淺談巧解多變量取值范圍的特殊策略

☉浙江省武義第一中學(xué) 龔超群

對(duì)于各個(gè)變量，首先要仔細(xì)觀察，利用題目所給的條件和形式將多個(gè)變量變?yōu)閱我蛔兞?，簡稱消元.常用的消元法有代入消元、加減消元、三角換元等，本文便不作例舉了.特殊的方法有整體代換消元、擱置無關(guān)元、確定主次變量、分離雙變量、齊次式轉(zhuǎn)化、巧用不等式、利用判別式等，希望能在通性通法之外有一些其他思路.

一、整體代換消元

例1（2008·江蘇，11）設(shè)x，y，z為正實(shí)數(shù)，滿足x-2y+3z=0，則的最小值是______.

解：由x-2y+3z=0，得

因?yàn)閤，y，z是正實(shí)數(shù)，

評(píng)注：本題利用x-2y+3z=0，將整體代入所求的中，同時(shí)結(jié)合齊次式轉(zhuǎn)化的思想，綜合運(yùn)用基本不等式，最后得到最值.

二、擱置無關(guān)元

通過觀察和分析，發(fā)現(xiàn)有些變量在解題過程中沒有直接影響，可以暫時(shí)擱置.

例2已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2+2y2+3z2=1，求x+2y的最大值.

解：由x2+2y2+3z2=1變形得：x2+2y2=1-3z2≤1，不妨設(shè)r2=1-3z2，0≤r≤1.

評(píng)注：本題利用變形發(fā)現(xiàn)變量z在解題過程中無關(guān)緊要，所以可以擱置，直接求關(guān)于x，y的雙變量最值問題，當(dāng)然也可以用不等式，如果把題目由x+2y變成ax+by的形式可以采用三角代換或者柯西不等式來解答.

三、確定主次變量

例3若存在實(shí)數(shù)y∈［1，2］，使得關(guān)于x的方程|x|（x2-y）=（y2+y）t有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解：將方程變形為關(guān)于x的函數(shù)，其中y為參數(shù)，不妨設(shè)

易知g（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)和是g（x）的兩個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)閥∈［1，2］，對(duì)g（x）求導(dǎo)得：

所以g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

所以g（x）在（0，+∞）上的最小值為

又因?yàn)榇嬖趛∈［1，2］，g（x）為偶函數(shù)，

所以由函數(shù)g（x）的圖像可知：

當(dāng)h（y）min＜t＜0，關(guān)于x的函數(shù)與直線f（x）=t有四個(gè)不同的交點(diǎn)，

即可知：關(guān)于x的方程|x|（x2-y）=（y2+y）t有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

所以

即當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程|x（|x2-y）=（y2+y）t有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

評(píng)注：看似比較牽強(qiáng)，本題把變量y看成了一個(gè)存在性的參數(shù)，先分析并討論了主變量x的函數(shù)變化情況，消去x之后又將y看成一個(gè)次變量，利用存在性最終得到參數(shù)t的取值范圍.在分析多變量函數(shù)的恒成立問題時(shí)，經(jīng)?？梢圆捎眠@樣的思路，分析題目中的主次變量，然后按順序分析變量來解決問題，有時(shí)候也被稱為變更主元.

如果觀察到兩個(gè)變量關(guān)系式可以分離為互相獨(dú)立的兩個(gè)函數(shù)f（x），g（y），那么分離雙變量x，y，可以利用兩個(gè)變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)的值域來解決恒成立或者存在性問題.

四、齊次式轉(zhuǎn)化

如果題中所給的條件是多個(gè)變量的齊次等式（或齊次不等式），可先將式子兩邊同時(shí)除以某個(gè)含變量的式子，然后用整體換元來減少變量；若是多個(gè)變量的齊次分式，則先將分子和分母同時(shí)除以某個(gè)變量的相同次冪，再用整體換元來減少變量.

例4若實(shí)數(shù)x，y滿足xy＞0，求的最大值.

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)x，y滿足xy＞0，可以將所求式子的分子分母同時(shí)除以xy，

評(píng)注：本題將分子和分母的齊次分式同時(shí)除以xy，將xy視為一個(gè)整體，達(dá)到轉(zhuǎn)化為單一變量的目的，然后運(yùn)用基本不等式來解答.

五、巧用不等式

很多文章都論述了運(yùn)用基本不等式和柯西不等式來解決雙變量問題的思想方法，不等式運(yùn)用過程中最大的特點(diǎn)是“湊”和“巧”，很多雙變量問題都可以運(yùn)用不等式來解決.

例5設(shè)單位向量a，b的夾角為銳角，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)（x，y）∈（{x，y）||xa+yb|=1，xy≥0}，都有成立，求a·b的最小值.

解：設(shè)單位向量a，b的夾角為θ，由（x，y）∈{（x，y）||xa+yb|=1，xy≥0}，

得：x2+y2+2xycosθ=1. ①

因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)（x，y）都有成立，

由①代入“1”得：15x2+60xy+60y2≤64（x2+y2+2xycosθ）.若對(duì)任意的實(shí)數(shù)（x，y）恒成立，則60-128cosθ≤恒成立，由基本不等式得，即a·b的最小值為

評(píng)注：本題先由向量的模得到一個(gè)含有參數(shù)θ的等式，然后對(duì)恒成立問題簡化出來的“64”和等式中的“1”進(jìn)行靈活代換，并采用將參數(shù)θ分離的策略，最后運(yùn)用基本不等式解決比較巧妙.

六、利用二次方程的判別式

以上幾種方法都可以利用已知條件將多變量變?yōu)閱我蛔兞?，但是有的時(shí)候根據(jù)題目所給的條件，運(yùn)用消元法比較困難或者無法消元，此時(shí)可以采用二次方程的判別式進(jìn)行求解.

例6（2011·浙江理，16）設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

答：設(shè)2x+y=t，則y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1得：

4x2+（t-2x）2+x（t-2x）=1?6x2-3tx+t2-1=0，

則關(guān)于x的方程必定有解，由判別式Δ≥0恒成立可解得所以2x+y的最大值為

評(píng)注：本題的解題方法比較多，也比較靈活，但是綜合判斷還是運(yùn)用判別式的方法比較簡潔.F