自適應(yīng)嚴(yán)格收斂非奇異終端滑模制導(dǎo)律

李曉寶，趙國榮，張友安，郭志強(qiáng)

1. 海軍航空大學(xué) 岸防兵學(xué)院，煙臺 264001 2. 海軍航空大學(xué) 大學(xué)參謀部，煙臺 264001 3. 煙臺南山學(xué)院 電氣與電子工程系，煙臺 265713

為了使作戰(zhàn)毀傷效果最大化，導(dǎo)彈以較小的脫靶量攔截目標(biāo)的同時還要求具有特定的終端攻擊角度。對于靜止或者機(jī)動能力較弱的目標(biāo)，比例導(dǎo)引律因其制導(dǎo)效果好，便于實現(xiàn)的優(yōu)點而被廣泛的應(yīng)用[1-2]，但對高機(jī)動目標(biāo)的制導(dǎo)效果卻并不理想[3]。針對機(jī)動目標(biāo)的攔截問題，應(yīng)用現(xiàn)代控制理論進(jìn)行導(dǎo)彈末制導(dǎo)律的設(shè)計近些年開始成為研究的熱點，如最優(yōu)控制制導(dǎo)律[4-5]、H∞控制制導(dǎo)律[6]、微分對策制導(dǎo)律[7]。

對于系統(tǒng)不確定性和外界的擾動，滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的魯棒性，并且相比于最優(yōu)控制制導(dǎo)律，不需要對剩余時間進(jìn)行估計，因此在制導(dǎo)律設(shè)計中得到了深入研究[8]。傳統(tǒng)滑模制導(dǎo)律其彈目視線(Line of Sight, LOS)角在制導(dǎo)過程中收斂時間是趨于無窮的，而終端滑模控制(Terminal Sliding Mode Control, TSMC)通過引入非線性滑模面確保了系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間內(nèi)收斂[9]。針對導(dǎo)彈在攔截高機(jī)動目標(biāo)時末制導(dǎo)時間通常較短的特點，有限時間收斂控制能夠加快制導(dǎo)系統(tǒng)收斂速率，縮短制導(dǎo)時間。應(yīng)用TSMC方法設(shè)計攔截機(jī)動目標(biāo)的末制導(dǎo)律近些年得到了廣泛的研究[10-16]。但是傳統(tǒng)的TSMC方法會出現(xiàn)奇異現(xiàn)象[17]，現(xiàn)有的終端滑模制導(dǎo)律在解決滑模面奇異性問題時通常采取兩種辦法：一是采取滑模面轉(zhuǎn)換的形式避免奇異性問題，例如文獻(xiàn)[10]在滑模面進(jìn)入奇異區(qū)域時將其轉(zhuǎn)換為普通的二次函數(shù)形式的滑模面，但是因為轉(zhuǎn)換滑模面的存在，制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)變量最終不能在有限時間收斂到零；二是設(shè)計新型的非奇異終端滑模面，例如文獻(xiàn)[11-12] 構(gòu)造了一種非奇異終端滑模面，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了一種非奇異終端滑模制導(dǎo)律，文獻(xiàn)[13-15] 進(jìn)一步給出了快速非奇異終端滑模制導(dǎo)律的設(shè)計方法，提高了制導(dǎo)系統(tǒng)的收斂速率。但是，文獻(xiàn)[11-15]在制導(dǎo)過程中存在著非嚴(yán)格有限時間收斂的問題，即制導(dǎo)系統(tǒng)在滑模面到達(dá)過程中不是嚴(yán)格有限時間收斂的，存在著非收斂因子，需要單獨分析非收斂因子是否為滑模到達(dá)階段的吸引子，而且非收斂因子的存在減緩了滑模面的收斂速率。文獻(xiàn)[16]特別指出了這個問題并為此設(shè)計了一種新型的嚴(yán)格收斂非奇異終端滑模制導(dǎo)律，然而其設(shè)計的滑模面并不是光滑的，而且制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)變量最終并不能收斂到零，只能收斂到一個未知的有界區(qū)域內(nèi)。

