數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)和提高探討

李婉卿　王凱　王俊旺

摘 要：數(shù)學(xué)建模對(duì)于大學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著非常好的作用，甚至也是他們解決實(shí)際問(wèn)題的重要手段和方式。文章結(jié)合實(shí)際的數(shù)學(xué)建模案例來(lái)提出數(shù)學(xué)建模的新思路，為的是提出更好地提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的方法，并在之后開(kāi)創(chuàng)新的數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)方向。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模；建模能力；能力培養(yǎng)

在未來(lái)教育的過(guò)程中，尤其需要以“瞄準(zhǔn)國(guó)家創(chuàng)新體系目標(biāo)”為重要的基礎(chǔ)，更好地培養(yǎng)一批具有創(chuàng)新能力的人才。通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的理性思維顯得尤為重要。一個(gè)學(xué)生的思想方法、知識(shí)結(jié)構(gòu)和創(chuàng)造能力對(duì)于個(gè)人的發(fā)展都有著很大的作用。數(shù)學(xué)課程不僅本身有著重要的科學(xué)價(jià)值，而且也能夠?yàn)樯鐣?huì)的發(fā)展帶來(lái)更多的精神財(cái)富。而數(shù)學(xué)教育對(duì)于學(xué)生未來(lái)的發(fā)展也將會(huì)有很大的作用。數(shù)學(xué)建模的出現(xiàn)可以說(shuō)是數(shù)學(xué)教育的一種進(jìn)步。一方面，數(shù)學(xué)建模能夠更好地增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，另外一方面也能夠更好地提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

1 數(shù)學(xué)建模的概念和實(shí)際應(yīng)用

1.1 數(shù)學(xué)建模的概念

數(shù)學(xué)建模也就是讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際的問(wèn)題來(lái)建立數(shù)學(xué)模型，并在之后對(duì)數(shù)學(xué)模型來(lái)進(jìn)行求解[1]。學(xué)生在通過(guò)計(jì)算出的不同結(jié)果來(lái)更好地解決實(shí)際的問(wèn)題。當(dāng)人們需要從定量的角度來(lái)進(jìn)行深入的研究和調(diào)查，并更加深入地了解對(duì)象的信息時(shí)，也就需要在簡(jiǎn)化假設(shè)的基礎(chǔ)上來(lái)分析內(nèi)在的規(guī)律，最終也就能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和語(yǔ)言來(lái)更好地建立數(shù)學(xué)模型。

1.2 數(shù)學(xué)建模的實(shí)際應(yīng)用

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，“數(shù)學(xué)建?！边@個(gè)詞語(yǔ)已經(jīng)越來(lái)越多地出現(xiàn)在了人們的生產(chǎn)、工作和社會(huì)發(fā)展的過(guò)程中。

生產(chǎn)者尤其需要通過(guò)制定一個(gè)合理的生產(chǎn)銷售計(jì)劃來(lái)獲得更大的經(jīng)濟(jì)效益。并在之后根據(jù)產(chǎn)品的生產(chǎn)條件、生產(chǎn)成本、供需狀況和存儲(chǔ)費(fèi)用來(lái)更好地建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。

醫(yī)護(hù)人員也經(jīng)常需要通過(guò)分析人群變化的規(guī)律來(lái)建立一個(gè)傳染病的數(shù)學(xué)模型描述傳染病的傳播過(guò)程，從而能夠更好地抑制傳染病的蔓延[1]。

教育工作者一定要在工作的過(guò)程中意識(shí)到數(shù)學(xué)建模的重要性，并通過(guò)提高他們對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣來(lái)更好地提高他們數(shù)學(xué)建模的能力。

此外，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，也尤其需要圍繞“減肥問(wèn)題”“貸款買房”“傳染病模型”“足球排名”和“飲酒駕車”這樣的方式來(lái)建立一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，從而也就能夠更好地激發(fā)學(xué)生解決問(wèn)題的興趣和信心。

2 當(dāng)前大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模知識(shí)中存在的問(wèn)題

2.1 很多學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)失去興趣

很多大學(xué)生在入學(xué)之后，往往會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)建模的內(nèi)容過(guò)于困難而放棄學(xué)習(xí)，從而在之后錯(cuò)過(guò)了學(xué)習(xí)的最佳時(shí)期[2]。所以，老師在教學(xué)的過(guò)程中尤其需要選擇學(xué)生感興趣的問(wèn)題?？梢詫ⅰ百?gòu)買彩票”“傳染病研究”“洗衣服”“貸款買房”等問(wèn)題更好地和數(shù)學(xué)模型相結(jié)合，這樣往往也就能夠更好地提高學(xué)生的興趣和自信心。

2.2 學(xué)習(xí)的過(guò)程枯燥難懂

一般，老師都會(huì)從理論的角度結(jié)合層次分析法來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。這樣講授的過(guò)程一般都非常枯燥，而且還非常不容易被理解[2]。所以，這時(shí)老師除了要能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還需要結(jié)合生活中實(shí)際的案例來(lái)進(jìn)行分析和說(shuō)明，只有把數(shù)學(xué)建模的過(guò)程拆解成幾個(gè)階段，才能夠讓學(xué)習(xí)的效果變得更好。

