自錨式獨(dú)塔懸索橋豎向彎曲振動基頻估算公式

郭 俊，劉勝紅，高 嵩，蔡林真

(云南云路工程檢測有限公司，云南 昆明 655600)

獨(dú)塔自錨式懸索橋具有造型優(yōu)美、觀賞效果極佳等特點(diǎn)，是一種在城市市區(qū)或風(fēng)景區(qū)等對景觀要求較高地方具有競爭力的橋型。獨(dú)塔自錨式懸索橋固有振動特性研究是分析該體系動力特性的基礎(chǔ)[1-6]。

由于自錨式懸索橋是將主纜錨固在加勁梁上，此時(shí)加勁梁將承受較大軸向壓力，故將導(dǎo)致其與地錨式懸索橋動力特性存在著較大差異[7-8]。王志誠[9]在考慮主塔剛度影響與否下，分別推導(dǎo)了帶有外伸梁的雙塔自錨式懸索橋豎向振動基頻估算實(shí)用公式；張超等[10]采用Rayleigh法，在計(jì)入主塔剛度影響下，以三塔自錨式懸索橋?yàn)檠芯繉ο螅茖?dǎo)了該體系豎向彎曲振動基頻計(jì)算式；文獻(xiàn)[11]所給出的振動基頻估算式僅只針對地錨式懸索橋，而并未給出自錨式獨(dú)塔懸索橋振動基頻估算公式；王玉田等[12]以青島海灣橋?yàn)檠芯繉ο螅捎糜邢拊治鰧ζ溟_展了動力特性研究。

上述研究成果表明：學(xué)界對對稱自錨式獨(dú)塔懸索橋動力特性研究較少[13-14]。故筆者采用Rayleigh法，推導(dǎo)了豎向彎曲振動基頻實(shí)用公式，可用于該體系橋梁在初步設(shè)計(jì)階段選擇合理的結(jié)構(gòu)參數(shù)或校核有限元計(jì)算結(jié)果。

1 豎向彎曲頻率計(jì)算

1.1 勢 能

自錨式獨(dú)塔懸索橋在鉛垂平面豎彎振動時(shí)的勢能分為主纜、加勁梁及主塔勢能的總和。橋跨布置立面如圖1。

圖1 橋跨立面布置

主纜內(nèi)力變化引起的彈性勢能Uce如式(1)：

(1)

式中：Ec、Ac分別為主纜的彈性模量及橫截面面積；Hi為第i跨主纜水平分力增量；ls1、ls2分別為主纜虛擬長度；f1、f2分別為主纜垂度；θ1、θ2分別為主纜水平傾角。

主纜重力作用點(diǎn)引起的重力勢能Ucg如式(2)：

(2)

式中：Hq為成橋時(shí)刻主纜水平分力；v為加勁梁豎彎振動時(shí)振型函數(shù)。

加勁梁勢能Ugs如式(3)：

(3)

式中：Eg、Ig分別為加勁梁彈性模量和抗彎剛度。

加勁梁軸向壓縮彈性勢能Uge如式(4)：

(4)

式中：Ag為加勁梁截面積。

主塔勢能Ut如式(5)：

(5)

式中：Sti為第i號主塔縱向單位抗彎剛度。

故自錨式獨(dú)塔懸索橋在鉛垂平面內(nèi)振動時(shí)的總體勢能U如式(6)：

(6)

1.2 動 能

自錨式獨(dú)塔懸索橋在鉛垂平面豎彎振動時(shí)的動能為主纜、加勁梁、主塔及吊索動能總和。

主纜動能Tc如式(7)：

(7)

式中：mc為主纜單位橋長質(zhì)量。

加勁梁動能Ts如式(8)：

(8)

式中：mg為加勁梁單位橋長質(zhì)量。

主塔動能Tt如式(9)：

(9)

式中：mti為第i號主塔質(zhì)量；Ki為第i號主塔抗推剛度。

吊索動能為TH如式(10)：

(10)

式中：mhi為第i號吊索質(zhì)量。

故自錨式獨(dú)塔懸索橋在鉛垂平面內(nèi)振動時(shí)的總體動能Tc如式(11)：

(11)

1.3 頻率計(jì)算

由能量法可得自錨式獨(dú)塔懸索橋豎彎頻率計(jì)算表達(dá)式如式(12)：

(12)

式(12)為獨(dú)塔自錨式懸索橋豎彎基頻能量表達(dá)式，需對其進(jìn)一步簡化。張超等[10]指出：在自錨式懸索橋體系勢能中，主纜勢能和加勁梁勢能在該結(jié)構(gòu)體系勢能中占主導(dǎo)地位；該體系動能中，主纜和加勁梁動能在該體系動能中占主導(dǎo)地位，故式(12)可簡化為式(13)：

