解析幾何問題常見的突破策略

☉新疆實驗中學 鄭顯輝

高考中的解析幾何題以圓錐曲線為背景和載體，重點考查圓錐曲線的標準方程、基本性質(zhì)以及直線和曲線的位置關(guān)系.?？碱}型有：軌跡、最值、定值、對稱、參數(shù)范圍、幾何證明、實際應用和探究性問題等.

突破解析幾何中的?？碱}型，需要綜合運用“回歸定義”“設而不求”“借助平幾”“整體代換”“合理引參”“特‘形’引路”等策略，才能簡化運算，起到事半功倍的效果.

策略1：回歸定義，追根溯源

解決數(shù)學問題總離不開相關(guān)概念、定義.圓錐曲線的定義既是推導圓錐曲線方程的依據(jù)，也是解決圓錐曲線問題的常用方法.若充分使用“回歸定義，追根溯源”的策略，把定性的分析與定量的計算有機地結(jié)合起來，把比較復雜乃至無從下手的問題轉(zhuǎn)化為比較簡單的問題，則可達到準確推理、合理運算、靈活解題的目的.

例1已知圓C：x2+y2+6x-91=0及圓內(nèi)一點P（3，0），求過點P且與圓C內(nèi)切的圓的圓心M的軌跡方程.

分析：①兩圓內(nèi)切：外圓半徑=內(nèi)圓半徑+圓心距；

②動圓滿足等量關(guān)系|MC|+|MP|=10＞|PC|；

③由曲線定義得動點的軌跡方程是以P、C為焦點的橢圓；

解：由題意得10-|MC|=|MP|?|MC|+|MP|=10＞|PC|=6，

所以所求軌跡是以P、C為焦點的橢圓，

所以2a=10，a=5，2c=6，c=3，b2=a2-c2=52-32=16.

所以圓心M的軌跡方程為

點評：結(jié)合圓錐曲線的定義來求動點的軌跡方程，可避免繁瑣的計算過程，使解題更加簡潔、明快.

策略2：設而不求，多思少算

該策略是指在解題過程中，根據(jù)需要設出變量但不直接求出變量的具體值，而是利用和、差、積等某種關(guān)系來表示變量間的聯(lián)系，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、二次函數(shù)等得到需要的結(jié)論.這種方法在解析幾何中有很顯著的應用，也是一種重要的解決解析幾何問題的途徑.比如在解析幾何的綜合問題中，常常與直線和二次曲線的位置有關(guān)，如何避免求交點，從而簡化運算，也就成了處理這類問題的難點和關(guān)鍵點.

例2已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點.

（1）求雙曲線C2的方程；

12兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足6（其中O為原點），求k的取值范圍.

分析：（1）由題意設出橢圓方程，用待定系數(shù)法求得方程；

（2）利用“設而不求，多思少算”的策略，根據(jù)需要設出變量A、B點的坐標，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出變量之間的聯(lián)系，但不直接計算變量A、B點的坐標值，最后通過運算獲得k的取值范圍.

解：（1）設雙曲線C2的方程為再由a2+b2=c2得b2=1.故雙曲線C2的方程為

由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點，得

由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A、B，得

設A（xA，yA），B（xB，yB），則

故k的取值范圍為

點評：本題在求解過程中，利用“設而不求”的策略，使解題過程變得更加簡單明了.

策略3：平幾滲透，數(shù)形結(jié)合

解析幾何首先是幾何問題，在用代數(shù)方法研究曲線間關(guān)系的同時，若能充分利用圖形本身所具有的平面幾何性質(zhì)，則常?？梢园l(fā)現(xiàn)既簡便又優(yōu)美的解法.

例3已知A（3，0）是圓x2+y2=25內(nèi)的一個定點，以A為直角頂點作Rt△ABC，且點B、C在圓上，試求BC中點M的軌跡方程.

分析：本題若設出圓上動點B、C的坐標，再利用代數(shù)方法引入角參數(shù)求解，將導致非常復雜的計算.而利用“平幾滲透，數(shù)形結(jié)合”的策略，注意到OM⊥BC（O為原點）（可由“垂徑定理”得知），那么再結(jié)合∠CAB=90°，|AM|=，即可迅速解題.

圖1

解：設M（x，y），如圖1，連接OC、OM、MA.

因為M為BC的中點，則由垂徑定理知，OM⊥BC，所以

因為在Rt△ABC中

所以|OM|2+|AM|2=|OC|2，即x2+y2+（x-3）2+y2=25.所以點M的軌跡方程為x2+y2-3x-8=0.

點評：本題關(guān)注到OM⊥BC（O為原點）這一幾何特性，避免了使用動點B、C的坐標來表示M的坐標時所帶來的繁雜計算，而直接得到了一個非常明確的結(jié)果|OM|2+|AM|2=|OC|2，這樣就大大減少了計算量.

策略4：特“形”引路，先知后證

針對解析幾何的定點、定值等問題，常常使用該策略，先利用圖形的特殊情形、臨界狀態(tài)，由“形”引路得出結(jié)論，再證明在一般情形下的結(jié)論，就是常說的從特殊到一般的數(shù)學思想的運用.

例4已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點共線.

圖2

（1）求橢圓的離心率；

（2）設M為橢圓上任意一點，且求證：λ2+μ2為定值.

解：（1）易得離心率

由第（1）問的結(jié)果，得橢圓方程為x2+3y2=3b2，將點M的坐標代入即得（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2，

即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2.

又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，

所以

將其代入（*）式，得

故λ2+μ2為定值.

點評：對于（*）這樣復雜的式子，學生常常不知所措.而若先通過點M的特殊位置猜出定值，則可以為解題指明方向.

當點M運動到點A時，則λ=1，μ=0，λ2+μ2=1，即可發(fā)現(xiàn)定值是1，于是，只要證明x1x2+3y1y2=0即可.

定點、定值問題總會在變化中表現(xiàn)出某些不變量，那么就可以給變化的量賦予特殊的值，從而找到可能的定值或定點，明確情況后，問題便迎刃而解.

綜上所述，雖說解析幾何在高考試題中處于壓軸題的位置，是考生拉開差距的主要考題，一直以來也是大多數(shù)考生望而生畏、談之色變的題型，但我們只要落實基礎、掌握方法、加強訓練、注重反思總結(jié)并利用解題策略，就一定能夠突破壓軸題的難關(guān).W