多維路徑與整體溝通
——梯形面積公式推導

□何朝勇

【課前思考】

單元教學序列調(diào)整，使學生在探索三角形、平行四邊形面積公式推導過程中積累了轉(zhuǎn)化經(jīng)驗，充分感知并掌握了圖形面積公式推導的兩種策略——剪拼和倍拼。學生能根據(jù)圖形轉(zhuǎn)化前后的內(nèi)在聯(lián)系學會公式的推理表達。當學生具備這些知識基礎與數(shù)學活動經(jīng)驗后，能否自主將其轉(zhuǎn)化為推導梯形的面積計算公式呢？在推導過程中，學生可能會使用哪些轉(zhuǎn)化策略，能否實現(xiàn)梯形面積公式的意義性建構(gòu)？如何幫助學生溝通梯形、三角形、平行四邊形之間的聯(lián)系，進一步形成面積公式推導的整體方法意識？

一、激活經(jīng)驗，明確基本思路

學生在三角形、平行四邊形面積公式推導過程中積累的經(jīng)驗和策略，為其自主推導“梯形面積公式”創(chuàng)造了條件。在教學中可通過對三角形、平行四邊形面積公式推導過程的回顧（如圖1），凸顯圖形之間的聯(lián)系，點擊圖形轉(zhuǎn)化的兩種策略，激活學生已有的活動經(jīng)驗，明確推導“梯形面積公式”的基本思路為：轉(zhuǎn)化圖形—尋找聯(lián)系—推導公式。

圖1

二、操作交流，實現(xiàn)意義建構(gòu)

梯形面積公式的意義性建構(gòu)是本課教學的重點，也是教學的難點。教學中，教師可把梯形視為一個組合圖形（如圖2）來探索解決，為學生提供充分的探究材料（一個或多個梯形，告知四邊及高的長度），鼓勵學生用個性化思維探索梯形面積計算方法。呈現(xiàn)多種轉(zhuǎn)化方法并非目的，更重要的是通過操作、交流、比較、概括等數(shù)學活動，歸納梯形面積計算的方法，實現(xiàn)梯形面積公式的意義建構(gòu)。

圖2

三、溝通比較，形成方法意識

作為單元面積公式推導序列教學的最后一個公式，本課除了實現(xiàn)梯形面積公式的意義建構(gòu)外，還有必要對梯形、平行四邊形、三角形的面積計算公式進行整體溝通，通過三者間的變化關(guān)系（如圖3），實現(xiàn)面積公式的整體架構(gòu)。

圖3

通過溝通，力求讓學生進一步形成面積公式推導的整體方法意識：推導圖形面積計算公式時，都可以將新圖形轉(zhuǎn)化成舊圖形，將未知轉(zhuǎn)化成已知，進而解決新問題。

【教學實踐】

一、回顧舊知，激活化歸思想

師：我們已經(jīng)研究了三角形、平行四邊形的面積，還記得我們是怎么推導它們的面積公式的嗎？

（學生回答略）

師：研究的思路都是把新圖形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的有公式的舊圖形，根據(jù)圖形之間的聯(lián)系推導出面積公式。今天我們來研究“梯形面積公式”，你打算怎么研究？

生：用剪拼、倍拼、分割等方法，轉(zhuǎn)化成學過的圖形。

二、自主探索，體驗化歸思想

師：請你嘗試用某一種方法，把梯形轉(zhuǎn)化成學過的圖形，并計算它的面積。

（為每一位學生提供1 個梯形，已知上底3cm，下底7cm，高4cm）

學生獨立探索或組內(nèi)合作，教師巡視、搜集學生作品。

三、反饋交流，展示不同方法

學生使用的主要有三類方法：

（1）分割，求面積和。如圖2中的①，列式：7×4÷2+3×4÷2=20cm2

（2）補拼（含倍拼），求面積差。如圖2中的⑥，列式：7×4-4×4÷2=20cm2

（3）剪拼，等積變形。如圖2中的⑨，列式：（7+3）×4÷2=20cm2

小結(jié)：方法不同，相應的算式也不同，但計算的結(jié)果是一致的。

四、方法比較，嘗試表征公式

師：請仔細觀察這些算式中，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：都用到了上底、下底、高這幾個數(shù)據(jù)，和腰無關(guān)。

師：如果用字母a表示上底，b表示下底，h表示高，請你根據(jù)自己的轉(zhuǎn)化方法，表示梯形面積計算公式。

學生獨立表示梯形面積計算公式。

五、反饋交流，概括提煉公式

生：我覺得“S梯形=a×h÷2+b×h÷2”。

生：根據(jù)我的方法，應該這樣求梯形面積，“S梯形=a×h+(b-a)×h÷2”。

生：我認為“S梯形=(a+b)×h÷2”。

師：方法不同，公式也不同，你們覺得哪個最簡潔？

生：S梯形=(a+b)×h÷2。

師：其實，其他公式運用運算定律后也可以轉(zhuǎn)化成“S梯形=(a+b)×h÷2”。比如“S梯形=a×h÷2+b×h÷2”，運用乘法分配律就可以轉(zhuǎn)化成“S梯形=(a+b)×h÷2”，其他的方法也都可以，大家可以在課后嘗試一下。

