弱非完整系統(tǒng)的積分因子與守恒律

陳 杰， 張 毅

（蘇州科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215011）

當(dāng)力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程難以求解時，若能找到系統(tǒng)的某個守恒量，將會使人們對該系統(tǒng)的性質(zhì)有所了解。尋找守恒律的近代方法主要基于系統(tǒng)的對稱性：Noether 對稱性[1]、Lie 對稱性[2]、Mei 對稱性[3]等。1984年，Djuki提出了尋求非保守動力學(xué)系統(tǒng)守恒量的積分因子方法[4]，即通過運動微分方程乘以適當(dāng)?shù)姆e分因子直接構(gòu)造系統(tǒng)的守恒律。喬永芬[5-7]、張毅[8-11]將積分因子方法進行了一系列的推廣。但是，對于弱非完整系統(tǒng)的守恒律的研究還主要限于Noether 對稱性[12]、Mei 對稱性[13]、Lagrange 對稱性[14]等。筆者將積分因子方法應(yīng)用于弱非完整系統(tǒng)中，利用冪級數(shù)展開[15]，求得弱非完整系統(tǒng)的近似守恒量。該方法限制條件少且易于計算，因此，具有廣泛的應(yīng)用價值。

1 弱非完整系統(tǒng)的積分因子

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n 個廣義坐標qs（s=1，2，…，n）確定，系統(tǒng)的運動受有g(shù) 個理想雙面線性弱非完整約束

其中μ 是小參數(shù)。當(dāng)μ≠0 時，系統(tǒng)是弱非完整的；當(dāng)μ=0 時，系統(tǒng)成為完整的。系統(tǒng)的運動微分方程可以表示為

要注意的是，小參數(shù)μ 只出現(xiàn)在非完整約束反力∧s中。

為了更好地便于計算和了解弱非完整系統(tǒng)的動力學(xué)特征，可以將對于小參數(shù)μ 進行冪級數(shù)展開[15]，可得

一次近似為

二次近似為

高次近似為

方程（5）-（7）分別稱為弱非完整系統(tǒng)（3）相應(yīng)的一次近似系統(tǒng)、二次近似系統(tǒng)與高次近似系統(tǒng)的運動微分方程。

零次近似系統(tǒng)與參數(shù)μ 無關(guān)，可參考文獻[9]給出的積分因子及其守恒定理。

下面研究一次近似系統(tǒng)、二次近似系統(tǒng)與高次近似系統(tǒng)的運動微分方程，即方程（5）-（7）。

定義1如果函數(shù)ξs＝ξs（t，q，）滿足以下條件，對于一次近似系統(tǒng)，有

對于二次近似系統(tǒng)，有

對于高次近似系統(tǒng)，有

其中τ，G 和us為t，q，的函數(shù)，則稱函數(shù)ξs＝ξs（t，q，）分別為弱非完整系統(tǒng)（3）的一次近似系統(tǒng)、二次近似系統(tǒng)與高次近似系統(tǒng)的積分因子。

2 弱非完整系統(tǒng)的守恒定理

聯(lián)合式（5）與式（8），式（6）與式（9），式（7）與式（10）分別可得

定理1如果函數(shù)ξs是弱非完整系統(tǒng)（3）的一次近似系統(tǒng)、二次近似系統(tǒng)與高次近似系統(tǒng)的積分因子，那么弱非完整系統(tǒng)（3）存在如下守恒量

對于弱非完整系統(tǒng)（3），如果函數(shù)ξs是其一次近似系統(tǒng)的積分因子，則每一組函數(shù)ξs、τ、G 和us必須滿足必要條件（11）。如果函數(shù)ξs是其二次近似系統(tǒng)的積分因子，則每一組函數(shù)ξs、τ、G 和us必須滿足必要條件（12）。如果函數(shù)ξs是其高次近似系統(tǒng)的積分因子，則每一組函數(shù)ξs、τ、G 和us必須滿足必要條件（13）。條件（11）-（13）分別可以寫成

如果滿足必要條件（15）、（16）或（17）的函數(shù)組ξs、τ、G 和us使得（14）式右端的值為一個特定常數(shù)，則稱該函數(shù)組為奇異的。因此，有以下定理：

