運(yùn)用逆向思維解決高等數(shù)學(xué)中的證明題

摘 要：逆向思維法是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中創(chuàng)新性思維的重要方法，教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)地對(duì)大學(xué)生進(jìn)行逆向思維培養(yǎng)，有利于開(kāi)闊學(xué)生的視野并活躍解題思路，從而提高他們分析及解決實(shí)際問(wèn)題的能力，本文分析了在高等數(shù)學(xué)證明題中利用逆向思維的解題思路和方法。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；逆向思維；解題思路

一、 引言

高等數(shù)學(xué)具有高度抽象性及較強(qiáng)的理論性，學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容是理工科大學(xué)生由直觀(guān)形象思維向抽象邏輯思維的思維模式過(guò)渡的重要階段，這個(gè)階段是培養(yǎng)大學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程時(shí)從具體形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)變的關(guān)鍵時(shí)期，高等數(shù)學(xué)教師肩負(fù)著培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題能力的重任。教學(xué)實(shí)踐表明，恰當(dāng)運(yùn)用和實(shí)施逆向思維教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用逆向思維方式解決數(shù)學(xué)難題，拓展學(xué)生的視野并打開(kāi)解題思路，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，進(jìn)而提高他們分析及解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

二、 運(yùn)用舉例

（一） 倒推法

學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中會(huì)遇到許多與微分中值定理的應(yīng)用相關(guān)的證明題，應(yīng)用中值定理可以研究函數(shù)或?qū)?shù)的性態(tài)，可以證明恒等式或不等式，利用微分中值定理證明問(wèn)題時(shí)，當(dāng)覺(jué)得從正向思維解決比較復(fù)雜或困難時(shí)，應(yīng)當(dāng)變換思路，比如運(yùn)用倒推法可能找到問(wèn)題的關(guān)鍵和突破口，進(jìn)而比較容易地解決問(wèn)題。通?？梢詮慕Y(jié)論出發(fā)，根據(jù)運(yùn)算的互逆性質(zhì)，由后往前一步一步進(jìn)行倒推，下面舉例僅作思路分析。

例1 設(shè)f（x）在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)二階可導(dǎo)，連接A（a，f（a））和B（b，f（b））的線(xiàn)段與曲線(xiàn)y=f（x）相交于C（c，f（c））（a

分析：從所要證明的結(jié)論出發(fā)來(lái)思考，結(jié)論是證明在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ使f″（ξ）=0，應(yīng)當(dāng)考慮對(duì)一階導(dǎo)函數(shù)用羅爾定理，由于A(yíng)（a，f（a））、B（b，f（b））、C（c，f（c））三點(diǎn)共線(xiàn)，有f（c）-f（a）c-a=f（b）-f（c）b-c=f（b）-f（a）b-a=KAB（KAB為AB的斜率），又因?yàn)閒（x）在a，c及c，b上均滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件，則：

f′（ξ1）=f（c）-f（a）c-a（a<ξ1

f′（ξ2）=f（b）-f（c）b-c（c<ξ2

故對(duì)f′（ξ）在ξ1，ξ2上應(yīng)用羅爾定理：f″（ξ）=0，ξ∈（ξ1，ξ2）（a，b）。

例2 證明：當(dāng)0

分析：從結(jié)論出發(fā)將其形式變?yōu)椋?π

通常證明不等式可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性作F（x）=sinxx，x∈（0，π2），

則F′（x）=xcosx-sinxx2=（x-tanx）cosxx2<0，

所以函數(shù)F（x）在（0，π2）上單調(diào)遞減，于是limx→π2sinxx

即2π

本題證明采用了構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，類(lèi)似于證明幾何問(wèn)題中添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造輔助函數(shù)的方法是高等數(shù)學(xué)證明中經(jīng)常采取的技巧，它起著化復(fù)雜為容易、化未知為已知的橋梁溝通作用，通常利用要證明問(wèn)題的結(jié)論形式來(lái)進(jìn)行輔助函數(shù)的構(gòu)造。

（二） 反證法

運(yùn)用反證法證明問(wèn)題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)假設(shè)在原命題的條件下，結(jié)論不成立，即一定要用到“反設(shè)”，然后推導(dǎo)出與題設(shè)條件或已知結(jié)論明顯的矛盾結(jié)果，從而說(shuō)明假設(shè)不成立，原命題方可得證。所要注意的是在用反證法證明問(wèn)題時(shí)，若所要證明的命題結(jié)論只有一種情況，則只要將這種情況駁倒，這種反證法又可稱(chēng)為“歸謬法”；若命題結(jié)論有多種情況，那么則須將所有的反面情況全部駁倒，才能推斷出原結(jié)論成立，這種反證證法又稱(chēng)為“窮舉法”。下面例子有兩個(gè)結(jié)論，分別用直接證法和反證法。

例3 正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1un，

（1）若存在收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1vn，且自某項(xiàng)開(kāi)始后有un≤vn，則級(jí)數(shù)∑∞n=1un也收斂；

（2）若存在發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1vn，且自某項(xiàng)開(kāi)始后有un≥vn，則級(jí)數(shù)∑∞n=1un也發(fā)散。

先證結(jié)論（1）：設(shè)級(jí)數(shù)∑∞n=1vn=σ，其部分和為σn，由于前有限項(xiàng)不改變級(jí)數(shù)的斂散性，故不妨設(shè)自第一項(xiàng)開(kāi)始就有un≤vn，則級(jí)數(shù)∑∞n=1un的部分和

Sn=u1+u2+…+un≤v1+v2+…+vn-1=σn（n=1，2，…），

由于級(jí)數(shù)∑∞n=1vn收斂，由基本定理

再證結(jié)論（2）：（反證法）設(shè)存在發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1vn，且自某項(xiàng)開(kāi)始后有un≥vn，但級(jí)數(shù)∑∞n=1un收斂，由（1）知正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1vn收斂，與已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞n=1vn發(fā)散矛盾，故假設(shè)不成立，即級(jí)數(shù)∑∞n=1un也發(fā)散。另外，從數(shù)學(xué)命題來(lái)看，原命題與逆否命題同真同假，本題結(jié)論1與結(jié)論2互為逆否命題。這個(gè)思路同樣可用于思考學(xué)習(xí)冪級(jí)數(shù)過(guò)程中阿貝爾定理證明的第二部分。

三、 結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)遇到問(wèn)題使用正向思維產(chǎn)生困惑與障礙時(shí)，可以變換思路運(yùn)用逆向思維來(lái)解決，突破順向思維中的定勢(shì)，養(yǎng)成多種思維的靈活性，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力。

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作者簡(jiǎn)介：

熊淑艷，湖北省武漢市，湖北工業(yè)大學(xué)。