2.3 選擇過(guò)程較為困難

數(shù)學(xué)建模本身屬于一個(gè)非常龐大的課程，所以學(xué)生往往需要通過(guò)不斷地選擇來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)。但是，很多學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的過(guò)程中都會(huì)遭遇到選擇性的問(wèn)題。學(xué)生往往不能夠根據(jù)自己的興趣愛(ài)好、難易程度和與專業(yè)課的相關(guān)程度來(lái)更好地進(jìn)行選擇，最終才會(huì)發(fā)現(xiàn)選擇的課程并不適合自己的實(shí)際情況。

2.4 師資力量較為薄弱

很多學(xué)校并不存在教授數(shù)學(xué)建模知識(shí)的專業(yè)教師。部分?jǐn)?shù)學(xué)教師的授課任務(wù)、備課和批改作業(yè)的工作量非常大，占據(jù)了數(shù)學(xué)教師大量的時(shí)間。所以也根本沒(méi)有時(shí)間去研究相關(guān)的數(shù)學(xué)建模知識(shí)，指導(dǎo)學(xué)生的過(guò)程中也不夠耐心，導(dǎo)致很多學(xué)生無(wú)法掌握數(shù)學(xué)建模知識(shí)的精髓。

3 培養(yǎng)和提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的策略

3.1 全面重視數(shù)學(xué)課中的方法講授

例如，在向?qū)W生講授數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中，尤其可以在題目中引入實(shí)際的問(wèn)題，并結(jié)合相關(guān)的情境來(lái)進(jìn)行全面應(yīng)用。

在跟經(jīng)管類的學(xué)生介紹投資方收益的過(guò)程中，尤其需要引入數(shù)學(xué)建模的模式，幫助大家學(xué)習(xí)如何投資閑置的資金[3]。例如，可以向?qū)W生舉以下的例子：假設(shè)某學(xué)?；饍?nèi)部有一筆數(shù)額約為M=5 000萬(wàn)元的基金，然后將其存入銀行。而當(dāng)前尤其需要參考銀行現(xiàn)行的政策來(lái)計(jì)算銀行的存款利率。

學(xué)校內(nèi)部的基金會(huì)在10年之內(nèi)都會(huì)用部分本息來(lái)獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀的師生，每年獎(jiǎng)勵(lì)的金額大致相同。之后再讓學(xué)生來(lái)設(shè)計(jì)基金存款的方案。在使用基金的過(guò)程中，尤其需要讓學(xué)生學(xué)會(huì)計(jì)算銀行的存款利息，并讓學(xué)生更好地了解利息、利率和儲(chǔ)蓄方式等知識(shí)。

又例如，需要將數(shù)學(xué)建模的知識(shí)運(yùn)用于減肥的過(guò)程中，并在此過(guò)程中更好地運(yùn)用微元法來(lái)進(jìn)行建模。

如果學(xué)校有條件，也可以通過(guò)成立專業(yè)的學(xué)建模指導(dǎo)教師組將教師分批送出進(jìn)行進(jìn)修，并在之后定期參加交流會(huì)議。只有這樣才能夠更好地學(xué)習(xí)其他高效的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

3.2 改變教材中的習(xí)題和例題

很多學(xué)生僅僅通過(guò)老師在課堂上的講述并不能夠形成好的數(shù)學(xué)建模思維，但是老師可以將例題和習(xí)題全面進(jìn)行改編，進(jìn)而變成能夠更好激發(fā)學(xué)生探索熱情的簡(jiǎn)單問(wèn)題。例如，在《高等數(shù)學(xué)》中會(huì)存在小馬過(guò)水塘的問(wèn)題。如果將小馬過(guò)河的速度和水流的約束都去掉，那么最終就會(huì)變成一個(gè)不確定的問(wèn)題。小馬從開(kāi)始到目的地所需要用的時(shí)間有多少？如果小馬能夠以任意的運(yùn)動(dòng)方式朝著目的地奔跑，那么需要什么條件？而如果想要以最快的方法到達(dá)水塘的對(duì)岸，那么應(yīng)該選擇什么樣的路線？學(xué)生都可以通過(guò)不斷地探索和研究形成一種建模的思維。

3.3 有效選擇優(yōu)秀的參賽題和參賽作品

個(gè)體在進(jìn)行生活和學(xué)習(xí)的過(guò)程中，思維方法將會(huì)占據(jù)非常重要的作用。這既是主體和個(gè)體有效的結(jié)合，同時(shí)也是將主體和客體更好地連接起來(lái)的紐帶。人們只有擁有了科學(xué)的思維方法才能夠更好地認(rèn)識(shí)事物發(fā)展過(guò)程中所體現(xiàn)的真理[3]。因此，在整個(gè)過(guò)程中尤其需要通過(guò)選擇優(yōu)秀的參賽作品和參賽習(xí)題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。例如，比較經(jīng)典的優(yōu)化洗衣機(jī)設(shè)計(jì)的問(wèn)題就是一個(gè)可以運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法來(lái)進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。在整個(gè)過(guò)程中，解答的方法如下。

