是否存在故障。圖6和圖7為采用小波硬閾值和小波軟閾值的降噪結(jié)果，噪聲被大量去除，但是由于太陽輪齒輪磨損輕微，太陽輪故障特征信號(hào)也被當(dāng)做噪聲信號(hào)被去除或是削弱，所以包絡(luò)譜圖中也無法得到太陽輪故障的特征頻率。

(a) 時(shí)域波形

(b) 包絡(luò)譜

(a) 時(shí)域波形

(b) 包絡(luò)譜

(a) 時(shí)域波形

(b) 包絡(luò)譜

(a) 時(shí)域波形

(b) 包絡(luò)譜

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于量子高斯混合模型的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)降噪方法。該方法在傳統(tǒng)高斯混合模型的基礎(chǔ)上，根據(jù)量子信號(hào)處理理論，將信號(hào)小波系數(shù)相鄰尺度間的傳遞特性轉(zhuǎn)化為量子比特疊加態(tài)，使高斯混合模型中的參數(shù)根據(jù)信號(hào)特征自適應(yīng)地調(diào)整大小，增強(qiáng)了高斯混合模型的局部自適應(yīng)性。仿真信號(hào)分析表明，相比于其他方法，量子高斯混合模型降噪方法能夠有效提高信號(hào)的信噪比。實(shí)測行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)結(jié)果表明，本文所提方法能夠抑制信號(hào)中的噪聲，保留太陽輪齒輪輕微故障的特征信號(hào)，準(zhǔn)確提取其故障特征頻率，有效地判斷行星齒輪箱的故障狀態(tài)。

(a) 時(shí)域波形

(b) 包絡(luò)譜