帶周期邊界的時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的差分格式

張會琴，汪志波

（廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510520）

近年來，隨著分?jǐn)?shù)階偏微分方程(FDEs)的研究受到越來越多的關(guān)注，證實(shí)了帶分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的模型比傳統(tǒng)的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型能更精確地描述科學(xué)與工程領(lǐng)域中的系統(tǒng)現(xiàn)象. 目前 FDEs已應(yīng)用于許多方面，如電磁學(xué)[1]、經(jīng)濟(jì)學(xué)[2]、資產(chǎn)期權(quán)[3]、物理學(xué)[4]等. 求解FDEs有多種方法，對于具有簡單邊界條件的偏微分方程，解析解可以通過分離變量法[5]或Laplace[6]變換得到. 但因問題的復(fù)雜性，多數(shù)解析解難以求出，因此研究FDEs數(shù)值解顯得非常必要.

對于時間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值計算，目前已有不少研究成果. 其中L1式是時間Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的一個常用近似，具體可以參見文獻(xiàn)[7-12]了解更多關(guān)于L1近似的應(yīng)用信息. 文獻(xiàn)[8]中利用時間有限差分方法和空間勒讓德光譜法，建(立了)有限分差格式. Cui[9]給出了方程的一個具有O τ+h4精度的緊格式. 在文獻(xiàn)[10-11]研究了一個具有非線性源項的修正異常時間分?jǐn)?shù)階慢擴(kuò)散方程，提出了一階時間精度和四階空間精度的有限差分格式. 基于Grünwald-Letnikov近似，Yuste和Acdido[13]構(gòu)造了分?jǐn)?shù)階微分方程的顯式差分格式，并利用馮諾依曼方法研究了穩(wěn)定性. 而Zhuang等[14]用能量法和隱式數(shù)值方法研究異常子滲流方程的穩(wěn)定性及收斂性. 近來，Alik hanov[15]提出了一個新的數(shù)值推導(dǎo)公式—— L2-1σ公式，在一個特殊的點(diǎn)上近似Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù). 文獻(xiàn)[15]和[16]構(gòu)造了一種求解二維時空分?jǐn)?shù)階微分方程的高階格式.

然而，上述工作均涉及常系數(shù)分?jǐn)?shù)階方程，通常為復(fù)雜模型的簡化模型，而很多實(shí)際問題常用變系數(shù)方程來描述，如文獻(xiàn)[17-20]. 因此研究變系數(shù)問題顯得非常重要. 基于 L2-1σ離散公式，本文考慮帶變系數(shù)的次擴(kuò)散方程(見式(1))，并嚴(yán)格分析該差分格式的穩(wěn)定性及收斂性.

方程(1)為滿足如下周期邊界條件的解:

其中 K(x),P(x),Q(x) 足夠光滑，并且滿足 K(x)＞0,Q(x)＜0. Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義:

本文構(gòu)局如下:第2節(jié)，基于文獻(xiàn)[15]中所提出的L2-1σ離散公式，構(gòu)建了有限差分格式；第3節(jié)，證明該差分格式的唯一可解性，并給出局部截斷誤；第4節(jié)，用Fourier方法研究了該格式的穩(wěn)定性和收斂性；第5節(jié)中給出了一些與理論分析一致的數(shù)值結(jié)果；最后得出簡要結(jié)論.

1 差分格式的建立及分析

給定正整數(shù)N,M,記τ=T/N,h=L/M,時間方向的網(wǎng)格剖分為Ωτ={tn=nτ,0≤n≤N}.記 Vτ={v|v=(v0,v1,···,vN)}，為定義在Ωτ上的網(wǎng)格函數(shù)空間. 對任意v∈Vτ，空間上的網(wǎng)格剖分為Ωh={xi|0≤i≤M}.記Vh={u|u=(u0,u1,···,uM)}為 定義在 Ωh上網(wǎng)格函數(shù)空間. 考慮到周期邊界條件有.