此外，在研究攔截機(jī)動目標(biāo)的末制導(dǎo)問題時，采用終端滑模設(shè)計制導(dǎo)律需要預(yù)先知道目標(biāo)的機(jī)動，然而實際情況中目標(biāo)的機(jī)動大多數(shù)是未知的，文獻(xiàn)[14,18]在設(shè)計制導(dǎo)律過程中假設(shè)目標(biāo)機(jī)動存在一個已知的上界，但是通常目標(biāo)機(jī)動的上界也難以測量。自適應(yīng)控制由于其在控制過程中具有不需要知道外部擾動任何信息的優(yōu)點，應(yīng)用到制導(dǎo)律設(shè)計中可以有效地解決目標(biāo)機(jī)動未知的問題[19-20]。

針對機(jī)動目標(biāo)的終端角度約束末制導(dǎo)攔截問題，考慮到上述文獻(xiàn)研究的不足，本文設(shè)計了一種新型的嚴(yán)格收斂非奇異終端滑模面，該滑模面不僅連續(xù)光滑并且有效避免了奇異性問題；然后，通過Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了基于此滑模面設(shè)計的制導(dǎo)律不僅能夠使得制導(dǎo)系統(tǒng)在滑模面到達(dá)階段是嚴(yán)格有限時間收斂的，具有更快的收斂速率，而且確保了終端角度誤差和LOS角速率最終是有限時間內(nèi)收斂到零的，提高了終端角度約束的精度。此外，設(shè)計了一種針對目標(biāo)機(jī)動上界的自適應(yīng)律使得制導(dǎo)律設(shè)計過程中不需要預(yù)先知道目標(biāo)的機(jī)動信息，增強(qiáng)了制導(dǎo)系統(tǒng)對外部干擾的魯棒性。最后，通過仿真對該制導(dǎo)律的性能進(jìn)行了分析。

1 問題描述和相關(guān)引理

1.1 問題描述

圖1 導(dǎo)彈目標(biāo)運動關(guān)系Fig.1 Missile target engagement geometry

導(dǎo)彈末制導(dǎo)攔截過程可以簡化為在二維平面內(nèi)進(jìn)行，如圖1所示r和q分別代表導(dǎo)彈M和目標(biāo)T之間距離和彈目LOS角，γM和γT分別代表M和T的航跡角，假定M和T速度恒定分別記為VM和VT,aM和aT分別代表M和T的法向加速度。那么制導(dǎo)系統(tǒng)的運動學(xué)方程可表示為

(1)

(2)

導(dǎo)彈末制導(dǎo)終端攻擊角度θimp為終端攔截時導(dǎo)彈和目標(biāo)速度之間的夾角，若γTf和γMf分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的終端航跡角，可知

θimp=γTf-γMf

(3)

VMsin(γMf-qd)=VTsin(γTf-qd)

(4)

(5)

對于某一具體的攔截過程，ν是固定的，若目標(biāo)是靜止的，則γTf=0；當(dāng)目標(biāo)作非機(jī)動運動，則γTf是可測的；若目標(biāo)是機(jī)動的，則γTf可以通過彈上的跟蹤濾波器得到。若γTf已知，對于某一期望的θimp，則由式(5)可知存在唯一的qd與之對應(yīng)；對于某一期望的qd，由式(3)和式(4)可知存在唯一的γMf和θimp與之對應(yīng)。因此，導(dǎo)彈終端攻擊角度θimp與終端LOS角qd存在著一一對應(yīng)關(guān)系[21]。因此，導(dǎo)彈末制導(dǎo)終端攻擊角度θimp約束可以轉(zhuǎn)化為期望的終端LOS角qd約束的問題。

(6)

式中：d=cos(γT-q)aT為由目標(biāo)機(jī)動產(chǎn)生的制導(dǎo)系統(tǒng)外部擾動

假設(shè)1假設(shè)Δ為一正常數(shù)，代表目標(biāo)機(jī)動aT最大值，那么可知|d|≤Δ。

通過設(shè)計導(dǎo)彈法向加速度aM使LOS角跟蹤誤差x1以及LOS角速率x2在有限時間內(nèi)收斂到原點，導(dǎo)彈便能夠確保以期望的終端LOS角qd精確命中目標(biāo)。

