盤點(diǎn)三角函數(shù)常用求值策略

■孫海峰

三角函數(shù)求值問題是同學(xué)們學(xué)習(xí)和考試中經(jīng)常遇到的一類重要題型，因此掌握一些常用的求值策略，能幫助同學(xué)們更快、更準(zhǔn)確地解決問題，下面就來具體分析一下。

一、公式的逆用

例1求下列式子的值。

（1）sin 52°cos 83°+cos 52°cos 7°。

解：（1）原式=sin52°cos 83°+cos 52°·

（2）原式=tan（20°+40°）·（1-tan20°·

點(diǎn)撥：解決此類問題，需在熟練記憶三角函數(shù)公式的基礎(chǔ)上，注意觀察所求式子的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想相應(yīng)公式，經(jīng)過恰當(dāng)化簡變形，利用公式來解決。

跟蹤練習(xí)1：求下列式子的值。

（1）sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°。

（3）cos 42°cos 18°-cos 48°cos 72°。

提示：（1）原式=cos 80°cos 60°cos 40°·

（2）原式=tan（75°-15°）·（1+tan75°·

（3）原式=cos 42°cos 18°-sin 42°sin 18°=

二、切化弦

例2求cos 50°·的值。

解：原式

點(diǎn)撥：在化簡三角函數(shù)式的過程中，如果出現(xiàn)既含正弦、余弦，又含正切、余切的情況，鑒于正弦、余弦的性質(zhì)多于正切、余切的，通常會將正切、余切化成正弦、余弦，這種數(shù)學(xué)思想方法簡稱“切化弦”。

跟蹤練習(xí)2：求的值。

提示：原式

三、利用公式（sinx±cosx）2=1±2 sinx·cosx=1±sin 2x

例3已知，且x∈（0，π），則sinx-cosx的值為（ ）。

解：由，兩邊平方可得解得因?yàn)樗?/p>

又因?yàn)閤∈（0，π），且sin 2x=2 sinx·，所以sinx＞0，cosx＜0，所以sinx-cosx＞0。

點(diǎn)撥：sinx+cosx，sinx-cosx，2 sinx·cosx這三個式子借助公式（sinx±cosx）2=1±2 sinxcosx=1±sin2x，可以“知一求二”。但應(yīng)注意的是，開方時，應(yīng)根據(jù)已知條件確定角的范圍，對結(jié)果的正、負(fù)號進(jìn)行正確取舍。

跟蹤練習(xí)3：已知，且，則cosα-sinα的值為（ ）。

提示：因?yàn)椋╟osα-sinα）2=1-2 sinα·，所以又因?yàn)樗詂osα＜0，sinα＞0，所以cosα-sinα＜0。所以cosα-sinα=應(yīng)選C。

四、拆角

例4求下列式子的值。

解：（1）原式=

點(diǎn)撥：注意先觀察題目中角之間的關(guān)系、角和特殊角（比如30°、45°、60°、90°）之間的關(guān)系，再用特殊角和一部分角表示另外一些角，即所謂的“拆角”，這樣角的數(shù)量就會變少，問題得到簡化，進(jìn)而得到解決，這個過程蘊(yùn)含數(shù)學(xué)中的消元思想。

跟蹤練習(xí)4：已知則的值為______。

提示：因?yàn)樗?/p>

感悟與提高

1.求 sin（θ+75°）+cos（θ+45°）-cos（θ+15°）的值。

2.已知x是銳角，若sin2x+cos2x=，求tan 2x的值。

參考答案

1.提示：原式 =sin[（θ+15°）+60°]+sin（θ+15°）cos 60°+cos（θ+15°）sin 60°+cos（θ+15°）cos 30°-sin（θ+15°）sin 30°-

2.提示：由，兩邊平方得因?yàn)?x∈（0，π），所以sin 2x＞0，cos 2x＜0。

（法1）因?yàn)?（sin2x-cos2x）2=1-，所以sin2x-cos2x=又因?yàn)閟in2x-cos2x＞0，所以

（法 2）因 為 2 sin 2xcos 2x=，所以，解得或又因?yàn)?，?x∈（0，π），所以sin2x＞0，cos2x＜0，所以|sin2x|＜|cos 2x|，即 sin 2x＜ -cos 2x。所以故

編者注：在解決三角函數(shù)化簡求值的問題時，應(yīng)在牢固記憶公式的基礎(chǔ)上，注意觀察所求式子的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想相應(yīng)公式并應(yīng)用公式解決問題。同時，要求我們有較強(qiáng)的目標(biāo)意識，靈活巧妙地進(jìn)行拆角，逐漸代換消元，進(jìn)而快而準(zhǔn)地解決問題。