它的定義符合

當(dāng)0 ＜γ ＜1,u(x)∈C2[0,T]時，

其中

引理1 假設(shè) U(x)∈C6[xi-2,xi+2]，定義如下3個算子H1,H2,H3,通過Taylor展式運(yùn)算得:

引理2 根據(jù)文獻(xiàn)[17-19]，假設(shè)0 ＜γ ＜1, u(t)∈C2[0,T],則有

基于式(5)和(6)，可以很容易得到該差分格式的截斷誤差為O(τ2+h2).

2 差分格式的唯一可解性

在這一部分，用Fourier方法討論差分格式(7)是唯一可解的. 首先給出一些Fourier的定義，定義νn+1(x),zn+σ(x) 為具有周期為L 的2個周期函數(shù)，其中[0,L]為它們的周期:

由Fourier 級數(shù)，定義?和?如下:

其中

定義 L2范數(shù)為

根據(jù) Parseval 等式可以得到如下等式:

現(xiàn)開始證明差分格式(7)的唯一可解性，先不考慮周期邊界問題，通過計算，差分格式(7)可以等價為如下形式:

其中定義

將通過Taylor展式運(yùn)算得到的式(4)代入式(9)中，通過計算，可以得到：

由Fourier 級數(shù)的定義和式(8)，得到如下方程:

其中定義

通過進(jìn)一步計算求出

由式(10)和式(11)可以推算得到

有次去，剃頭師傅不在，店鋪里空著，沒有人，就往后面的院子里走，邊走邊問可有人，這時出來一個胖胖的婦人，問我找誰。

將式(12)的兩邊同時乘以e-βxj， 再0到L積分，可以得到

為了證明差分格式(7)是唯一可解的，只需要證明下面方程是唯一可解即可:

因?yàn)镵i＜0,Qi＜0，且y1不隨cos(βh)遞增，所以求出y1＜0. 因此由式(14)可以得到

3 差分格式的穩(wěn)定性分析

這一部分分析差分格式 (7)的穩(wěn)定性和收斂性.

定理1 對于方程(13)可以得到:

證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明方程(16):當(dāng)n =0， 基于式(13)， 可以得到

因此(16)對于0 ,1,2,···,n-1均 成立，現(xiàn)在討論n 時

定理1證畢.

定理2 結(jié)合方程(16)，可證差分格式收斂，即式(17)的估計成立.

證明 根據(jù)定理1和 Minkowski 不等式可以推測:

結(jié)合Parseval等式，證明( 17)成立.

證明 由誤差方程可以得到

根據(jù)之前的分析和定理3可以得到:

其中

定理2證畢.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)考慮了帶空間變系數(shù)的時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的周期函數(shù)問題，算例驗(yàn)證了差分格式 (7)對Dirichelet邊界值的周期函數(shù)問題的有效性. 記

時間方向和空間方向的收斂階分別為 Rateτ,Rateh:

當(dāng)計算時間方向的收斂階Rateτ時，我們要求h 足夠小使得空間方向的誤差不影響整體誤差. 反之，當(dāng)計算空間方向的收斂階Rateh時，我們要求τ足夠小.

首先用差分格式(7)計算有已知精確解的問題(1)～(3)以驗(yàn)證理論結(jié)果.

例1 在[0,1]×[0,1]上考慮問題(1)～(3)精確解.

系數(shù)

源項

表1 h=1/1 500時間方向上的數(shù)值收斂階Tab.1 Numerical convergence orders in temporal direction with h=1/1 500

5 結(jié)論

本文主要研究帶空間變系數(shù)的時間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的差分方法. 時間方面應(yīng)用 L2-1σ離散公式以達(dá)到二階精度，空間方面采用二階差分格式. 證明了該差分格式的無條件穩(wěn)定性和收斂性，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證理論結(jié)果.

表2 當(dāng)h=1/1 500, γ=0.5時，空間方向上的數(shù)值收斂階Tab.2 Numerical convergence orders in spatial direction with h=1/1 500, γ=0.5