例說兩角和與差的正切公式的“四會(huì)用”

■胡樂游

兩角和與差的正切公式是三角恒等變換中的重要公式，同學(xué)們接受并理解這些公式并不難，關(guān)鍵是如何熟練應(yīng)用。下面就來具體分析一下兩角和與差的正切公式的“四會(huì)用”，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。

一、會(huì)正用

正用公式即從和角、差角到單角的應(yīng)用，要做到準(zhǔn)確運(yùn)用公式。

例1若，且α，β都是銳角，則α+β的值為（ ）。

解：因?yàn)榍姚?β＜π，所以應(yīng)選A。

點(diǎn)評(píng)

解答此類試題的一般步驟是，先求出α+β的某一三角函數(shù)值，再利用兩角和的正切公式求解。

跟蹤練習(xí)1：已知，tanβ=-2，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，則α+β的值為（ ）。

A.135° B.45°

C.90° D.180°

提示：因?yàn)?1，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，90°＜α+β＜270°，所以α+β=135°。應(yīng)選A。

二、會(huì)逆用

解題過程中同學(xué)們習(xí)慣于正用公式，但對(duì)于有些問題，若能逆用公式，往往能使問題巧妙、簡捷地得到解答。

例2計(jì)算的值。

解：原式

點(diǎn)評(píng)

逆用公式是指從右往左使用公式，即單角向復(fù)角轉(zhuǎn)化。往往伴隨有常數(shù)三角化的運(yùn)用。

跟蹤練習(xí)2：計(jì)算的值。

提 示：22°）=tan 45°=1。

三、會(huì)變用

例3求tan12°+tan33°+tan12°·tan 33°的值。

解：原式=tan（12°+33°）·（1-tan12°·tan 33°）+tan12°tan33°=tan45°（1-tan 12°·tan 33°）+tan12°tan33°=1-tan 12°tan 33°+tan 12°tan 33°=1。

點(diǎn)評(píng)

本題靈活地利用了兩角和的正切公式的變形式，即tanα+tanβ=tan（α+β）·（1-tanαtanβ），使問題得以順利地解答。

跟蹤練習(xí)3：已知α+β=45°，求（1+tanα）·（1+tanβ）的值。

提示：（1+tanα）·（1+tanβ）=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan（α+β）·（1-tanαtanβ）+tanαtanβ=1+tan45°-tan 45°tanαtanβ+tanαtanβ=2。

評(píng)注：當(dāng)，k∈Z 時(shí)，（1+tanα）·（1+tanβ）=2也成立。

四、會(huì)巧用

有些題從表面上看是不能運(yùn)用兩角和與差的正切公式的，但如果大家發(fā)現(xiàn)了式子中角與角之間的關(guān)系，也可靈活地運(yùn)用正切公式來求解。

例4求的值。

解：因?yàn)樗运栽?/p>

點(diǎn)評(píng)

跟蹤練習(xí)4：已知非零實(shí)數(shù)a，b滿足的值。

提示令則 tanθ=所以

編者注：同學(xué)們?cè)诮獯鹑呛愕茸儞Q問題的過程中，要注意三角公式的內(nèi)在聯(lián)系，掌握公式應(yīng)用的常規(guī)思路和基本技巧，要善于利用公式的正用、逆用、變用和巧用來進(jìn)行解題。