混凝土三維細(xì)觀模型的建模方法與力學(xué)特性分析*

張煜航，陳青青，張 杰，王志勇，李志強(qiáng)，王志華

（1.太原理工大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院應(yīng)用力學(xué)研究所，山西 太原 030024；2.太原理工大學(xué)材料強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)沖擊山西省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030024）

混凝土材料從細(xì)觀層次上由骨料、砂漿以及兩者之間的黏接界面層（interfacial transitional zone，ITZ）組成，各組分的細(xì)觀力學(xué)性質(zhì)直接或間接地決定了混凝土材料的宏觀力學(xué)性能和破壞模式[1-2]。根據(jù)混凝土細(xì)觀結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其力學(xué)性能，深入研究細(xì)觀結(jié)構(gòu)和宏觀力學(xué)性能之間的關(guān)系，是混凝土力學(xué)性質(zhì)的重要研究內(nèi)容之一。

Wittmann 等[3]首先將多尺度的研究方法應(yīng)用到混凝土材料的研究中，認(rèn)為混凝土是一種非均質(zhì)復(fù)合材料，提出了用隨機(jī)分布的多邊形來模擬混凝土骨料的細(xì)觀力學(xué)模型。該方法一直被后來的研究者所采用。Zhou 等[4-5]建立了圓形隨機(jī)骨料模型，利用材料損傷本構(gòu)關(guān)系，系統(tǒng)研究了混凝土細(xì)觀模型在不同受力條件下的拉伸、壓縮和爆炸問題，指出骨料和砂漿之間的黏接界面層在壓縮時(shí)先出現(xiàn)破壞裂紋，在拉伸時(shí)對(duì)混凝土失效機(jī)理和拉伸強(qiáng)度影響最大。Wang 等[6]在橢圓形和多邊形骨料的基礎(chǔ)上引入孔隙，并研究了骨料形狀、骨料體積分?jǐn)?shù)和孔隙率對(duì)抗拉強(qiáng)度的影響。吳成等[7]對(duì)剛性彈丸侵徹細(xì)觀混凝土靶進(jìn)行了數(shù)值模擬，分析了砂漿種類、粗骨料種類和粗骨料體積分?jǐn)?shù)等對(duì)靶板抗侵徹能力的影響，并通過擴(kuò)展Forrestal 阻力方程，建立了細(xì)觀混凝土侵徹深度模型。相比于二維模型，三維細(xì)觀模型更接近于實(shí)際混凝土的真實(shí)形態(tài)，因此能較好地反映混凝土材料的實(shí)際變形與損傷破壞情況。Wang 等[8]提出了“投放算法”用于產(chǎn)生隨機(jī)分布的三維骨料模型，并在單元之間嵌入零厚度黏接單元，以此來模擬混凝土在拉應(yīng)力作用下的開裂行為。Zhang 等[9]通過對(duì)生成的骨料進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)來控制骨料的移動(dòng)，提出了“隨機(jī)爬行算法”，該算法可以實(shí)現(xiàn)更高骨料含量的混凝土建模。鄧勇軍等[10]基于骨料隨機(jī)投放的思想建立了混凝土三維細(xì)觀幾何模型，分析了剛性彈正侵徹過程中發(fā)生彈道偏轉(zhuǎn)的原因及可能的影響因素，定量研究了混凝土細(xì)觀因素對(duì)彈道偏轉(zhuǎn)的影響。然而，骨料投放往往需要復(fù)雜的算法對(duì)骨料相互之間是否發(fā)生侵入進(jìn)行判斷，同時(shí)需要花費(fèi)較多的時(shí)間，建模效率較低。三維Voronoi 圖形中胞元形狀與混凝土骨料具有良好的相似性，其胞元可實(shí)現(xiàn)隨機(jī)的空間形狀和空間分布，可作為建立骨料的一種方法。

本文中基于三維Voronoi 圖形，提出一種簡單、高效的混凝土細(xì)觀模型生成方法。在傳統(tǒng)Voronoi 圖形的基礎(chǔ)上，通過控制多面體的隨機(jī)度和引入縮放因子等參數(shù)，得到具有級(jí)配的隨機(jī)骨料模型。然后，對(duì)骨料幾何體的外表面進(jìn)行延伸，得到一定厚度的黏接界面層，從而得到完整的混凝土細(xì)觀有限元模型。采用連續(xù)介質(zhì)損傷模型分析混凝土材料的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，擬為該模型的進(jìn)一步應(yīng)用提供基礎(chǔ)。

