問(wèn)渠那得清如許 為有源頭活水來(lái)
——核心素養(yǎng)在教學(xué)中的體現(xiàn)

☉湖北省武穴市教育科學(xué)研究院 劉全豐

☉湖北省武穴市育才高中 吳加興

隨著2016年“中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)”的正式誕生，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組還將“核心素養(yǎng)”與數(shù)學(xué)課程相結(jié)合，“核心素養(yǎng)”在數(shù)學(xué)教學(xué)及研究中迅速走紅，它包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析這六大素養(yǎng).在2019年的高考大綱中又增添了“新生思想道德素質(zhì)”“促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展”等表述，這實(shí)際上反映了教育要回歸到教育的本源問(wèn)題：培養(yǎng)人的活動(dòng).在近幾年，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)就滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)的方方面面.現(xiàn)在就概率統(tǒng)計(jì)中的某些問(wèn)題來(lái)談?wù)労诵乃仞B(yǎng)是如何體現(xiàn)的.

例1某地區(qū)對(duì)垃圾進(jìn)行無(wú)害化處理，從2008年至2014年的處理量（單位：億噸）的折線圖如圖1：

圖1

（Ⅰ）由折線圖看出，y與t的關(guān)系可以用線性回歸模型擬合，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以證明；

（Ⅱ）（略）

參考數(shù)據(jù)

參考公式：相關(guān)系數(shù)

回歸方程y?=a?+b?t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：

分析：這道題目是一道統(tǒng)計(jì)題目，它首先通過(guò)對(duì)某地區(qū)2008年至2014年垃圾無(wú)害化處理量的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集，畫出其散點(diǎn)圖，然后通過(guò)數(shù)學(xué)直觀，抽象出它有可能是一個(gè)線性回歸模型，但是它是否符合線性回歸模型？我們通過(guò)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r（數(shù)學(xué)運(yùn)算），得到r≈0.99，r＞0.75，r→1，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，我們知道可以用回歸直線來(lái)模擬，從而達(dá)到建模的目的，它實(shí)際上是數(shù)學(xué)六個(gè)核心素養(yǎng)的一個(gè)整體應(yīng)用.

在計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)時(shí)，雖然是閱讀材料，但是它告訴了我們線性相關(guān)系數(shù)的公式，只需要把數(shù)據(jù)直接代入即可求解，所以這應(yīng)該是一道簡(jiǎn)單的計(jì)算題.

但是，現(xiàn)實(shí)情況卻出人意料，很多學(xué)生看到這道題目時(shí)卻傻眼了，大部分學(xué)生無(wú)從入手.他們發(fā)現(xiàn)：題目中的參考數(shù)據(jù)中并沒(méi)有現(xiàn)成的數(shù)據(jù)可以直接代入，結(jié)果只能讓這些分?jǐn)?shù)白白丟失.究其原因，無(wú)非就是不能用條件中的參考數(shù)據(jù)來(lái)表示.即使是能夠得分的部分同學(xué)有的也是死記結(jié)論來(lái)得到的，所以是極不可靠的.這道題的命題意圖實(shí)際上是要求學(xué)生能夠通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理來(lái)得到這兩組公式間的相互轉(zhuǎn)換：

這個(gè)問(wèn)題在很大程度上反映了我們教學(xué)中存在的問(wèn)題：忽視了每個(gè)概念、定義、公式、性質(zhì)等內(nèi)容的推導(dǎo)過(guò)程，在課堂上迅速地把這些內(nèi)容擺出來(lái)，講例題，套公式，然后通過(guò)大量的習(xí)題，使學(xué)生達(dá)到掌握的程度.但是這種學(xué)習(xí)非常的費(fèi)時(shí)、費(fèi)力，而且學(xué)生不懂得變通，對(duì)于平時(shí)沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題就會(huì)束手無(wú)策.同時(shí)在近幾年高考中增加了概率統(tǒng)計(jì)的難度和地位：從過(guò)去的“送分”題，到現(xiàn)在的中等及偏難題；從過(guò)去的直接套用公式，到現(xiàn)在通過(guò)收集的數(shù)據(jù)、直觀圖形來(lái)抽象出數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算，分析模型，構(gòu)造函數(shù)，得到最優(yōu)解，這些問(wèn)題無(wú)一不是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在高考中的體現(xiàn).

例2某公司為了能夠進(jìn)行更好的發(fā)展，需要對(duì)公司進(jìn)行宣傳，為了確定下一年度宣傳費(fèi)的投入，對(duì)近8年的宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi（i=1，2，3，…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，模擬年銷售量y（單位：t）和年利潤(rùn)z（單位：千元）對(duì)年宣傳費(fèi)x（單位：千元）的影響.