1.2 基本引理

引理1[17]假設(shè)存在原點鄰域U∈Rn上的C1光滑正定函數(shù)V(t)，且V(t)滿足：

(7)

式中：a,b>0, 0<γ<1,t>t0,t0為系統(tǒng)初始時間。那么，該函數(shù)將在有限時間收斂到零，且相應(yīng)的收斂時間tf滿足:

(8)

引理2[22]假設(shè)存在原點鄰域U∈Rn上的C1光滑正定函數(shù)V(t)，且V(t)滿足：

(9)

式中：λ>0, 0<γ<1,t>t0。那么，該函數(shù)將在有限時間收斂到零，且相應(yīng)的收斂時間tf滿足：

(10)

2 制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 嚴(yán)格收斂非奇異終端滑模面構(gòu)造

針對終端滑模控制存在奇異性問題，文獻(xiàn)[12] 設(shè)計了一種非奇異終端滑模面

s=x1+αsigq(x2)

(11)

式中：α>0, 1

(12)

制導(dǎo)系統(tǒng)在滑模面到達(dá)階段由Lyapunov穩(wěn)定性理論得到

(13)

圖2 制導(dǎo)系統(tǒng)變量的收斂過程Fig.2 Convergence process of guidance system

文獻(xiàn)[16]針對此問題設(shè)計了一個嚴(yán)格收斂非奇異終端滑模面：

(14)

式中：α,β>0,a>0,γ>1。對滑模面(14)求導(dǎo)可得

(15)

文獻(xiàn)[10]針對滑模面奇異性問題，提出了一種轉(zhuǎn)換滑模面的方法：

s=x2+l1x1+l2g(x1)

(16)

式中：l1>0,l2>0,g(x1)∈R定義為

(17)

式中：0<γ<1,α1=(2-m2)εγ-1,α2=(m2-1)εγ-2,ε為一個小的正常數(shù)。

雖然基于滑模面(16)設(shè)計的制導(dǎo)律[10]雖然不存在上述非嚴(yán)格有限時間收斂的問題，但是因為轉(zhuǎn)換滑模面的存在，系統(tǒng)狀態(tài)變量x1,x2在滑動階段最終只能有限時間收斂于{(x1,x2)|x1≤ε,x2≤α1ε+α2εγ}，而并不能嚴(yán)格的有限時間收斂到零。

為了解決上述非奇異終端滑模制導(dǎo)律設(shè)計中存在的問題，本文設(shè)計了一種嚴(yán)格收斂非奇異終端滑模面

s=x1+α(p|x1|+e-p|x1|-1)·

(1-e-q|x2|)sign(x2)+βsigγx2

(18)

式中：α,β>0, 0<αp<1,q>0, 1<γ<2。對滑模面s求導(dǎo)可得

sign(x1x2)+[αq(p|x1|+e-p|x1|-1)·

(19)

2.2 制導(dǎo)律設(shè)計

定理1對于制導(dǎo)系統(tǒng)(6)，若采用本文構(gòu)造的滑模面(18)，如果制導(dǎo)指令aM設(shè)計為

(20)

(21)

則有如下結(jié)論成立：

2) 滑模變量s嚴(yán)格有限時間內(nèi)收斂于零。

3) 制導(dǎo)系統(tǒng)(6)的狀態(tài)變量x1、x2有限時間內(nèi)收斂于零。

證明：該定理證明過程分為如下3步。

1)考慮如下Lyapunov函數(shù)

(22)

根據(jù)式(19)～式(21)，那么Lyapunov函數(shù)V的導(dǎo)數(shù)可以寫為

αpx2(1-e-p|x1|)(1-e-q|x2|)sign(x1x2)+

(23)

2)考慮如下Lyapunov函數(shù)

(24)

對Lyapunov函數(shù)V1求導(dǎo)，代入式(19)和式(20) 可得

(1-e-p|x1|)(1-e-q|x2|)sign(x1x2)+

(25)

