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    掃描三角恒等變換中的解題誤區(qū)

    2019-06-19 08:53:14謝邦城
    中學生數(shù)理化·高一版 2019年6期
    關(guān)鍵詞:銳角剖析交點

    ■謝邦城

    三角恒等變換的方法靈活多變,突出對思維的靈活性和嚴密性的考查。同學們在解題時,稍有不慎,便會出現(xiàn)增解、漏解或錯解的情況。下面歸納三角恒等變換求解中的誤區(qū),希望能給同學們以警示。

    誤區(qū)1:對三角函數(shù)的定義理解出錯

    例1已知角θ的終邊落在直線y=-3x上,求2 sinθ+3 cosθ的值。

    錯解:取該直線上一點(1,-3),則sinθ=-3,cosθ=1,所以2 sinθ+3 sinθ=2×(-3)+3×1=-3。

    剖析:上述解法對sinθ=y,cosθ=x的理解有誤,定義中的點(x,y)應是角θ終邊與單位圓的交點坐標,而不是任意點。設角θ終邊與單位圓的交點為(x,y),則解得

    警示:這類問題需要借助單位圓,將角θ終邊上的點轉(zhuǎn)化成終邊與單位圓的交點,再依據(jù)三角函數(shù)的定義求解。

    糾錯練習1:若α的終邊所在直線經(jīng)過點則sinα=____。

    提示:由點P的坐標可知直線過第二、四象限。若α的終邊在第二象限,則sinα=;若α的終邊在第四象限,則sinα

    誤區(qū)2:忽視軸線角的討論

    例2已知sinα=2 sinβ,tanα=3 tanβ,求cosα的值。

    錯解:因為,所以

    由sin2β+cos2β=1,可得cos2α=1,解得,即

    剖析:上述解法是在tanα≠0,tanβ≠0的前提下得到的結(jié)果,而已知條件包含了tanα=0,tanβ=0的情形,即軸線角α=β=kπ(k∈Z),此時cosα=±1也滿足題意。

    警示:在三角函數(shù)求值中,熟練選用三角公式和正確把握各個公式成立的前提條件是解題的關(guān)鍵。解答本題要注意對軸線角的討論,以避免漏解。

    糾錯練習2:已知α為第三象限角,則2α終邊落在____。

    提示:由α是第三象限角,可得2kπ+π,則4kπ+2 π<2α<4kπ+3 π,k∈Z,故2α的終邊落在第一、二象限或y軸的非負半軸上。

    誤區(qū)3:忽視三角函數(shù)求值中的隱含條件

    例3若α,β,γ均為銳角,且sinα+sinγ=sinβ,cosβ+cosγ=cosα,則α-β等于( )。

    錯解:由已知條件可得sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,兩式平方相加可得因為α,β均為銳角,所以,故應選C。

    剖析:上述解法沒有充分利用α,β,γ均為銳角的條件導致增解。

    由已知條件可得sinα-sinβ=-sinγ,cosα-cosβ=cosγ,兩式平方相加可得由于γ為銳角,可知sinαsinβ=-sinγ<0,所以sinα<sinβ。

    又α,β均為銳角,可得α<β,故-β<0,可知應選B。

    警示:由α,β,γ均為銳角,可得隱含條件sinα<sinβ,即α<β,這也是解答本題的關(guān)鍵。

    糾錯練習3:設方程的兩根為x1,x2,記x1=tanα,x2=tanβ,0<,則α+β=____。

    提示:由方程的判別式恒大于0,且可知x1<0,x2<0。

    因為x1=tanα,x2=tanβ,所以α,β∈可得

    又-π<α+β<0,故

    誤區(qū)4:給值求角中選用三角函數(shù)名稱不當

    例4若,且α,β均為銳角,求2α+2β的值。

    錯解:因為α為銳角,所以cosα=

    因為β為銳角,所以

    又因為sin(α+β)=sinαcosβ+cosα·,且<π,所以或,即2α+2β或

    剖析:因為函數(shù)y=sinx在[0,π]上不是單調(diào)函數(shù),y=cosx在[0,π]上是單調(diào)函數(shù),所以應求cos(α+β)的值,以防止增解。

    由上面解法可得cos(α+β)=cosαcosβ

    警示:由三角函數(shù)的值確定角的大小,一定要結(jié)合角的范圍選擇合適的三角函數(shù)。一般地,已知正切函數(shù)值,選正切函數(shù);已知正、余弦函數(shù)值,若角在(0,π)上,選余弦函數(shù),若角在上,選正弦函數(shù)。

    糾錯練習4:若A,B均為銳角,且tanA則A+2B的值為( )。

    提示:由且B為銳角,可得,即得tanB=,所以

    誤區(qū)5:忽視三角函數(shù)值對角的影響

    例5已知且α∈(0,π),β∈(0,π),求2α-β的值。

    錯解:由可得 tanα=tan[(α-β)+β]=所 以 tan 2α=則 tan (2α-β)=

    由α∈(0,π),β∈(0,π)可得2α-β∈(-π,2 π)。

    剖析:上述解法在求2α-β的范圍時,只是依據(jù)了題目所給的α∈(0,π)和β∈(0,π),而忽視了三角函數(shù)值對其角的取值范圍的限制。

    又因為tan(2α-β)=1,所以

    警示:給值求角時,角的取值范圍容易被忽視而出現(xiàn)增解,因此要注意三角函數(shù)值對角的取值范圍的限制。

    糾錯練習5:已知0<θ<π,sinθ+cosθ則cos 2θ=____。

    提示:因為0<θ<π,sinθ+cosθ=<0,所以對兩邊平方可得,所以π<2θ<

    感悟與提高

    參考答案:

    1.提 示:因 為所 以

    2.提示:原式

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