保持量子態(tài)凸組合的Tsallis的映射

勞毅慧，楊君齊

(1.同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200092；2.廣西民族師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，廣西 崇左 532200)

1 問題的提出

量子態(tài)叫作密度矩陣，是作用在復(fù)希爾伯特空間上的半正定矩陣.一個(gè)量子態(tài)ρ是純態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)ρ2=ρ，即ρ是一個(gè)秩1 投影.若ρ2≠ρ，則量子態(tài)ρ是一個(gè)混合態(tài).復(fù)有限維希爾伯特空間Hm的所有量子態(tài)記為S(Hm)，它是個(gè)凸集.所有純態(tài)記為Pur(Hm)，顯然Pur(Hm)是S(Hm)的子集.在量子信息學(xué)中，人們經(jīng)常在多體環(huán)境上研究問題，這時(shí)多體系統(tǒng)復(fù)希爾伯特空間H可用子系統(tǒng)Hi(i是個(gè)自然數(shù))的張量積表示.即

H=H1?H2?…?Hk

量子糾纏是量子信息學(xué)的一個(gè)基本物理概念，判斷復(fù)合系統(tǒng)中一個(gè)量子態(tài)是否可分很重要也費(fèi)力，于是找一個(gè)作用于量子態(tài)之間的能夠簡(jiǎn)化量子態(tài)的映射的結(jié)構(gòu)是有意義的.一直以來(lái),多體系統(tǒng)中保持某一數(shù)值如馮諾依曼熵、數(shù)值域、p范數(shù)、冪等、點(diǎn)譜等的線性映射的結(jié)構(gòu)有很多成果值得學(xué)習(xí).2012年，F(xiàn)o?ner等[1]對(duì)量子信息科學(xué)的線性保持問題做了一個(gè)概述，該文不僅刻畫了保持譜不變的由埃米特矩陣張量積映射成埃米特矩陣張量積的線性變換的結(jié)構(gòu)，還刻畫了保持譜半徑不變的矩陣張量積之間的線性變換的結(jié)構(gòu).很快，他們?cè)谖墨I(xiàn)[2]中也找到了保持Ky Fan范數(shù)和Schatten范數(shù)的矩陣張量積之間的線性變換的形式，并把結(jié)論推廣到三體以上多系統(tǒng)環(huán)境.文獻(xiàn)[3]也研究了類似的定義和問題，接著侯晉川等[4]把文獻(xiàn)[3]的結(jié)果推廣到無(wú)限維的情形.這些成果研究的算子之間的張量積的映射都是線性的.文獻(xiàn)[5-6]研究的是關(guān)于量子測(cè)量如馮諾依曼熵、Tsallis熵單體系統(tǒng)上的非線性映射.在文獻(xiàn)[7-8]中刻畫了一個(gè)作用在雙體量子系統(tǒng)H1?H2上的所有可分態(tài)之間的并保持凸組合的雙射的結(jié)構(gòu).現(xiàn)在的目的是研究一個(gè)保持Tsallis熵凸組合的作用在量子態(tài)上的滿射的結(jié)構(gòu).其中Tsallis熵的定義與性質(zhì)可以在文獻(xiàn)[9-10]中找到.對(duì)于ρ∈S(H)、r∈R+{1}，Tsallis熵的定義如下：

下面是主要結(jié)果.

2 定理的證明

定理1設(shè)S(Hm?Hn)為復(fù)雙體希爾伯特空間Hm?Hn上的密度矩陣的全體，其中Hm、Hn是維數(shù)分別為m、n(m,n≥2)的復(fù)希爾伯特空間.記Ssep(Hm?Hn)為其中可分量子態(tài)構(gòu)成的凸集，映射

φ:S(Hm?Hn)→S(Hm?Hn)

是滿射，而且

φ(Ssep(Hm?Hn))=Ssep(Hm?Hn)

若對(duì)于某個(gè)r∈R+{1}，滿射φ保持量子態(tài)凸組合的Tsallis熵

Sr(tρ+(1-t)σ)=Sr(tφ(ρ)+(1-t)φ(σ))

對(duì)于任意的ρ、σ∈S(Hm?Hn)和對(duì)于任意的t∈[0,1]成立.則Hm、Hn分別存在酉算子Um、Vn使得φ(ρ)=(Um?Vn)ρ(Um?Vn)*對(duì)于任意的ρ∈Ssep(Hm?Hn)成立.

證明定理1需要如下引理.

引理1(見文獻(xiàn)[11]命題3.8)設(shè)H是復(fù)有限維希爾伯特空間，映射φ:S(H)→S(H)是滿射，若對(duì)于某個(gè)r∈R+{1}，滿射φ保持量子態(tài)凸組合的Tsallis熵

Sr(tρ+(1-t)σ)=Sr(tφ(ρ)+(1-t)φ(σ))

對(duì)于任意的ρ、σ∈S(H)和對(duì)于任意的t∈[0,1]成立.則H存在酉算子或者是共軛酉算子W使得φ(ρ)=WρW*對(duì)于任意的ρ∈S(H)成立.

引理2(見文獻(xiàn)[8]定理3.5)設(shè)Ssep(Hm?Hn)為復(fù)雙體希爾伯特空間Hm?Hn上所有可分量子態(tài)的全體，其中Hm、Hn是維數(shù)分別為m、n(m,n≥2)的復(fù)希爾伯特空間，映射

φ:Ssep(Hm?Hn)→Ssep(Hm?Hn)

是雙射.則φ保持凸組合當(dāng)且僅當(dāng)下面之一成立：

(1)存在可逆算子S∈B(Hm)、T∈B(Hn)，使得

對(duì)于所有的ρ∈Ssep(Hm?Hn)成立；

(2)存在可逆算子S∈B(Hm,Hn)、T∈B(Hn,Hm)，使得

對(duì)于所有的ρ∈Ssep(Hm?Hn)成立.

其中ψ有如下幾種可能：恒等算子、轉(zhuǎn)置，有對(duì)第一個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置和對(duì)第二系統(tǒng)的轉(zhuǎn)置，其中轉(zhuǎn)置和部分轉(zhuǎn)置可相應(yīng)于雙體空間的任一組積態(tài)基來(lái)取.θ為有界自伴算子Bsa(Hm?Hn)上的對(duì)換，即滿足θ(ω?τ)=τ?ω的線性映射.

證明 由條件知

Imn=(A?B)(A?B)*=(AA*)?(BB*)

設(shè)AA*=(dij)，則Imn=(dijBB*)．從而必須所有的dij(i≠j)都為零，且所有的dii(i=1,2,…,m)都相等且非零，記其為α，于是αBB*=In、AA*=αIm．類似地，考慮

Imn=(A?B)*(A?B)=(A*A)?(B*B)

可知存在某個(gè)非零數(shù)β使得βBB*=In、AA*=βIm，于是α=β．特別地

定理1的證明 由引理1知,φ必形如φ(ρ)=VρV*，其中ρ∈S(Hm?Hn)，V為Hm?Hn上的酉算子或共軛酉算子，從而φ是可逆的.又知

φ(Ssep(Hm?Hn))=Ssep(Hm?Hn)

因此當(dāng)φ限制在可分態(tài)上時(shí)，它滿足引理2的條件.下面先考慮引理2的第一種情況.綜合引理1和引理2的結(jié)果，在Hm?Hn存在酉算子或共軛酉算子V，使得對(duì)于任意的ρ∈Ssep(Hm?Hn)有

接著將