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    注重思考,把握本質(zhì)
    ——我做數(shù)學文化題的思考與感悟

    2019-06-11 07:07:34周育丞
    新世紀智能(數(shù)學備考) 2019年3期
    關鍵詞:九章算術棱錐四面體

    周育丞

    寒假我在網(wǎng)上查看上海市高考試卷,發(fā)現(xiàn)一道數(shù)學文化題:

    《九章算術》中,稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬.設AA1是正六棱柱的一條側棱,如圖1,若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點,以AA1為底面矩形的一邊,則這樣的陽馬的個數(shù)是( )

    A.4 B.8 C.12 D.16

    圖1

    看完此題,我注意到題中有個陌生的概念“陽馬”,我不禁思考:到底什么是陽馬?高考為什么要選擇陽馬來考查?

    一、陽馬就是一個特殊的四棱錐

    本題中稱“底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬”,按照《九章算術》的定義,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD是矩形,如圖2.

    圖2

    圖3

    即底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.那么,由于陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點,如圖3,在以AA1為一邊的矩形中,E1A1⊥平面AA1B1B,則四棱錐E1-AA1B1B為陽馬,同樣四棱錐D1-AA1B1B為陽馬,四棱錐D-AA1B1B為陽馬,四棱錐E-AA1B1B為陽馬;同理,分別以矩形AA1C1C、矩形AA1E1E、矩形AA1F1F為底面的陽馬各有4個.這樣的陽馬的個數(shù)是16個,答案選D.

    不難看出,陽馬只是一種稱呼,本題其實還是考查立體幾何的知識.

    二、陽馬、鱉臑和塹堵

    做完上題后,我查找了關于《九章算術》的資料,想要更好地了解古人對立體幾何的研究.我發(fā)現(xiàn)劉徽提出了一個重要原理“斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也”,今稱為劉徽原理.國外數(shù)學大師高斯、希爾伯特也討論了這個問題,很遺憾這已經(jīng)是多年以后的事了.劉徽原理中除了涉及陽馬還提到兩個寶貝:塹堵和鱉臑.《九章算術》中,塹堵指底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱;將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

    例1《九章算術》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑,如圖4,在陽馬P-ABCD中,側棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF⊥PB交PB于點F,連結DE,DF,BD,BE.試判斷四面體D-BEF是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫出結論);若不是,說明理由.

    圖4

    分析根據(jù)鱉臑的定義,假如四面體B-DEF是一個鱉臑,就需要選擇一條垂直于底面的側棱,而四個面都應該是直角三角形.我們選擇BF為側棱,面DEF為底面.

    證明BF⊥平面DEF,即證明PB⊥平面DEF.由于PB⊥EF,只需證明PB⊥DE,這可以由DE⊥平面PBC獲得.

    由BF⊥平面DEF,DE⊥平面PBC,可知四面體B-DEF的四個面都是直角三角形,四個面的直角分別為∠DEB,∠DEF,∠EFB,∠DFB.

    變式1如圖5,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,試判斷四面體P-ABC是否為鱉臑?

    不難判斷四面體P-ABC是鱉臑.

    圖5

    例2《九章算術》是我國古代數(shù)學名著,它在幾何學中的研究比西方早一千多年.例如塹堵指底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱,陽馬指底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐,鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖,在塹堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC.

    (1)求證:四棱錐B-A1ACC1為陽馬,并判斷四面體A1CBC1是否為鱉臑,若是寫出各個面的直角(只寫出結論).

    (2)若A1A=AB=2,當陽馬B-A1ACC1體積最大時.①求塹堵ABCA1B1C1的體積;②求C到平面A1BC1的距離.

    圖6

    解答略.

    從本題條件我們可以看出塹堵是一種特殊的三棱柱,陽馬指一種特殊的四棱錐,鱉臑是一種特殊的四面體.三者可以融為一體,塹堵的體積等于特定的陽馬和鱉臑的體積之和.現(xiàn)在我就明白了前文敘述的“斜解塹堵,其一為陽馬,一為鱉臑.陽馬居二,鱉臑居一,不易之率也”的大概意思了.就是:斜截一個三棱柱的塹堵,可得到一個四棱錐的陽馬和一個三棱錐的鱉臑.

    三、感悟

    什么是數(shù)學文化?翻看這幾年的試卷,我發(fā)現(xiàn)高考題往往通過創(chuàng)設新的情境、改變設問方式,將我國古代數(shù)學里的實際問題和研究成果,從數(shù)學史、數(shù)學應用等角度,結合函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法、概率等內(nèi)容命題.

    數(shù)學文化題本質(zhì)上就是一類創(chuàng)新能力題.這類題讓我們在思考與探究中,增強了民族自豪感,陶冶了審美情操,提高了文化修養(yǎng).因此,我們要加強對數(shù)學文化試題的研讀,拓展自己的數(shù)學思維,提升自己的數(shù)學素養(yǎng).

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