圖2

∑（xi-x）2 n x y w i=1 46.6 563 6.8 289.8∑（wi-w）2 n∑（xin∑（win i=1 i=1 x）（yi-y）i=1 w）（yi-y）1.6 1469 108.8

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）已知這種產(chǎn)品的年利率z與x、y的關(guān)系為z=0.2yx.根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問(wèn)題：①年宣傳費(fèi)x=49時(shí)，年利潤(rùn)及年銷售量的預(yù)報(bào)值是多少？②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？

分析：根據(jù)散點(diǎn)圖，通過(guò)直觀想象，本題應(yīng)該不是線性回歸問(wèn)題，通過(guò)排除法或者圖形的特點(diǎn)，得到適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程.然后通過(guò)整體代換令即通過(guò)數(shù)據(jù)運(yùn)算及邏輯推理把不熟悉的問(wèn)題變?yōu)槭煜さ膯?wèn)題，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，根據(jù)公式可以計(jì)算得到：

所以y關(guān)于w的線性回歸方程為y?=100.6+68w.

根據(jù)模型，通過(guò)數(shù)據(jù)運(yùn)算、分析，然后預(yù)測(cè)結(jié)果.

由（2）知，當(dāng)x=49時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值

年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值z(mì)?=576.6×0.2-49=66.32.

在第三問(wèn)中，①是一種特殊的情況，然后從特殊到一般得到一個(gè)無(wú)理函數(shù)，再根據(jù)邏輯推理對(duì)無(wú)理函數(shù)進(jìn)行整體代換，把無(wú)理函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)得到最值，從而為我們的日常生活生產(chǎn)服務(wù).

根據(jù)（2）的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值

所以當(dāng)，即x=46.24時(shí)取得最大值.

故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大.

如果平時(shí)在學(xué)習(xí)中只靠刷題來(lái)提高數(shù)學(xué)成績(jī)的同學(xué)，可能大多數(shù)在高考時(shí)對(duì)于本題只能是望洋興嘆了，平時(shí)只是做過(guò)線性回歸的直線方程問(wèn)題，而這道題很顯然換了一身新的“馬甲”——非線性關(guān)系.這也從側(cè)面反映了我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中輕過(guò)程重結(jié)果，忽視了知識(shí)生成的思維過(guò)程，只注重機(jī)械的練習(xí)，這不符合現(xiàn)在新課改的要求.同時(shí)在第（2）（3）問(wèn)中，使我們理解到數(shù)學(xué)不只是為了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來(lái)分析世界并服務(wù)世界，這些都符合現(xiàn)在課改的精神.現(xiàn)在的大綱提出來(lái)的六大核心素養(yǎng)，把新的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的問(wèn)題，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，都需要我們注重過(guò)程教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的思維，注重核心素養(yǎng)在課堂教學(xué)中的滲透.

例3從區(qū)間［0，1］隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)xi，yi（i=1，2，3，…，n）構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率π的近似值為_(kāi)_____.

分析：這道題目是必修三幾何概率中估算圓周率π的一個(gè)“撒黃豆”實(shí)驗(yàn)，但是在這道題中，命題人把黃豆改為隨機(jī)數(shù)，很多學(xué)生就不知所云.

（1）由幾何概率可知：記“兩數(shù)的平方和小于1”為事件A，記“在區(qū)間［0，1］任取兩個(gè)實(shí)數(shù)”為事件B，如圖3，

即

圖3

本題是一道關(guān)于圓周率π的值的估算問(wèn)題，我們實(shí)際上可以通過(guò)幾何概型和隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)的方法來(lái)解決圓周率π和曲邊圖形的面積問(wèn)題，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光來(lái)解決我們現(xiàn)實(shí)生活中遇到的問(wèn)題，然后還可以進(jìn)一步升華：我們古人是如何來(lái)估算圓周率π呢？這樣既可以活躍學(xué)生的思維，也可以滲透微積分等思想，還可以在教學(xué)中加入愛(ài)國(guó)主義教育等內(nèi)容，這也符合我們新課程改革的精神.

上面的這些題目學(xué)生的得分率普遍不高，從學(xué)生的角度來(lái)看：一方面，這反映了很多學(xué)生學(xué)習(xí)的方法只是習(xí)慣性聽(tīng)，然后做筆記，做作業(yè)時(shí)，只是習(xí)慣性的模仿，記憶一些結(jié)論和性質(zhì)，在考試時(shí)，碰到熟悉的問(wèn)題，就得心應(yīng)手，但是碰到新的問(wèn)題，就束手無(wú)策；另一方面也表現(xiàn)出學(xué)生在面對(duì)困難時(shí)的態(tài)度還不夠積極，遇到困難容易放棄.從教師的角度來(lái)看：教師在教學(xué)過(guò)程中，只注重概念、公式等的最終結(jié)果，而忽視了學(xué)生學(xué)的過(guò)程；只重視學(xué)生對(duì)一些結(jié)論的記憶，而忽視了這些結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程；只注重教師的講，而忽視了學(xué)生的學(xué).