1 混凝土三維細(xì)觀模型

1.1 細(xì)觀幾何模型

三維Voronoi 圖形是一組由連接兩頂點(diǎn)直線的垂直平分面形成的連續(xù)多面體。在一個(gè)特定的空間內(nèi)，隨機(jī)分布N 個(gè)種子點(diǎn)，Si代表第i 個(gè)胞元的核心坐標(biāo)，相應(yīng)的胞體由頂點(diǎn)P 圍成，頂點(diǎn)P 到所屬胞元的核心Si的距離小于或等于到其他胞元核心Sj的距離：

為了避免產(chǎn)生過于畸形的胞元，通過下式控制兩核心之間的最小距離：

式中： q( 0＜q＜1)為縮放因子，通過改變q，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)多面體縮放大小的控制，從而得到滿足一定級(jí)配的隨機(jī)骨料模型（見圖3）。

在生成的骨料模型基礎(chǔ)上，利用下式對(duì)多面體頂點(diǎn)沿著向量 v進(jìn) 行延伸，并保留多面體頂點(diǎn)，得到頂點(diǎn)（見圖4）：

式中： η( 0＜η＜1)為控制黏接界面層厚度的延伸因子。圖5 為利用此方法生成的具有不同界面層厚度的骨料示意圖。

圖 1 K=0.2 時(shí)三維Voronoi 多面體Fig.1 3D Voronoi polyhedron when K=0.2

圖 2 骨料縮放示意圖Fig.2 Schematic diagram for single aggregate

圖 3 不同大小骨料模型Fig.3 Aggregate cells with grading sizes

圖 4 ITZ 產(chǎn)生示意圖Fig.4 Schematic diagram of generating ITZ

圖 5 具有不同ITZ 厚度的骨料外輪廓圖Fig.5 Geometry outlines of different ITZ layer thicknesses

1.2 細(xì)觀有限元模型

上述生成細(xì)觀模型的方法具有過程簡單、隨機(jī)性可控制以及生成速度快[11]等特點(diǎn)，但多面體縮放會(huì)降低初始生成骨料的體積含量，達(dá)不到實(shí)際混凝土對(duì)體積分?jǐn)?shù)的要求。通過重力下落過程[12]不僅可以提高模型中骨料的體積分?jǐn)?shù)，同時(shí)可以改善骨料分布，增強(qiáng)隨機(jī)性，使模型更接近真實(shí)混凝土。一定區(qū)域內(nèi)不同骨料體積分?jǐn)?shù)的模型如圖6 所示。由于實(shí)際混凝土材料中黏接界面層厚度僅為10～50 μm，遠(yuǎn)小于骨料尺寸，采用四面體劃分網(wǎng)格數(shù)量巨大，嚴(yán)重耗費(fèi)計(jì)算時(shí)間。因此，對(duì)于ITZ 的網(wǎng)格劃分采用楔形單元，在保留模型計(jì)算精度的同時(shí)，可以最大程度地降低網(wǎng)格數(shù)量，提高計(jì)算效率。圖7 為試樣尺寸為25 mm×25 mm×25 mm、骨料體積分?jǐn)?shù)為37.38%的有限元模型，其中綠色區(qū)域?yàn)楣橇希ㄋ拿骟w單元72 114 個(gè)），紅色區(qū)域?yàn)轲そ咏缑鎸樱ㄐㄐ螁卧?5 408 個(gè)），界面層厚度0.1 mm，藍(lán)色區(qū)域?yàn)樯皾{（四面體單元36 727 個(gè)）。

圖 6 含有不同骨料體積分?jǐn)?shù)的立方體試樣Fig.6 Cubic specimens with different volume fractions of aggregate

ABAQUS 有限元軟件中塑性損傷模型主要用于模擬砂漿、巖石和混凝土等材料在低靜水壓力下由損傷引起的不可恢復(fù)的材料性能，該模型考慮了拉壓性能的差異，可以較好地描述砂漿和黏接界面層的力學(xué)特性[13-16]。將圖7 模型導(dǎo)入ABAQUS 有限元軟件，采用塑性損傷模型模擬混凝土細(xì)觀組分中砂漿和黏接界面層的力學(xué)性能，砂漿塑形損傷模型曲線如圖8 所示，界面層相應(yīng)曲線由砂漿曲線按強(qiáng)度進(jìn)行等比例折減得到。通常骨料強(qiáng)度遠(yuǎn)高于砂漿強(qiáng)度，因此骨料采用線彈性模型。具體材料參數(shù)見表1。

