基于阻力加速度倒數(shù)走廊的待飛航程解析預(yù)測方法

黃漢斌 楊 業(yè) 梁祿揚

1.北京航天自動控制研究所，北京100854 2.宇航智能控制技術(shù)國家級重點實驗室，北京100854

升力式再入飛行器，相對于傳統(tǒng)再入飛行器，升阻比大，機動能力強，可以快速執(zhí)行天地往返運輸和洲際航行任務(wù)等[1]，標準軌跡跟蹤制導(dǎo)是升力式飛行器再入過程采用最多的制導(dǎo)方法，其中在線軌跡規(guī)劃技術(shù)，可以大大提高標準軌跡跟蹤制導(dǎo)的靈活性以及精度，而在線軌跡規(guī)劃技術(shù)最主要的依據(jù)是對待飛航程的預(yù)測[1-3]。針對待飛航程的在線預(yù)測，眾多學(xué)者進行了廣泛而深入的研究，做出了杰出的成果。其中，Ishizuka[4]定義了能量高度，推導(dǎo)出能量高度與航程的微分方程，進而利用龍格庫塔積分得到待飛航程；文獻[5-7]建立阻力加速度-能量走廊，首先將阻力加速度剖面假定為分段線性函數(shù)，進而利用線性函數(shù)的特性求出積分計算公式;施健峰等[8]建立忽略地球自轉(zhuǎn)的簡化的縱向運動模型，利用數(shù)值積分的方法求出待飛航程；曾憲法等[9]將升阻比假定為常數(shù)，推導(dǎo)出待飛航程計算的解析公式；而崔乃剛等[10]利用匹配漸進展開的方法推導(dǎo)出縱向運動方程近似解析解，得到縱向運動參數(shù)進行待飛航程計算；Yang等[11]選取了阻力加速度-能量走廊的一些離散點，利用離散點三次樣條插值獲得走廊的解析描述形式，在推導(dǎo)航程解析預(yù)測公式時，采用卡爾丹分解的方法對公式進行分解，推導(dǎo)出待飛航程的解析積分公式，由于卡爾丹分解過程較復(fù)雜，本文對此進行了省略使得算法進一步簡化。

首先分析飛行器無量綱運動模型，將飛行器過程約束和平衡滑翔約束轉(zhuǎn)換成阻力加速度走廊約束，選取一系列節(jié)點，將其轉(zhuǎn)換成阻力加速度倒數(shù)節(jié)點信息，利用三次樣條插值建立阻力加速度倒數(shù)平滑走廊，進一步推導(dǎo)解析積分公式，實現(xiàn)對待飛航程的解析預(yù)測，省去卡爾丹分解過程，并利用該公式計算走廊上下界對應(yīng)的航程，依據(jù)計算結(jié)果，推導(dǎo)出與航程相對應(yīng)的阻力加速度剖面。仿真結(jié)果表明，此方法與龍格庫塔積分精度誤差在10-4m量級，具有較高的近似程度，同時解析設(shè)計阻力加速度剖面更簡單、可靠。

1 運動模型建立

由于飛行終點時間不固定，需要引入能量的概念，包含高度和速度信息，建立以能量為自變量的無量綱再入飛行器運動模型。這里能量的定義為

e=1/R-V2/2

(1)

建立運動模型之前需要做出一定的假設(shè)：

1)不考慮地球自轉(zhuǎn)影響；

2)地球為勻質(zhì)圓球，不考慮地球扁率；

3)飛行器為無動力質(zhì)點；

4)再入飛行過程中，彈道傾角為小量，γ≈0。

以能量為自變量的飛行器無量綱運動模型為：

(2)

其中：λ和φ分別為經(jīng)度和緯度，γ和ψ分別為當?shù)貜椀纼A角和航向角，σ表示傾側(cè)角。

2 基于三次樣條函數(shù)描述的阻力加速度倒數(shù)走廊

2.1 建立阻力加速度-能量剖面

飛行器滑翔飛行過程中需要滿足動壓、熱流和過載約束，同時為了保證滑翔過程中高度不發(fā)生跳躍，需要滿足擬平衡滑翔條件。

利用這些約束，以及運動模型，將其轉(zhuǎn)化成阻力加速度-能量走廊約束，其中，動壓、過載和熱流約束對應(yīng)阻力加速度走廊上界，擬平衡滑翔約束對應(yīng)阻力加速度走廊下界。選取n個節(jié)點，作為走廊的描述點(如圖1)。