這些問(wèn)題我們應(yīng)該如何來(lái)解決呢？現(xiàn)在的“流行語(yǔ)”——數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)（直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)抽象），它能夠很好的把“不會(huì)的問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為我們“會(huì)的問(wèn)題”，在解決問(wèn)題時(shí)，這六大素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互交匯.

如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)呢？

然后由兩種方法計(jì)算出的概率相等，從而可以估算出圓周率π的值為

（1）要讓民主“走進(jìn)”課堂.我們現(xiàn)在很多課堂還停留在教師滿堂講，學(xué)生只需要安靜的在臺(tái)下聽(tīng)，記筆記就可以了，這樣的課堂注定是一種高投入，低產(chǎn)出的低效課堂，因?yàn)閷W(xué)生只是被動(dòng)的接受，沒(méi)有形成自己的思維，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力也沒(méi)有得到很好的提高.

我們只有讓學(xué)生在課堂中“開(kāi)口說(shuō)話”，才能使學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)中，進(jìn)而引發(fā)他們的積極思考，只有這樣，學(xué)生們的想法才能得到充分的展示，在講解時(shí)，思維過(guò)程才能更貼近學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，更能讓學(xué)生接受.從另一個(gè)方面來(lái)講不同的方法自由的發(fā)揮，讓學(xué)生把各種想法都展示出來(lái)，再與學(xué)生一一分享、探討，這樣也能實(shí)現(xiàn)師生之間的教學(xué)相長(zhǎng).

（2）教學(xué)過(guò)程要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.筆者曾有幸聆聽(tīng)了陶維林老師的兩節(jié)課，課堂對(duì)概念的講解，讓人感覺(jué)非常的自然、入理.他講解時(shí)往往是從特殊（特殊的實(shí)例，及數(shù)據(jù)）到一般（歸納總結(jié)結(jié)論、性質(zhì)）、從個(gè)別到總體，個(gè)體和特殊能夠給學(xué)生直觀形象，整體和一般就是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)直觀抽象出概念和性質(zhì)，然后從一般到特殊，可以讓學(xué)生加深概念和性質(zhì)的理解及運(yùn)用，這樣既做到了分析過(guò)程，又做到了知識(shí)的拓廣及思維的訓(xùn)練，這個(gè)過(guò)程實(shí)際上就是數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)在教學(xué)中的綜合體現(xiàn)，也只有這樣，我們的學(xué)生才能擁有自己的思維，才能在考試中做到舉一反三.

（3）不要忽視學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的問(wèn)題.只要是學(xué)習(xí)，那么就總有犯錯(cuò)的時(shí)候，有些教師對(duì)待學(xué)生在課堂中出現(xiàn)的問(wèn)題，可能為了教學(xué)進(jìn)度，采取不予理睬的態(tài)度，但是實(shí)際上學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題何嘗不是我們教學(xué)中很好的素材，對(duì)于這些素材我們可以讓學(xué)生積極的分析、討論，既可以活躍學(xué)生的思維，也可以使課堂不再單調(diào)，還可以鼓勵(lì)學(xué)生積極的參與到課堂中.

高考數(shù)學(xué)考試大綱在近幾年增加了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性以及數(shù)學(xué)文化、思想道德素質(zhì)等內(nèi)容，這些內(nèi)容所反映出來(lái)的問(wèn)題，就是以后想通過(guò)“題海戰(zhàn)術(shù)”在高考中獲得高分將越來(lái)越不現(xiàn)實(shí)，因?yàn)橥ㄟ^(guò)反復(fù)練習(xí)得到的知識(shí)，只是條件反射式的技能，解題時(shí)只能照葫蘆畫瓢、生搬硬套，稍有變化，就會(huì)出現(xiàn)各種各樣的疏漏，有時(shí)甚至?xí)譄o(wú)策.因此，我們教師在教學(xué)過(guò)程中一定要注意知識(shí)的生成性教學(xué)，把數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng)貫穿于整個(gè)課堂教學(xué)，只有六大核心素養(yǎng)在教學(xué)中得到全面的體現(xiàn)，我們的學(xué)生才能在高考中以不變應(yīng)萬(wàn)變，才會(huì)由過(guò)去的學(xué)會(huì)變成一個(gè)會(huì)學(xué)的學(xué)生.F