如何找到思維的開竅點(diǎn)

陜西省咸陽師范學(xué)院基礎(chǔ)教育課程研究中心 安振平

1．問題呈現(xiàn)

筆者看到，唐秀穎先生主編的《數(shù)學(xué)題解辭典（平面解析幾何）》（上海辭書出版社，1983，06）一書的第38題為：

問題1-1：已知三平行線l1，l2，l3．l1與l2之間，l2與l3之間的距離分別為a，b．正△ABC的三頂點(diǎn)分別在l1，l2，l3上．求此正三角形的邊長．

這道經(jīng)典的題目，通過加工，竟然出現(xiàn)在2007年四川高考理科卷上．

問題1-2：如圖1，l1，l2，l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線，l1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2，正△ABC的三頂點(diǎn)分別在l1，l2，l3上，則△ABC的邊長是（ ）

圖1

2．解題分析

本考題條件簡明，情境設(shè)置獨(dú)特，不少考生望而生畏，不知如何求解．

解題思維的起點(diǎn)，來自于深度的理解題意，翻譯題意，實(shí)施文字語言、圖形語言和符號語言的轉(zhuǎn)化．把平行直線“l(fā)1與l2間的距離是1，l2與l3間的距離是2”顯示為圖形語言，就需要作出題目中平行線的垂線段，垂線段作在哪里呢？

分析1 設(shè)出正三角形的邊長，通過勾股定理，建立方程．

解法1 如圖2，過點(diǎn)A作AF⊥l3交l2于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BD⊥l3交l3于點(diǎn)D．則AE=1，BD=EF=2．

圖2

設(shè)正△ABC的邊長為x．

對Rt△BCD，Rt△ACF和Rt△ABE，應(yīng)用勾股定理，得

注意到DC+CF=DF=BE，

這是一個(gè)無理方程，如何求解呢？化無理為有理，平方技巧啊！

整理得

對上述方程兩邊平方，得

4（x2-4）（x2-9）=（12-x2）2，

整理為標(biāo)準(zhǔn)的一元二次方程，有

3x4-28x2=0．

說明 本解法用到的知識僅局限于初中范圍，設(shè)元，構(gòu)造方程，把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，檢測了考生的基本運(yùn)算能力．當(dāng)中的“平方兩次”的技巧，這是高中教材“橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程”的推導(dǎo)過程中用過的方法．當(dāng)然，本方程也可以探究其他的技巧解答方法，留給讀者去完成．

解題思維的要害、開竅點(diǎn)在哪里呢？同一條線段DF的長度“算兩次”．對三個(gè)直角三角形，應(yīng)用了三次“勾股定理”．

分析2 設(shè)出正三角形的邊長和圖2中Rt△ABE的一個(gè)內(nèi)角，通過銳角三角函數(shù)的定義，建立方程組．

解法2 如圖2，設(shè)正△ABC的邊長為x，∠ABE=θ，則∠EBC=60°-θ=∠BCD．

對Rt△ABE，Rt△BCD，應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義，有

對這個(gè)方程組，為求邊長x，可以先求sinθ的值，為此，先消去x，得

sin（60°-θ）=2sinθ，

3（1-sin2θ）=25sin2θ，

說明 本解法在列方程組時(shí)，僅用到初中范圍的知識，但解答需要用到高中的三角公式．巧妙設(shè)出角度，應(yīng)用方程組的觀點(diǎn)，借助三角恒等變形，代數(shù)運(yùn)算量要簡單一些．

解題思維的要害、開竅點(diǎn)在哪里呢？在于巧設(shè)角度和邊長兩個(gè)變量！對兩個(gè)直角三角形，兩次應(yīng)用了“正弦的定義”．

分析3 從圖3中兩個(gè)直角三角形的相似，設(shè)出正三角形的邊長，而后應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式構(gòu)造方程，通過方程方法求解之．

圖3

解法3 如圖3，過點(diǎn)A作AD⊥l2于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作EF⊥l3于點(diǎn)F．則AD=1，EF=2．

顯然Rt△ADE∽Rt△EFC，則有

設(shè)AE=x，則EC=2x，正△ABC的邊長為3x．

對△ABE，應(yīng)用余弦定理，有

BE2=AB2+AE2-2AB·AE cos 60°，

下面研究△ABC的面積：

一方面，

另一方面，

說明 本解法在計(jì)算三角形面積時(shí)，既用到小學(xué)教材里的三角形面積公式，又用到了高中教材里的三角形面積公式，這是最為核心的基礎(chǔ)知識．

解題思維的要害、開竅點(diǎn)在哪里呢？同一個(gè)三角形的面積，從不同角度“算兩次”，就自然獲得了需要的方程．

看來，在用條件的過程里巧設(shè)、妙列，才可能簡單求解．當(dāng)中，“設(shè)、列、解”，值得玩味！

3．變式思考

思考1 對上述解法1里獲得的方程，給出類似的問題，就有：

問題2-1：解方程

思考2 把問題2-1里的“根號”改為“絕對值號”，并將“等號”改為“不等號”，就有：

問題2-2：解不等式|x-3|+|x-2|≤|x-1|．

思考3 如果把問題2-1左面的“根號”改為“絕對值號”，就有：

問題2-3：解方程|x-3|+|x-2|=

對于問題2-3，也許你會立即“觀察”出它有一個(gè)根2！大膽猜想之后，還需要小心求證．還有其他根嗎？且行且思．

思考4 更進(jìn)一步，通過變式探究，還可以獲得：

問題2-4：求方程|x-2|+|x-1|+|y|=3表示的曲線所圍區(qū)域面積．

圖4

解 由|x-2|+|x-1|+|y|=3和0≤|y|，得|x-2|+|x-1|≤3，解得0≤x≤3．

當(dāng)y≥0時(shí)，方程|x-2|+|x-1|+|y|=3轉(zhuǎn)化為函數(shù)

顯然，方程|x-2|+|x-1|+|y|=3表示的曲線關(guān)于x軸對稱．于是，可以畫出該方程表示的整個(gè)曲線，其所圍區(qū)域的面積

說明 發(fā)現(xiàn)了方程表示曲線的對稱性，從“方程”變更為“函數(shù)”就顯得那么自然，區(qū)域的“直觀”呈現(xiàn)就水到渠成．

數(shù)學(xué)解題，需要邏輯推理，需要數(shù)學(xué)抽象，需要構(gòu)造模型，更需要代數(shù)變形和幾何直觀．轉(zhuǎn)化的功力是解題能力的具體呈現(xiàn)，把陌生問題熟悉化，復(fù)雜問題簡單化，未知問題已知化．正如上文中的“無理化有理”“幾何化三角”“絕對值化分段”等等．

我們可以從這樣的分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的“修煉”過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的奇妙，感悟數(shù)學(xué)思維的味道．