對一道期末考題的課堂討論

江蘇省姜堰中學(xué) 王立振 袁清雯

筆者在講評一道期末聯(lián)考題時(shí)，做了一些嘗試和探索，同學(xué)們的課堂表現(xiàn)積極活躍，現(xiàn)整理成文，與大家交流.

1.考題展示

題1在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，，EF＝1且EF在BC上移動，則的取值范圍為________.

本題主要考查向量的數(shù)量積，其主要解決方法有：（1）建立坐標(biāo)系利用向量坐標(biāo)運(yùn)算來求解；（2）線性轉(zhuǎn)化，用向量數(shù)量積的定義來求解.

大部分同學(xué)遇到的主要困難在于：若用坐標(biāo)運(yùn)算求解，如何用一個(gè)變量刻畫兩個(gè)動點(diǎn)；若用數(shù)量積的定義，與的模和夾角都在變化.

通過下面的課堂交流，同學(xué)們和我都是頗有受益.

2.課堂討論實(shí)錄

老師：本節(jié)課我們來一起交流此題的解決方案，請同學(xué)們暢所欲言.

同學(xué)1：老師，向量與都在變化，如何求解它們的數(shù)量積呢？

同學(xué)2：把與轉(zhuǎn)化，假設(shè)CE＝x，則有，故有；又由邊長之間的關(guān)系，可知，進(jìn)而得到.又因?yàn)閤∈［0，3］，所以.

老師：同學(xué)2解答得非常好！他通過設(shè)出一個(gè)變量，利用向量之間的相互關(guān)系，用一個(gè)變量表示多個(gè)變量，進(jìn)而找到一個(gè)關(guān)于這個(gè)變量的函數(shù)，將一個(gè)向量數(shù)量積的取值范圍問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)值域問題.那么有沒有其他不同的想法？

同學(xué)3：老師，我知道向量數(shù)量積的問題可以建系用坐標(biāo)來求解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立如圖1所示的坐標(biāo)系.

同學(xué)4：建系容易，但是如何用變量來刻畫兩個(gè)動點(diǎn)呢？

同學(xué)5：E，F(xiàn)在邊BC上運(yùn)動，且BC上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足關(guān)系式.但如何用一個(gè)變量來表示兩個(gè)動點(diǎn)呢？

同學(xué)6：如圖2所示，過點(diǎn)F作x軸的平行線與過E點(diǎn)作y軸的平行線相交于點(diǎn)D，由EF＝1，易得.

圖2

老師：有沒有其他同學(xué)對上述解法進(jìn)行補(bǔ)充的？

同學(xué)7：題目中“EF在BC上移動”，不僅F的橫坐標(biāo)x∈［0，2］，還要有E的橫坐標(biāo)x-，解得，故的最大值不是15，而是9.

老師：同學(xué)們回答得很好，值得表揚(yáng).利用建系設(shè)坐標(biāo)的方法來求解向量的數(shù)量積，關(guān)鍵在于如何用變量來表示兩個(gè)動點(diǎn)，同學(xué)們注意到了兩個(gè)動點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之間的關(guān)系以及兩點(diǎn)間的距離關(guān)系，進(jìn)而用一個(gè)變量來表示，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)來求解，但要注意自變量的取值范圍.那么，還有沒有同學(xué)有不同的想法？

同學(xué)8：老師，向量的數(shù)量積還可以用定義法來解決，但是和的模在變，而且夾角也在變，這怎么求呀？

同學(xué)9：我在EF上取中點(diǎn)P，則.因?yàn)椋?

圖3

老師：回答得太完美了！將多個(gè)動點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)動點(diǎn)問題，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，再運(yùn)用一些基本方法和基本解題思路，進(jìn)而解決問題.同學(xué)們還有沒有其他方法要補(bǔ)充？

同學(xué)10：老師，考試的時(shí)候，我雖然得到了正確結(jié)果，但是我是猜的.

老師：你是怎么猜的？

同學(xué)10：因?yàn)镋，F(xiàn)在線段BC上運(yùn)動，肯定有一些特殊情況，我就將這些特殊情況都計(jì)算一下，然后再比較一下，最后得到的取值范圍.

老師：你計(jì)算哪些特殊情況下的的值？

同學(xué)10：我計(jì)算了四種情況：

第一種，如圖4①所示，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，有，從而得到；

第二種，如圖4②所示，當(dāng)EF的中點(diǎn)與線段BC的中點(diǎn)重合時(shí)，有，從而得到；

第三種，如圖4③所示，若設(shè)EF的中點(diǎn)為點(diǎn)P，則當(dāng)AP⊥BC時(shí)，有，從而得到

第四種，如圖4④所示，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，有，從而得到，

圖4

老師：同學(xué)們認(rèn)為這樣做可以嗎？

同學(xué)11：我認(rèn)為不可以.假如的取值范圍不在這幾種特殊情況中，而是在一個(gè)非特殊點(diǎn)處取得最大值或者最小值，那么同學(xué)10的做法就不能得到準(zhǔn)確的取值范圍了.

老師：雖然這種做法存在一些缺陷，但這種解題思路（特殊與一般的解題思想）是需要引起我們關(guān)注的.這種方法不推薦，但需要我們了解，以備不時(shí)之需.

3.課后檢驗(yàn)

老師：請同學(xué)們對這節(jié)課的所思所學(xué)進(jìn)行回顧總結(jié)，題2、題3作為補(bǔ)充練習(xí).

題2在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的任意動點(diǎn)，求的取值范圍.

（答案：［0，25］.解決題2的思路是利用特殊與一般的方法，考查的幾種特殊情況.）

題3在正△ABC中，AB＝4，EF＝1且EF在BC上移動，求的取值范圍.