多媒體課件呈現(xiàn)三個梯形，討論：這幾個梯形是否也可以采用剛才的方法計算面積？

生：它們也可以用剛才的方法進行轉(zhuǎn)化，都可以用“S梯形=(a+b)×h÷2”進行計算。

六、比較溝通，把握內(nèi)在聯(lián)系

（多媒體課件逐個呈現(xiàn)圖4 中的圖形，并讓學生計算各自的面積。單位：cm）

圖4

出示①②兩個梯形后，提問：想一想，下一個圖形可能是怎樣的？

生：上底1，下底9，高4。

師：繼續(xù)變，下一個又會是怎樣的圖形？

生：上底是0，變成三角形了。

師：你會計算三角形的面積嗎？

生：10×4÷2=20。

生：我們可以把三角形看作是上底為0的特殊

梯形，（0+10）×4÷2=20。

（出示⑤號圖形）

師：你會求它的面積嗎？

生：（4+6）×4÷2=20。

師：想一想，繼續(xù)變化，會變成什么圖形？怎樣求它的面積？

生：會變成平行四邊形，5×4=20（出示⑥號圖形）。

生：也可以把平行四邊形看作特殊的梯形，（5+5）×4÷2=20。

師：梯形的面積公式很厲害，用它還能求三角形、平行四邊形的面積。

七、梳理總結(jié)，形成方法意識

師：這個單元我們研究了三角形、平行四邊形、梯形的面積計算公式，在研究方法上有什么共同點？

生：都是把新圖形轉(zhuǎn)化成舊圖形，根據(jù)它們之間的聯(lián)系推導公式的。

師：把新知轉(zhuǎn)化成舊知是一種非常重要的思想方法。如果今后遇到一種新圖形或更加復雜的圖形，你打算怎樣求它的面積？

生：把新圖形轉(zhuǎn)化成學過的圖形，根據(jù)聯(lián)系推導公式，再運用公式求面積。

生：也可以用分割、剪拼、補拼等方法，求面積和或面積差。

【教學反思】

在面積公式推導新序列的課程中，學習的關(guān)鍵在于把梯形視為組合圖形進行自主探究、溝通聯(lián)系，實現(xiàn)面積公式的意義性建構(gòu)。學生在此過程中進一步感受轉(zhuǎn)化、極限、等積變形等數(shù)學思想方法，感知研究圖形面積問題的一般路徑。

一、順延思路，悟思想方法

在之前的探究過程中，學生較好地積累了研究圖形面積問題的基本方法和策略。本課通過對三角形、平行四邊形面積公式推導過程的回顧，有效激活學生已有的知識基礎和活動經(jīng)驗，順延研究圖形問題的思路，引導學生自主推導梯形面積公式。在我區(qū)兩所學校的教學實踐中，我們發(fā)現(xiàn)按照這一序列，95%以上的學生能把梯形視為一個組合圖形，采用一種甚至多種策略進行“轉(zhuǎn)化“，并能根據(jù)圖形間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)梯形面積公式的個性化建構(gòu)，統(tǒng)計如表1。

表1

從表1 可以看出，學生已初步形成“把新圖形轉(zhuǎn)化成舊圖形”這一意識，并較好地掌握了剪拼、倍拼等轉(zhuǎn)化方法。其中采用“把梯形分割成2個三角形”“2個梯形倍拼成平行四邊形”這兩種方法的人數(shù)較多，說明學生首選的轉(zhuǎn)化目標就是三角形、平行四邊形。采用剪拼法進行轉(zhuǎn)化的比例看似不高，但實際上卻是很多學生的首選方法，只不過有一部分學生因為不會找中位線而改變方法。更可喜的是，部分學生具備了策略調(diào)整意識，當他們發(fā)現(xiàn)在梯形上方拼補三角形，雖然實現(xiàn)了圖形的轉(zhuǎn)化，但卻難以計算梯形面積時，他們會調(diào)整在右側(cè)拼補三角形，把梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形。可見，學生能順延研究三角形、平行四邊形面積的思路探究梯形面積公式，更利于轉(zhuǎn)化思想的落地。

二、多維路徑，促意義建構(gòu)

把梯形視為組合圖形，讓學生自主探究其面積公式的過程亦是開拓學生思維的過程。用不同的方法進行探究，不僅有助于提升學生的創(chuàng)新意識，還能發(fā)展學生的分析問題能力。我們選擇1 個梯形作為材料，讓學生嘗試計算它的面積，學生的轉(zhuǎn)化思路不同，相應的計算方法也不同。學生介紹個性化的方法，不僅是對自己探究成果的梳理，更開闊了他人的思維。

多維路徑，看似給公式的提煉增加了難度，實則非常有必要。其一，學生能完成對梯形面積公式的個性化意義建構(gòu)，遠比“用一個冰冷的公式求面積”更具價值；其二，不同方法相同結(jié)果，雖然殊途同歸，但解決問題過程的繁雜程度差異很大，這恰恰凸顯了公式提煉的必要性。

三、整體溝通，強方法意識

將梯形和三角形、平行四邊形的面積公式及研究方法進行整體溝通，有助于學生對公式的內(nèi)化理解，進一步形成圖形面積公式推導的方法意識。我們在教學中安排了兩次溝通：首先，通過以題組練習的形式，對梯形、平行四邊形、三角形的面積計算公式進行溝通，幫助學生感知三角形、平行四邊形都可以看成特殊梯形的理念，打通三者之間的聯(lián)系。其次，通過“在研究方法上有什么共同點？”“遇到一種新圖形或更加復雜的圖形，你打算怎樣求它的面積？”這兩個問題，幫助學生進一步形成整體方法意識，即探究不同圖形的面積公式時，都可以將新圖形轉(zhuǎn)化成舊圖形，將未知轉(zhuǎn)化成已知。

教學中，將三者的面積公式進行溝通，有助于學生感知極限思想，可以使單元課之間有所呼應。同時，通過推導面積公式過程的溝通，有助于學生進一步感知研究圖形面積問題的一般路徑，為后續(xù)探索組合圖形面積及圓面積公式做準備。