帶不等量電荷平行板電容器電壓的計(jì)算

閆敬畏

(安徽省合肥市合肥一六八中學(xué) 230001)

在高中物理中，我們所接觸的平行板電容器兩極板上總是帶有等量異種電荷.正因如此，在教學(xué)過程中老師們也會強(qiáng)調(diào)，電容的定義式C=Q/U中的Q指的是電容器任一極板電荷量的絕對值.然而，如果電容器的兩極板上帶有不等量電荷時(shí)，甚至是不等量同種電荷時(shí)，那么上式中的Q的值如何取呢？板間電壓如何計(jì)算？接下來，我們對帶不等量電荷平行板電容器上電荷的分布和板間電壓問題進(jìn)行探究，并給出解決方案和結(jié)論

一、問題提出

真的有帶不等量電荷的平行板電容器嗎？我們不妨這樣假設(shè)，將一帶電量為+8C的金屬板A和一個(gè)本身就帶有-2C的金屬板B正對靠近，這樣AB就組成了一個(gè)平行板電容器，如圖1所示.電容器的電容與其是否帶電、帶什么性質(zhì)的電荷、帶多少電無關(guān)，它只取決于電容器本身的性質(zhì).那么，對于一個(gè)指定的電容器，兩板間的電壓就只與兩板所帶的電荷量有關(guān)，如果要計(jì)算上面電容器兩板間電壓，Q應(yīng)當(dāng)取哪個(gè)值呢？還是兩者之和、之差或者是代數(shù)和的平均值呢？

二、對電容器上電荷分布的探究

我們知道，帶等量異種電荷的平行板電容器上的電荷由于彼此的吸引都分布在電容器的內(nèi)表面，正是內(nèi)表面上的異種電荷激發(fā)出的電場才讓兩板間有了電勢差.那么，不等量電荷會不會也全部分布在極板的內(nèi)表面呢?顯然，弄清楚這個(gè)問題是解決兩板間電壓如何計(jì)算的關(guān)鍵.

由大學(xué)物理相關(guān)的知識可知，無限大均勻帶電金屬薄板的兩側(cè)產(chǎn)生的電場是勻強(qiáng)電場，且由高斯定理可知，兩側(cè)電場的場強(qiáng)與金屬板上所帶的電荷量成正比.電容器極板雖不是無限大金屬板，但由于兩板靠的比較近，我們可以認(rèn)為兩板上電荷產(chǎn)生的電場在兩板間的疊加仍為勻強(qiáng)電場，且在忽略邊緣效應(yīng)的前提下，任一極板產(chǎn)生的電場強(qiáng)度與電荷量成正比.

電容器的極板為金屬板，在帶上電后，兩極板都處于靜電平衡狀態(tài)，所以兩板內(nèi)部的場強(qiáng)處處為零.這是由于兩極板上的等量異種電荷在任一極板內(nèi)部產(chǎn)生的電場等大反向，疊加后的場強(qiáng)為零，如圖2所示.這也是為什么等量的電荷分布在兩板內(nèi)側(cè)的另一種解釋(可以證明，若電荷都分布在外側(cè)、左側(cè)或右側(cè)都無法保證金屬板內(nèi)部場強(qiáng)相互抵消).如果不等量電荷也都分布在兩板的內(nèi)側(cè)，顯然無法保證金屬板場強(qiáng)處處為零，這樣電荷還會繼續(xù)轉(zhuǎn)移，直到達(dá)到靜電平衡狀態(tài)為止.也就是說，不等量的電荷應(yīng)該分布在兩板的內(nèi)側(cè)和外側(cè).

對于A板內(nèi)部

對于B板內(nèi)部

再由兩極板上電荷守恒：

QA=q1+q2

QB=q3+q4

由以上四式可得

盡管我們一開始假設(shè)所有的電荷量均為正值，但由于QA、QB、q1、q2、q3、q4均包含著符號，因此計(jì)算的結(jié)果就是一般情況.由此可見，帶不等量電荷的電容器上的電荷并不是全部分布在內(nèi)側(cè)，而是每塊板內(nèi)外都有電荷，且兩板外側(cè)帶等量同種電荷，兩板內(nèi)側(cè)帶等量異種電荷.由于兩板外側(cè)帶等量同種電荷，他們在兩板間所形成的電場相互抵消，因此兩板間的電場只是由內(nèi)側(cè)電荷產(chǎn)生的.所以，若電容器兩板上帶有不等量電荷，在求解兩板間電壓時(shí)，Q取既不是A板上的電荷量也不是B板上的電荷量，而是兩板內(nèi)側(cè)所帶的電荷量.

那么，由上面的計(jì)算結(jié)果，我們就可以得到帶不等量電荷的電容器電壓的計(jì)算式：

顯然，等量異種電荷只是上述的一種特殊情況.