嵌套函數(shù)中降維思想的應(yīng)用和拓展

一、問(wèn)題的提出

二、問(wèn)題的解決

【分析】顯然f(f(x))是一個(gè)四次多項(xiàng)式，f(x)是一個(gè)二次式，又A=B，所以多項(xiàng)式f(f(x))中必定含有因式f(x)，于是可以通過(guò)配湊化簡(jiǎn)多項(xiàng)式f(f(x))，從而把f(f(x))=0這個(gè)四次方程轉(zhuǎn)化成兩個(gè)二次方程的乘積。

綜上0≤a<4

【點(diǎn)評(píng)】上述解析中通過(guò)兩步即可完成

Step1：對(duì)f(f(x))進(jìn)行配方，丟掉部分項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)降維降次

Step2：通過(guò)集合運(yùn)算理清互相之間的關(guān)系

【拓展】如果把方程右邊的0換成其他實(shí)數(shù)或者變量，這種方法還通嗎？

【點(diǎn)評(píng)】這里如果把集合中方程改成不等式，又如何呢，事實(shí)上就成了本文開(kāi)頭那個(gè)學(xué)考題了

【解析】

綜上所述得-2≤a≤2

【小結(jié)】上述三個(gè)問(wèn)題的解決其本質(zhì)就是把多項(xiàng)式配方化簡(jiǎn)，丟掉部分項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)降維降次，從而轉(zhuǎn)化成低次的代數(shù)運(yùn)算

【拓展】本題中集合中不等式右側(cè)把換成其他數(shù)，可行嗎？依然可以

三、問(wèn)題的推廣

【小結(jié)】只要題干中有，那么高次多項(xiàng)式就一定有一個(gè)因式是低次多項(xiàng)式，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等次方程(或不等式)的問(wèn)題了，后面的問(wèn)題用集合的運(yùn)算關(guān)系比較容易說(shuō)明。

四、問(wèn)題的延伸

不同實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____.

解析：由 f(f(x))=f(x)知，f(f(x)）-f(x)中必有因式 f(x)-x

配方

上式要有3個(gè)實(shí)根，

故兩方程有一個(gè)公共根或者一個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

此時(shí)正好有三根，滿足題意。

當(dāng)一個(gè)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)或，得，

綜上所述a=0

浙江省高考《數(shù)學(xué)考試》對(duì)于運(yùn)算求解能力主要考查對(duì)算式進(jìn)行的計(jì)算、變形，對(duì)數(shù)值的估算和近似計(jì)算等的能力。進(jìn)一步考查對(duì)條件分析、方向探究、公式選擇、步驟確定等一系列過(guò)程中運(yùn)算能力的求解。由此可知，平常在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)算式的適當(dāng)變形可以讓我們的教學(xué)更加快捷高效。