圖1 阻力加速度走廊

2.2 三次樣條函數(shù)描述阻力加速度倒數(shù)走廊

利用2.1節(jié)得到的阻力加速度-能量節(jié)點信息，建立阻力加速度倒數(shù)走廊節(jié)點信息(圖2)，然后利用三次樣條函數(shù)擬合，計算倒數(shù)兩點間的函數(shù)值，得到2個節(jié)點之間的三次函數(shù)(式(3))以及阻力加速度倒數(shù)走廊(圖3)。

(3)

圖2 阻力加速度節(jié)點倒數(shù)

圖3 三次樣條插值描述阻力加速度倒數(shù)走廊

3 待飛航程解析預(yù)測

待飛航程定義為當前點地心矢徑r和目標點地心矢徑rf所形成的大地張角對應(yīng)的圓弧，式(4)為航程對時間的導(dǎo)數(shù)。

(4)

由于假定彈道傾角為小量，同時忽略航向角偏差，引入能量概念，得到航程對能量的導(dǎo)數(shù)公式為：

(5)

由于阻力加速度倒數(shù)剖面可以描述成三次樣條函數(shù)，利用式(3)和式(5)，得到待飛航程解析積分公式為：

(6)

(7)

其中，Smax和Smin分別表示待飛航程的上下邊界。

4 基于航程計算公式的阻力加速度剖面解析設(shè)計

根據(jù)以上推導(dǎo)的航程解析公式，可知，在對阻力加速度倒數(shù)走廊進行三次樣條插值后，其所對應(yīng)的航程與三次樣條擬合出的系數(shù)成線性關(guān)系，由此可以根據(jù)任一在航程邊界內(nèi)的待飛航程S，推導(dǎo)出相應(yīng)的阻力加速度剖面。

首先，利用式(8)計算與航程上下界之間的關(guān)系：

(8)

由式(8)中的ξ計算阻力加速度倒數(shù)剖面對應(yīng)的系數(shù)，如式(9)。

(9)

式(9)得到了阻力加速度倒數(shù)各段的三次函數(shù)系數(shù)，即得到了滿足航程要求的完整且解析的阻力加速度剖面。

5 仿真驗證

利用第3節(jié)推導(dǎo)出的公式進行待飛航程解析計算，采用文獻[11]中的飛行器參數(shù)：

質(zhì)量m=1000kg，參考面積Sref=3.5m2。升力系數(shù)和阻力系數(shù)采用簡化形式，其中升力系數(shù):

阻力系數(shù)：

攻角α采用與速度相關(guān)的固定剖面：

(10)

走廊邊界所對應(yīng)的約束：

1)駐點熱流約束：

2)動壓約束：Q<15000Pa；

3)過載約束：Nmax<5g。

再入過程初始和終端信息如表1。

表1 再入初始和終端約束

仿真結(jié)果如圖4～7。

圖4 解析計算與龍格庫塔方法對比

圖5 解析積分與數(shù)值積分偏差

圖6 阻力加速度剖面

圖7 航程-能量剖面

其中,圖4的方形節(jié)點所表示的曲線是本文方法解析積分得到的待飛航程，圓形的是數(shù)值積分得到的待飛航程，兩者基本重合。為了進一步比較兩者偏差，在圖5中給出了上下界數(shù)值積分和解析積分的偏差，同時列出了文獻[11]中的偏差，2種方法與龍格庫塔積分的誤差在同一水平上，為10-4m級別，本文采用的方法省去了卡爾丹分解過程，形式上更加簡單。

利用本文的解析預(yù)測航程的方法可以設(shè)計滿足航程要求的阻力加速度剖面。分別選定待飛航程S=1500km，2000km，3000km及4500km，利用式(8)和(9)進行仿真計算。圖6給出了相應(yīng)的阻力加速度剖面，圖7給出了其所對應(yīng)的航程，仿真結(jié)果與航程要求一致且滿足阻力加速度走廊約束。

6 結(jié)論

將飛行過程約束和平衡滑翔約束轉(zhuǎn)換成阻力加速度倒數(shù)-能量的約束，利用三次樣條函數(shù)對阻力加速度倒數(shù)-能量走廊進行擬合，并推導(dǎo)出待飛航程的解析計算公式，利用解析航程預(yù)測公式進行仿真，與龍格庫塔積分精度一致，同時根據(jù)預(yù)測結(jié)果可以解析設(shè)計阻力加速度剖面，形式更加簡單，計算效率較高，有工程應(yīng)用的潛力。