(26)

式中：η為個任意小的正常數(shù)。那么

(27)

因此，可以得到

(28)

因為φ(x1,x2)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=0時等號才成立，所以由式(28)以及引理1可知，制導(dǎo)系統(tǒng)(6)在滑模面到達(dá)過程中嚴(yán)格有限時間收斂到s=0。

3)考慮如下Lyapunov函數(shù)

(29)

因為0≤1-e-q|x2|≤1, 0≤p|x1|+e-p|x1|-1≤p|x1|，當(dāng)制導(dǎo)系統(tǒng)(6)狀態(tài)量x1、x2到達(dá)滑模面(18)時，由s=0可知x1x2≤0，且此時

(30)

對Lyapunov函數(shù)V2求導(dǎo)，代入式(30)可得

(31)

注4由于符號函數(shù)sign(s)的存在，制導(dǎo)律(19)是非連續(xù)的，可能會引發(fā)顫振現(xiàn)象。為了減少震顫，符號函數(shù)sign(s)可采用雙曲正切函數(shù)tanh(s/ξ)近似代替，ξ是一個小的正常數(shù)。因此，制導(dǎo)律(20)就可以修改成如下形式

k1s+k2sigγ1s]

(32)

式(32)即本文最終設(shè)計的考慮終端角度約束的自適應(yīng)嚴(yán)格收斂非奇異終端滑模制導(dǎo)律(Adaptive Strictly Convergent Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance，ASCNTSMG)。

3 仿真分析

為了更全面地分析ASCNTSMG的制導(dǎo)效果，在仿真中引入了與其他現(xiàn)有制導(dǎo)律的對比。

文獻(xiàn)[12]設(shè)計一種自適應(yīng)非奇異終端滑模制導(dǎo)律(Adaptive Nonsingular Terminal Sliding Mode Guidance, ANTSMG)

(33)

文獻(xiàn)[10]設(shè)計一種自適應(yīng)非奇異快速終端滑模制導(dǎo)律(Adaptive Nonsingular Fast Terminal Sliding Mode Guidance, ANFTSMG)。

(34)

同時為了更好地分析ASCNTSMG的制導(dǎo)性能，考慮如下3種不同的目標(biāo)機(jī)動情況:

1)aM=7gcos(πt/4)。

2)aM=7g。

3) 當(dāng)t≤5 s時,aM=7g；當(dāng)t>5 s時，aM=-7g。

此外，文獻(xiàn)[15]提出了平均攔截加速度aME的概念來評估制導(dǎo)指令的大小，其定義為

(35)

式中：N為總的仿真步數(shù)；aM(k)為第k步的制導(dǎo)指令仿真值。

3.1 仿真對比

假設(shè)導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時期望的終端LOS角qd為20°，在3種不同的目標(biāo)機(jī)動情況下對制導(dǎo)律ASCNTSMG、 ANTSMG和ANFTSMG的制導(dǎo)性能進(jìn)行對比，仿真結(jié)果如圖3～圖5以及表1～表3所示。

對于攔截高機(jī)動目標(biāo)，導(dǎo)彈末制導(dǎo)時間通常較短。然而為了滿足LOS角和LOS角速率有限

圖3 第1種目標(biāo)機(jī)動下導(dǎo)彈攔截Fig.3 Intercepting target in Case 1

時間收斂的要求，導(dǎo)彈在末制導(dǎo)前期通常需要進(jìn)行較大的機(jī)動使得導(dǎo)彈盡快的對準(zhǔn)目標(biāo)，但是導(dǎo)彈的機(jī)動能力有限，因此制導(dǎo)指令在末制導(dǎo)初始階段會出現(xiàn)飽和現(xiàn)象，ANTSMG和ANFTSMG在相同的仿真場景下也出現(xiàn)了飽和現(xiàn)象。飽和現(xiàn)象的出現(xiàn)并不會影響制導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但會導(dǎo)致滑模面和系統(tǒng)變量收斂時間的增加。如圖6所示，在第3種目標(biāo)機(jī)動下，相比于不考慮制導(dǎo)指令飽和的情況，ASCNTSMG依舊能夠使得滑模面s