定理2對于每個非奇異函數(shù)組ξs、τ、G 和us，如果滿足必要條件（15）、（16）或（17），那么弱非完整系統(tǒng)（3）存在近似守恒量（14）。

對于滿足必要條件（15）、（16）或（17）的任意非奇異函數(shù)組ξs、τ、G 和us，都可以找到該系統(tǒng)的一個守恒律。為了找出函數(shù)組ξs、τ、G 和us，可以將方程（15）、（16）或（17）展開，并分別令含的項和不含的項的系數(shù)為零，得到

其中，式（18）與（21）、式（19）與（21）或式（20）與（21）是關(guān)于（2n+2）個未知函數(shù)ξs、τ、G 和us的（n+1）個偏微分方程，可以稱為廣義Killing 方程。由于未知數(shù)的數(shù)目是大于方程數(shù)，所以該廣義Killing 方程的解不是唯一的，可以找出不同的合適的ξs、τ、G 和us的值，從而得到系統(tǒng)不同的守恒量。

3 守恒定理的逆定理

假設(shè)弱非完整約束系統(tǒng)（3）有積分

顯然該積分對應(yīng)的積分因子ξs和函數(shù)τ、G、us必須與必要條件（15）-（17）相容。由方程（14）得出并代入式（21），有

從式（24）得

因此，可以得出以下定理：

定理3如果弱非完整系統(tǒng)（3）有一個第一積分（22），則與此積分相對應(yīng)的積分因子ξs和函數(shù)τ、G、us由關(guān)系式（23）和（25）確定。

方程（23）與（25）是關(guān)于（2n+2）個函數(shù)的（n+1）個代數(shù)方程，故函數(shù)ξs、τ、G、us并不是唯一的。對于同一個守恒量，通過解方程（23）與（25），可以求出不同的積分因子ξs。

4 算例

例1系統(tǒng)的位形由兩個廣義坐標q1，q2來確定，系統(tǒng)的動能和勢能分別為

系統(tǒng)的運動受到弱非完整約束

其中，μ 為小參數(shù)。試用積分因子方法研究系統(tǒng)的守恒量。

由方程（2）得

由方程（26）與（27）解出

根據(jù)方程（4）與（29）可以得出

對μ 進行冪級數(shù)展開，得

下面求該弱非完整系統(tǒng)相應(yīng)的一次近似系統(tǒng)的積分因子與守恒律。

由廣義Killing 方程（18）與（21）可得

由方程（33）與（34）可得出一組解

根據(jù)式（14）可得系統(tǒng)的守恒量

再根據(jù)逆定理，假設(shè)系統(tǒng)有積分

由方程（23）與（25）可得

上述3個方程有6個未知量，所以解不唯一，可以取

則有

下面求該弱非完整系統(tǒng)相應(yīng)的二次近似系統(tǒng)的積分因子與守恒律。

由廣義Killing 方程（19）與（21）可得

由方程（42）與（43）可得出一組解

根據(jù)式（14）可得系統(tǒng)的守恒量

再根據(jù)逆定理，假設(shè)系統(tǒng)有積分

由方程（23）與（25）可得

上述3個方程有6個未知量，所以解不唯一，可以取

則有

下面求該弱非完整系統(tǒng)相應(yīng)的高次近似系統(tǒng)的積分因子與守恒律。

由廣義Killing 方程（20）與（21）可得

由方程（51）與（52）可得出解

根據(jù)式（14）可得系統(tǒng)的守恒量

再根據(jù)逆定理，假設(shè)系統(tǒng)有積分

由方程（23）與（25）可得

上述3個方程有6個未知量，所以解不唯一，可以取

則有

或者取

則有

5 結(jié)語

積分因子方法由于其限制條件少且容易運算，因此，在求解約束力學(xué)系統(tǒng)的守恒律問題中得到了廣泛應(yīng)用。文章將積分因子方法推廣應(yīng)用于弱非完整系統(tǒng)，為求弱非完整系統(tǒng)的守恒律提供了一種新的方法。當(dāng)弱非完整系統(tǒng)的小參數(shù)μ＝0 時，該結(jié)論適用于一般完整系統(tǒng)。當(dāng)弱非完整系統(tǒng)的小參數(shù)μ＝1 時，該結(jié)論適用于一般非完整系統(tǒng)。因此，文中的結(jié)果具有普遍意義。