圖 7 三維混凝土細(xì)觀模型有限元模型Fig.7 Meshing results for concrete specimen

圖 8 砂漿單軸準(zhǔn)靜態(tài)壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.8 Strain-stress curves of mortar phase under uniaxial load

表 1 細(xì)觀組分材料參數(shù)Table 1 Material parameters of three-phase materials

2 三維細(xì)觀模型靜力學(xué)分析

2.1 單軸靜力特性分析

圖 10 單軸壓縮與拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.10 Comparison of strain-stress curves between experiment and simulation

圖9 為試樣單軸加載示意圖，試樣上下兩端為剛性平面，上剛性板采用位移加載，下剛性板完全固定。對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)問題，隱式算法不受試樣慣性效應(yīng)以及加載動(dòng)能的影響，更能反映試樣真實(shí)受力狀態(tài)，本文中采用ABAQUS/standard 隱式計(jì)算模塊模擬準(zhǔn)靜態(tài)加載下的壓縮和拉伸。單軸壓縮和拉伸應(yīng)力應(yīng)變曲線以及相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)對(duì)照如圖10 所示。由圖10可知，數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[17]曲線趨勢(shì)相同，峰值誤差在10%以內(nèi)，吻合較好。對(duì)于單軸壓縮，剛性板與試樣之間的摩擦條件的不同，對(duì)混凝土試樣的破壞模式有較大影響。不同摩擦條件下混凝土單軸壓縮破壞模式的對(duì)比如圖11 所示。在低摩擦條件下，混凝土裂縫主要為平行于加載方向的豎向裂縫；在高摩擦條件下，裂縫轉(zhuǎn)變?yōu)榘俗中瘟芽p，與通常實(shí)驗(yàn)結(jié)果[17]相似。圖12 為單軸拉伸載荷作用下試樣的破壞模式。裂縫主要為垂直于加載方向的環(huán)向裂縫，符合實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

圖 11 不同摩擦條件下試樣破壞模式Fig.11 Failure patterns of different frictional conditions

圖 12 單軸拉伸試樣破壞模式Fig.12 Failure patterns under uniaxial tension

2.2 雙軸靜力特性分析

尚世明[18]采用定測(cè)壓加載方式，得到了標(biāo)準(zhǔn)立方體試樣（100 mm×100 mm×100 mm 的混凝土試件）在不同側(cè)壓下的宏觀應(yīng)力應(yīng)變曲線和相應(yīng)的破壞模式。圖13 為數(shù)值模擬試樣雙軸加載示意圖，試樣上下兩端為剛性平面，下端固定，上端位移加載。側(cè)向方向施加均勻的壓應(yīng)力，分別為0、8、16、24 MPa。圖14為數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)在位移加載方向的應(yīng)力應(yīng)變對(duì)比圖。由于試樣尺寸、骨料級(jí)配以及應(yīng)力加載等原因的影響，導(dǎo)致數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在誤差，但兩者趨勢(shì)相同，峰值應(yīng)變也較接近，可以認(rèn)為誤差在合理范圍之內(nèi)。不同側(cè)壓應(yīng)力條件下試樣的破壞模式如圖15 所示。隨著側(cè)向壓應(yīng)力不斷增大，對(duì)試樣的約束作用不斷增強(qiáng)，受壓面裂縫逐漸沿垂直于自由面方向產(chǎn)生，破壞形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)閷訝钇茐?。由圖15 可知，數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)破壞模式基本吻合，說明該模型能有效反映混凝土試樣在雙軸受壓載荷下的力學(xué)特性。

圖 13 定測(cè)壓加載示意圖Fig.13 3D model under biaxial simulation

圖 14 雙軸壓縮應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.14 Comparison of strain-stress curves between experiment and simulation

2.3 三軸靜力特性分析

為了進(jìn)一步研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下混凝土材料的靜力特性，基于本文的三維細(xì)觀模型，對(duì)常規(guī)三軸條件下混凝土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行了研究。圖16 為不同圍壓下試樣位移加載方向應(yīng)力應(yīng)變曲線。如圖16 所示，隨著圍壓不斷增大，峰值應(yīng)力增大明顯，軟化段逐漸模糊，當(dāng)圍壓達(dá)到30 MPa 時(shí)，會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力隨應(yīng)變?cè)龃蠖龃蟮膹?qiáng)化段，與文獻(xiàn)[19]的實(shí)驗(yàn)曲線趨勢(shì)相似。

