對一道高考題的多解探究

☉浙江省玉環(huán)市玉城中學 張夏飛

我國南宋時期杰出的數(shù)學家楊輝曾說：“夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設(shè)一題.”其實，在教材中所選用的例題、練習題都是經(jīng)過專家們再三選取、提煉而來的，能幫助我們有效地明晰概念、掌握方法.充分感受教材中所選用的例題、練習題中豐富的內(nèi)涵，從而達到舉一反三的目的，并提高分析問題和解決問題的能力.

一、高考真題

（2018·全國Ⅲ卷文、理·22）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為θ為參數(shù)），過點（0，且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點.

（1）求α的取值范圍；

（2）求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程.

本題以參數(shù)方程與普通方程的互化為問題背景，通過直線與圓的位置關(guān)系、中點弦問題來考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、運算求解能力以及數(shù)學運算與直觀想象等數(shù)學核心素養(yǎng).

二、官方標答

解：（1）⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1.

（2）方法1：l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)

設(shè)A，B，P對應(yīng)的參數(shù)分別為則，且滿足

又點P的坐標（x，y）滿足

所以點P的軌跡的參數(shù)方程是（α為參數(shù)

點評：第（2）小題求解AB中點P的軌跡的參數(shù)方程，借助直線l的參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，采用韋達定理，并結(jié)合中點坐標公式，通過三角恒等變換的轉(zhuǎn)化來確定點P的軌跡的參數(shù)方程.其實，解決第（2）小題中AB中點P的軌跡的參數(shù)方程問題，切入點各異，方法眾多.

三、巧思妙想

1.解幾思維

圖1

（2）方法2：由題知⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1，設(shè)點C的坐標為連接OP，由于P是AB的中點，則有OP⊥AB.

設(shè)P（x，y），當P不為O點時，設(shè)OP的直線方程為y=kx，則CP的直線方程為

而點P在⊙O內(nèi)，所以AB中點P的軌跡方程是x2+y2+其對應(yīng)的參數(shù)方程為β為參數(shù)，0＜β＜π）.

點評：通過平面幾何中的垂徑定理，利用解幾法中的交軌法，結(jié)合相應(yīng)的直線方程來確定對應(yīng)的P（x，y）的軌跡方程，并結(jié)合兩圓相交弦所在的直線方程以及圖形直觀來確定參數(shù)y的取值范圍，進而把普通方程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的參數(shù)方程即可得以解決.

2.設(shè)而不求思維

（2）方法3：由題知⊙O的直角坐標方程為x2+y2=1.

設(shè)P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），則x12+y12=1，x22+y22=1.

兩式相減可得x12-x22+y12-y22=0，即（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0.又

而點P在⊙O內(nèi)，所以AB中點P的軌跡方程是x2+y2+其對應(yīng)的參數(shù)方程為β為參數(shù)，0＜β＜π）.

點評：通過設(shè)出相應(yīng)點的坐標，利用設(shè)而不求的思維，通過中點弦中的點差法建立關(guān)系式，并結(jié)合中點坐標公式與直線的斜率公式加以轉(zhuǎn)化來確定對應(yīng)的點P（x，y）的軌跡方程，結(jié)合兩圓相交弦所在的直線方程以及圖形直觀來確定參數(shù)y的取值范圍，進而把普通方程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的參數(shù)方程即可得以解決.

3.函數(shù)方程思維

4（1+k2）＞0，即k2＞1，從而即，代入，可得

所以將其代入，整理可得x2+y2+

又因為k2＞1，所以＜0，即所以AB中點P的軌跡方程是

所以AB中點P的軌跡方程是其對應(yīng)的參數(shù)方程為β為參數(shù)，0＜β＜π）.

其實，在日常解題過程中，應(yīng)不滿足于一種解法，多思則多解，這樣在遇到具體問題時才能真正做到隨機應(yīng)變，從而達到快速求解的目的.充分運用一題多解，可以從多角度、多途徑尋求解決問題的不同方法.同時，從多種解法的對比中選取最佳解法、通性通法、特殊解法等，總結(jié)解題規(guī)律，提高分析問題、解決問題的能力，真正達到思維的發(fā)散性和創(chuàng)新性，培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng).F