帶兩個參數(shù)的非均勻三次三角B樣條曲線

汪 凱，張貴倉，王 敏

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帶兩個參數(shù)的非均勻三次三角B樣條曲線

汪 凱，張貴倉，王 敏

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

為了使構(gòu)造的三次三角非均勻B-樣條曲線在具備形狀可調(diào)性、高階連續(xù)性、精確表示橢圓等性質(zhì)的同時還具有變差縮減性，構(gòu)造了一類具有全正性的帶2個參數(shù)的非均勻三次三角B-樣條基函數(shù)，進而進行曲線構(gòu)造。首先假設(shè)待構(gòu)造的非均勻三次三角B-樣條基在每一個節(jié)點處具有2連續(xù)且具有單位性，進而確定基函數(shù)的表達(dá)式；然后給出了基函數(shù)具有全正性等重要性質(zhì)；最后給出了非均勻三次三角B-樣條曲線的定義，并證明了其具有變差縮減性等重要性質(zhì)，還證明了曲線在取特殊參數(shù)值時具有(2n–1)階連續(xù)。實例表明，本文構(gòu)造的曲線有效解決了傳統(tǒng)方法存在的問題，適合于幾何設(shè)計。

非均勻B-樣條；高階連續(xù)性；全正性；參數(shù)；變差縮減性

經(jīng)典B-樣條方法是在保留Bézier方法優(yōu)點的同時，克服了其由于整體表示帶來不具有局部性質(zhì)的缺點以及解決在描述復(fù)雜形狀時帶來的連接問題下提出的。一直以來，B-樣條方法都是計算機輔助幾何設(shè)計(computer aided geometric design，CAGD)的主流方法，但B-樣條方法存在控制頂點確定的情況下，曲線較為固定的不足，雖然曲線曲面的非均勻有理B-樣條(non-uniform rational B-spline，NURBS)解決了該問題，但是其權(quán)因子的問題至今無法解決。為此，針對該類問題，不少學(xué)者提出了帶形狀參數(shù)的擬B-樣條曲線[1-14]，使其在保留傳統(tǒng)B-樣條方法基本性質(zhì)的同時，且具有一定的形狀可調(diào)性。

目前，關(guān)于經(jīng)典B-樣條方法的改進有很多，且以均勻B-樣條為主，但該類方法并未能在幾何造型設(shè)計中得到廣泛的應(yīng)用，其主要存在3點不足：①在多項式空間框架下構(gòu)造的曲線不能精確表示圓錐曲線；②只保留了經(jīng)典B-樣條方法的一些基本性質(zhì)，如幾何不變性、凸包性、仿射不變性等，像變差縮減性、保凸性等重要性質(zhì)往往被忽略；③此類方法大都可以達(dá)到2連續(xù)，且已經(jīng)滿足了大部分的幾何工業(yè)設(shè)計的需要，但對于部分高階連續(xù)的幾何設(shè)計，這些方法就很難達(dá)到其要求了。而改進方法大都只解決了其中1個或者2個問題，未能進行全面考慮。

1 基的定義與性質(zhì)

1.1 基礎(chǔ)知識

1.2 非均勻三次三角B-樣條基的構(gòu)造

對于等距節(jié)點，稱CT-B樣條基B()為均勻CT-B樣條基，相應(yīng)的節(jié)點矢量稱為等距節(jié)點矢量。對于非均勻節(jié)點，稱CT-B樣條基B()為非均勻CT-B樣條基，相應(yīng)的節(jié)點矢量稱為非等距節(jié)點矢量。圖1給出了均勻CT-B樣條基在不同形狀參數(shù)下的圖像。

圖1 均勻CT-B樣條基

由圖1計算可得到如下引理。

(1)a+b0+i0=1；

(2)b1+c1=1；

(3)b2+c2=1；

(4)b3+c3+d=1；

(5)b=c+1,0；

(6)b+2,0=c+1,3；

(7)b+2,3=c+3；

1.3 非均勻CT-B樣條基的性質(zhì)

證畢。

其中，

顯然，基函數(shù)(1)的一階導(dǎo)數(shù)滿足式(3)的形式；

再直接對式(4)進行二次求導(dǎo)，整理可得

2 非均勻三次三角B樣條曲線

2.1 曲線的定義與性質(zhì)

和

則

證明：由定理6和定理7有

2.2 局部調(diào)整性質(zhì)

圖2 CT-B樣條曲線

2.3 橢圓的精確表示

其中，，CT-B樣條曲線可精確表示一個完整的橢圓；當(dāng)時，CT-B樣條曲線可精確表示1個整圓(圖3)。

3 結(jié)束語

[1] 張貴倉, 耿紫星. 三次均勻B樣條曲線的α擴展[J]. 計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報, 2007, 19(7): 884-887.

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Non-Uniform Cubic Trigonometric B-Spline Curve with Two Shape Parameters

WANG Kai, ZHANG Gui-cang, WANG Min

(School of Mathematics and Statistics, Northwest Normal University, Lanzhou Gansu 730070, China)

To make the extended cubic trigonometric non-uniform B-spline curves possess not only shape adjustability, high order continuity, and exact representation of ellipse, but also variation diminishing, a class of non-uniform cubic trigonometric B-spline basis functions based on totally positivity is constructed. Firstly, we assume that the non-uniform cubic trigonometric B-spline basis functions to be constructed have2continuity and partition of unity at each knot, and accordingly the expressions of the basis functions are determined. Then it is proved that the basis functions have total positivity and other important properties. The definition of non-uniform cubic trigonometric B-spline curves are given, and its important properties such as variation diminishing are proved. It is also proved that the curve has(2n–1)order continuity when taking special parameter values. The example shows that the curve constructed in this paper effectively solves the problems existing in the traditional method and is suitable for geometric design.

non-uniform B-spline; high order continuity; totally positivity; parameter; variation diminishing

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2019020395

A

2095-302X(2019)02-0395-08

2018-08-22；

2018-12-18

國家自然科學(xué)基金項目(61861040)；甘肅省科技資助項目(17YF1FA119)；蘭州市科技計劃項目(2018-4-35)

汪 凱(1993-)，男，安徽六安人，碩士研究生。主要研究方向為計算機圖形學(xué)。E-mail：616688448@qq.com