圖 15 不同側(cè)向壓應(yīng)力下試樣破壞模式Fig.15 Failure patterns of different frictional conditions

圖 16 三軸壓應(yīng)力作用下應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.16 Comparison of stress-strain curves between experiment and simulation

3 三維細(xì)觀模型動(dòng)力學(xué)分析

混凝土作為一種典型的率相關(guān)材料，在動(dòng)態(tài)載荷作用下表現(xiàn)出不同于靜態(tài)載荷的力學(xué)特性[20-22]。運(yùn)用ABAQUS 顯式算法，模擬低應(yīng)變率下混凝土SHPB 沖擊破壞實(shí)驗(yàn)，其中入射桿和透射桿為彈性金屬材料，采用彈性模型，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.28。細(xì)觀混凝土模型仍采用與準(zhǔn)靜態(tài)模擬相同的材料模型與材料參數(shù)。圖17 為計(jì)算得到的4 種應(yīng)變率下抗壓強(qiáng)度動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子。準(zhǔn)靜態(tài)模擬得到的抗壓強(qiáng)度為24 MPa（無摩擦邊界），即 fc=24 MPa。從圖17 可以看出，抗壓強(qiáng)度隨著應(yīng)變率的增大而增大，這與常規(guī)混凝土SHPB 實(shí)驗(yàn)所得結(jié)論一致，說明模型在動(dòng)態(tài)載荷作用下同樣具有較好的有效性。細(xì)觀模型在不同應(yīng)變率下的破壞模式如圖18所示，應(yīng)變率較低時(shí)，宏觀裂紋發(fā)展不明顯，結(jié)構(gòu)無明顯破壞，隨著應(yīng)變率的增大，試樣表面逐漸出現(xiàn)宏觀裂紋，且裂紋逐漸貫穿，導(dǎo)致試樣發(fā)生破壞。

圖 17 不同應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)增強(qiáng)因子Fig.17 Dynamic increasing factor for concrete at different strain rates

圖 18 不同應(yīng)變率下混凝土試樣破壞模式Fig.18 Failure patterns at differentstrain rates

4 結(jié) 論

在傳統(tǒng)Voronoi 圖形的基礎(chǔ)上，提出了一種簡單高效的混凝土三維細(xì)觀模型建立方法：即通過引入縮放因子產(chǎn)生具有一定級(jí)配的隨機(jī)凸多面體作為骨料，隨后對(duì)多面體的外表面進(jìn)行延伸，得到具有一定厚度的黏接界面層，最后通過布爾運(yùn)算得到包裹骨料和界面層的砂漿部分。利用塑性損傷模型對(duì)該細(xì)觀模型進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)加載下的有限元分析，得到如下結(jié)論。

（1）利用本文的三維細(xì)觀模型模擬混凝土單軸、雙軸以及三軸應(yīng)力狀態(tài)下的靜力學(xué)性能，得到的應(yīng)力應(yīng)變曲線和破壞模式與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，說明該模型能較好地反映實(shí)際混凝土在準(zhǔn)靜態(tài)載荷下的力學(xué)特性，這為進(jìn)一步從細(xì)觀角度研究混凝土損傷演化規(guī)律和破壞機(jī)理，提供了模型基礎(chǔ)。

（2）混凝土在單軸壓縮下的破壞模式與接觸面摩擦條件有較大關(guān)系，在摩擦較低的條件下，主要產(chǎn)生與受載方向平行的豎向裂紋；在高摩擦條件下，破壞形態(tài)為八字型裂縫。拉應(yīng)力作用下，主要產(chǎn)生垂直于載荷平面的環(huán)狀裂紋。

（3）動(dòng)態(tài)SHPB 數(shù)值模擬結(jié)果表明，混凝土的抗壓強(qiáng)度隨著應(yīng)變率的增大而提高。在較低應(yīng)變率（50 s-1以下）下，試樣外表面未發(fā)生明顯損傷，隨著應(yīng)變率的提高，試樣損傷愈發(fā)明顯，外表面產(chǎn)生明顯裂紋，導(dǎo)致混凝土失效破壞。