小議三角函數(shù)問題中的求參數(shù)的方法

■稅建華

求解三角函數(shù)中的參數(shù)問題，需要熟練掌握三角函數(shù)的性質(zhì)，這類問題可利用方程思想與待定系數(shù)法相結(jié)合求解。

一、根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

解：先求出f（x+φ）的解析式，然后求φ的值。由可得f（x因?yàn)楹瘮?shù)f（x+φ）為偶函數(shù)，所以即

評析：函數(shù)y=Acos（ωx+φ）+B（A≠0）為奇函數(shù)且B=0。函數(shù)y=Acos（ωx+φ）+B（A≠0）為偶函數(shù)?φ=kπ（k∈Z）。

例2函數(shù)sin（3x-θ）是奇函數(shù)，則tanθ=__________。

解：根據(jù)f（0）=0可求得tanθ的值。因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，即=0（使cosθ=0的θ值不滿足題設(shè)條件，故cosθ≠0），可得

評析：若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，則f（0）=0。

二、根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

例3已知函數(shù)f（x）=-2sin（2x+φ）（|φ|＜π），若是f（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為（ ）。

解：先求出已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，使為其子區(qū)間即可求得φ的取值范圍。因?yàn)閆，所以Z。因?yàn)槭莊（x）的一個單調(diào)遞增區(qū)間，且|φ|＜π，所以解得同理由可得由上可得應(yīng)選C。

評析：此類問題要注意單調(diào)區(qū)間給出的方 式，如 “函 數(shù) f （x）在上單調(diào)遞增”與“函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為Z）”這兩者是不相同的。

例4將函數(shù)0）的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖像，若y=g（x）在上為增函數(shù)，則ω的最大值為__________。

解：利用平移變換求出函數(shù)g（x）的解析式是解題的關(guān)鍵。由題意可得g（x）=可知g（x）的增區(qū)間為即又x∈所以ω≤2。故ω的最大值為2。

評析：把函數(shù)f（x）=sinx的圖像向右平移φ（φ＞0）個單位長度，只需用x-φ代替f（x）=sinx 中的x 即可；把函數(shù)f（x）=sinx的圖像向左平移φ（φ＞0）個單位長度，只需用x+φ代替f（x）=sinx中的x即可。

三、根據(jù)三角函數(shù)的周期性求參數(shù)

例5函數(shù)f（x）=sinωx（ω＞0）圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2，則ω=__________。

解：因?yàn)閒（x）圖像的相鄰兩條對稱軸之間的距離為2，所以T=4，可得即

評析：在解決由三角函數(shù)圖像確定函數(shù)解析式的問題時，要注意充分利用函數(shù)圖像顯示出來的函數(shù)性質(zhì)。

四、根據(jù)三角函數(shù)的圖像平移求參數(shù)

例6函數(shù)y=cos（2x+φ）（-π≤φ＜π）的圖像向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖像重合，則φ=__________。

解：將y=cos（2x+φ）的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)y=的圖像。

評析：解答本題的關(guān)鍵是平移后兩個函數(shù)的名稱要一致，即平移后兩個函數(shù)為同名三角函數(shù)。

五、根據(jù)三角函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)

例7已知函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞的圖像的一部分如圖1所示，則f（x）的表達(dá)式為___________。

圖1

解：由圖像可知A=2。因?yàn)辄c(diǎn)（0，1）在圖像上，所以1=2sin（ω·0+φ），即sinφ=又所以

評析：解決這類問題，一般是先根據(jù)圖像的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)確定A的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖像上的一個特殊點(diǎn)確定φ的值。

六、根據(jù)三角函數(shù)的最值求參數(shù)

評析：解答本題的關(guān)鍵是輔助角公式的靈活應(yīng)用。