（1）先要弄清和洗衣機(jī)有關(guān)的物理因素、化學(xué)因素和人為因素，并在之后有效地定義干凈程度、化合物和污染物的反應(yīng)。

（2）要清楚地明確衣服的重量、衣服的體積和洗衣機(jī)內(nèi)部的空間。這些關(guān)于衣服的參數(shù)也會(huì)在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中占據(jù)著更加重要的地位。

（3）在洗衣機(jī)運(yùn)作的過(guò)程中，也需要有效地弄清加水量、加入洗滌劑的質(zhì)量、水的溫度、洗衣機(jī)運(yùn)行中的轉(zhuǎn)速和洗衣機(jī)運(yùn)行的時(shí)間等諸多方面的因素。

在之后可以根據(jù)上述的條件來(lái)轉(zhuǎn)換為衣服?變換1?變換2?變換3?變換4……在這個(gè)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)部所反映的是一個(gè)循環(huán)往復(fù)的變化過(guò)程。

最終的目標(biāo)是為了求出相加的水量。

另外，如果在實(shí)際運(yùn)作的過(guò)程中，如果真的不知道如何去下手，則可以有效地利用歸納思維中的特殊關(guān)系和一般關(guān)系來(lái)更好地解決問(wèn)題，并在之后根據(jù)相關(guān)的過(guò)程進(jìn)行全面的分析。例如，比較熟知的彩票事例就可以用數(shù)學(xué)建模的方式來(lái)進(jìn)行解決。

3.4 學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)轉(zhuǎn)化實(shí)際問(wèn)題

在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)思維的過(guò)程中，最重要的就是建立起數(shù)學(xué)世界和現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，之后才能夠更好地運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)實(shí)際的問(wèn)題。在表述問(wèn)題的過(guò)程中，尤其可以將一個(gè)問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題。例如，關(guān)于存款問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生如此進(jìn)行設(shè)計(jì)：第一，如果將一筆存款存入銀行的內(nèi)部，存款到期之后會(huì)有多少本金和利息？如何存款才能夠使收益最大化？

第二，如果這樣一筆錢被存入銀行10年，并要求在年末取出相同的金額，10年后則還需要有原始的存款，此時(shí)應(yīng)該如何更好地設(shè)計(jì)存款的方案？面對(duì)這樣一個(gè)實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，可以這樣轉(zhuǎn)化為解決基金問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

假設(shè)?；鹩?jì)劃在10年之內(nèi)設(shè)置5 000萬(wàn)元的基金，然后再將一部分的成本和利息獎(jiǎng)勵(lì)給優(yōu)秀的師生，并在之后要求盡量提高每年的獎(jiǎng)勵(lì)金額。而以上類似的問(wèn)題可以有效地轉(zhuǎn)化為如何在年末等額金額的基礎(chǔ)上，通過(guò)調(diào)整存款的方式來(lái)使每年的利息和本金得以最大化。

公式則設(shè)定ri=（i=1，2，3，4…），這表明銀行存款第i年的年利率。假設(shè)第一年年初的基金為M，則年末等額的獎(jiǎng)金則會(huì)被設(shè)置為A。Xij則表明第i年在年初存入了一個(gè)定期的金額，而j則表示年期定期的基金數(shù)額[4]。通常也可以將兩個(gè)定期一起組合在一起[4]。如果一個(gè)定期為一年，另外一個(gè)定期為3年，這樣的組合才能夠使得本息達(dá)到最大。

假設(shè)銀行各種定期的年利率在N年之內(nèi)均不會(huì)發(fā)生很大的變化，一個(gè)定期存款在到期之后就會(huì)再不斷地轉(zhuǎn)入下一個(gè)定期存款，且在之后不會(huì)考慮通貨膨脹等諸多因素。類似這樣的問(wèn)題還有很多，大家一定要學(xué)會(huì)將生活實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)建模的語(yǔ)言。

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，數(shù)學(xué)建模對(duì)于21世紀(jì)人才的培養(yǎng)一直都起著非常重要的作用。從本文上述的內(nèi)容來(lái)看，一定要在平常教學(xué)的過(guò)程中讓學(xué)生掌握正確的建模思想和建模方法，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力和創(chuàng)新的精神。而老師在講課的過(guò)程中，也只有通過(guò)結(jié)合實(shí)際的案例來(lái)更好地進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，才能夠更好地提高學(xué)生建模的能力。

[參考文獻(xiàn)]

[1]劉剛，郭漪.探究式教學(xué)在《信息論與編碼理論》課程的實(shí)踐與探索[J].創(chuàng)新教育研究，2015（3）：42-46.

[2]夏冰.基于改進(jìn)的層次分析法評(píng)價(jià)畢業(yè)生綜合素質(zhì)[J].金融理論與教學(xué)，2016（3）：159-163.

[3]朱道元.數(shù)學(xué)建模案例精選[M].北京：科學(xué)出版社，2016.

[4]吳翎，吳孟達(dá)，成禮智.數(shù)學(xué)建模的理論與實(shí)踐[M].長(zhǎng)沙：國(guó)防科技大學(xué)出版社，2015.