圖4 第2種目標(biāo)機(jī)動下導(dǎo)彈攔截Fig.4 Intercepting target in Case 2

圖5 第3種目標(biāo)機(jī)動下導(dǎo)彈攔截Fig.5 Intercepting target in Case 3

表1 第1種目標(biāo)機(jī)動下仿真結(jié)果Table 1 Simulation results in Case 1

制導(dǎo)律攔截時間/s脫靶量/mLOS角誤差/(°)aME/(m·s-2)ASCNTSMG17.22810.02150.0279102.4745ANTSMG19.61580.03050.0180173.7820ANFTSMG17.73340.02570.0443123.7496

表2 第2種目標(biāo)機(jī)動下仿真結(jié)果Table 2 Simulation results in Case 2

表3 第3種目標(biāo)機(jī)動下仿真結(jié)果Table 3 Simulation results in Case 3

圖6 不考慮制導(dǎo)指令飽和的仿真對比Fig.6 Simulation comparison without saturation

和LOS視線角q在有限時間內(nèi)收斂，但是收斂時間分別增加了2 s和1 s左右。

3.2 以不同的初始航跡角γM0攔截目標(biāo)

假設(shè)導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時期望的終端LOS角qd=20°，目標(biāo)采取aM=7gcos(πt/4)進(jìn)行機(jī)動，導(dǎo)彈的初始航跡角γM0分別為30°，60°和90°。針對ASCNTSMG進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖7以及表4所示。

圖7 以不同的初始航跡角攔截目標(biāo)Fig.7 Intercepting target with different initial flight path angles

表4 以不同的初始航跡角攔截目標(biāo)時仿真結(jié)果

Table 4 Simulation results of intercepting target with different initial flight path angles

初始航跡角(°)攔截時間/s脫靶量/mLOS角誤差/(°)aME/(m·s-2)3016.61180.02260.037897.47076017.22810.02150.0279102.47459019.39240.0163-0.0323134.1757

3.3 以不同的期望終端LOS角qd攔截目標(biāo)

假設(shè)導(dǎo)彈攔截目標(biāo)時初始航跡角γM0=60°,目標(biāo)采取aM=7gcos(πt/4)進(jìn)行機(jī)動，期望的終端LOS角qd分別為20°，30°，40°。針對ASCNTSMG進(jìn)行仿真分析，結(jié)果如圖8以及表5所示。

圖8 以不同的期望終端LOS角攔截目標(biāo)Fig.8 Intercepting target with different desired LOS angles

表5 以不同的期望終端LOS角攔截目標(biāo)時仿真結(jié)果

Table 5 Simulation results of intercepting target with different desired LOS angles

期望LOS角/(°)攔截時間/s脫靶量/mLOS角誤差/(°)aME/(m·s-2)2017.22810.02150.0279102.47453015.69770.02370.028080.18184017.38880.01640.0209137.5841

4 結(jié) 論

1) 設(shè)計了一種自適應(yīng)終端滑模制導(dǎo)律，能夠?qū)崿F(xiàn)對機(jī)動目標(biāo)的精確打擊和終端角度約束的要求。自適應(yīng)估計的結(jié)構(gòu)簡單，不影響制導(dǎo)系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。

2) 設(shè)計的滑模面通過巧妙地構(gòu)造一個包含制導(dǎo)系統(tǒng)狀態(tài)變量的混合項，解決了現(xiàn)有終端滑模制導(dǎo)律在處理奇異性時面臨的滑模面不能嚴(yán)格收斂以及系統(tǒng)狀態(tài)最終無法收斂到零的問題，提高了制導(dǎo)性能。

3) 所設(shè)計的制導(dǎo)律提高了制導(dǎo)系統(tǒng)的收斂速率和終端角度約束的精度，通過與ANTSMG以及ANFTSMG在相同場景下仿真對比，驗證了本文所設(shè)計的制導(dǎo)律的優(yōu)越性。