(13)

2 變形協(xié)調(diào)條件

自錨式獨(dú)塔懸索橋一階對稱和反對稱豎彎基本振型如圖2。

圖2 一階對稱和反對稱豎彎基本振型

2.1 一階對稱豎彎基本振型及變形協(xié)調(diào)方程

圖3為該體系在一階對稱豎向振動時(shí)的主塔受力情況。

圖3 一階對稱主塔受力示意

由圖3可知：主塔未發(fā)生縱向變形，即主塔兩側(cè)主纜水平增量之差為零，主塔受力平衡方程如式(14)：

H1=H2

(14)

由變形協(xié)調(diào)條件，可得錨跨變形協(xié)調(diào)方程如式(15)：

(15)

由式(14)、(15)可得式(16)：

(16)

2.2 一階反對稱豎彎基本振型及變形協(xié)調(diào)方程

圖4為該體系在一階反對稱豎向振動時(shí)的主塔受力情況。

圖4 一階反對稱主塔受力示意

根據(jù)變形協(xié)調(diào)原理，可得錨跨及主跨變形協(xié)調(diào)方程分別如式(17)、(18)：

(17)

(18)

主塔兩側(cè)主纜水平力增量與主塔變形相互平衡如圖4，其受力平衡方程如式(19)：

H1=H2+Stu

(19)

由式(17)～(19)可求得式(20)：

(20)

3 一階對稱豎彎頻率計(jì)算

加勁梁一階對稱振型如圖2(a)。假設(shè)其外伸跨、錨跨和主跨加勁梁振型函數(shù)分別如式(21)～(23)：

(21)

(22)

(23)

由加勁梁振型函數(shù)滿足變形協(xié)調(diào)條件，則可得式(24)：

(24)

由此可得式(25)～(27)：

ls1)EcAc

(25)

(26)

(27)

將式(25)～(27)代入式(12)，并簡化可得其一階對稱基頻估算表達(dá)式為式(28)：

(28)

4 一階反對稱豎彎頻率計(jì)算

加勁梁一階反對稱振型如圖2(b)。設(shè)外伸跨、錨跨及主跨加勁梁振型函數(shù)分別如式(29)～(31)：

(29)

(30)

(31)

由加勁梁振型函數(shù)滿足變形協(xié)調(diào)條件，可得式(32)：

(32)

由此可得式(33)～(35)：

(33)

(34)

(35)

將式(33)～(35)代入式(12)，并簡化可得其一階豎彎反對稱基頻的估算表達(dá)式如式(36)：

(36)

5 算 例

某橋?yàn)樽藻^式獨(dú)塔懸索橋，其跨徑布置為(80+190+260+80)m，其計(jì)算參數(shù)與文獻(xiàn)[12]一致。該橋計(jì)算參數(shù)及計(jì)算結(jié)果如表1、 2。

表1 計(jì)算參數(shù)

注：E為彈性模量；A為截面積；I為豎向抗彎慣性矩；Q為荷載集度。

表2 解析解與文獻(xiàn)解計(jì)算結(jié)果比較

算例分析表明：由文中所推導(dǎo)的估算公式計(jì)算得到該體系豎彎基頻與文獻(xiàn)[12]之間存在一定差異，其中一階對稱豎彎之間的誤差僅為5.61%，而一階反對稱豎彎的誤差為11.52%。因此，一階對稱豎彎基頻誤差比一階反對稱基頻誤差要小，其原因在于該結(jié)構(gòu)體系在做低階反對稱豎向振動時(shí)其實(shí)際振型為低階反對稱豎向振動與縱飄振動的耦合振動，而文中解沒有計(jì)入耦合項(xiàng)，即該體系在做振動時(shí)僅僅視為豎向彎曲振動而忽略縱飄振動，從而使得一階反對稱豎彎振動與有限元解存在較大誤差。

6 結(jié) 論

1)計(jì)算獨(dú)塔自錨式懸索橋豎向彎曲振動基頻時(shí)，其動力特性由主纜、加勁梁決定。

2)筆者采用能量法，推導(dǎo)了自錨式獨(dú)塔懸索橋豎彎振動基頻估算公式，可用于該體系橋梁初步設(shè)計(jì)階段中結(jié)構(gòu)參數(shù)的合理選擇或校核有限元計(jì)算結(jié)果。

3)筆者所推導(dǎo)的豎彎振動基頻估算實(shí)用公式僅適用于獨(dú)塔自錨式懸索體系豎彎基頻估算，而不適用于其他支承體系豎彎基頻估算。為進(jìn)一步提高所推導(dǎo)的估算公式計(jì)算精度，在后續(xù)研究中可計(jì)入縱飄振動對豎彎振動的影響，以提高文中推導(dǎo)的估算公式精度。