應(yīng)用推廣與關(guān)系梳理
——平行四邊形面積公式探索

□方巧娟

【課前思考】

在國(guó)內(nèi)教材“多邊形面積”單元中，“平行四邊形的面積”被編排為單元教學(xué)的第一課時(shí)。研究團(tuán)隊(duì)所構(gòu)建的單元面積公式推導(dǎo)序列，將“平行四邊形的面積”安排在“三角形的面積”之后，學(xué)習(xí)路徑發(fā)生了較大的變化。那么，這節(jié)課的調(diào)整在單元教學(xué)中有哪些優(yōu)勢(shì)呢？

一、豐富經(jīng)驗(yàn)，分散學(xué)習(xí)難點(diǎn)

“平行四邊形的面積”作為第一課時(shí)，轉(zhuǎn)化時(shí)只需思考如何將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)單一，而教學(xué)難點(diǎn)卻很集中。難點(diǎn)一，面積與周長(zhǎng)概念混淆，學(xué)生用周長(zhǎng)公式求面積；難點(diǎn)二，平行四邊形形似長(zhǎng)方形，學(xué)生容易混淆鄰邊與長(zhǎng)寬的概念，會(huì)用鄰邊相乘求面積；難點(diǎn)三，平行四邊形中的底和高沒(méi)有顯性呈現(xiàn)，概念需要提示；難點(diǎn)四，底高與長(zhǎng)寬對(duì)應(yīng)困難。

安排在“三角形的面積”學(xué)習(xí)之后，豐富了轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，開(kāi)闊了轉(zhuǎn)化思路，教學(xué)難點(diǎn)也得到分散。如面積概念已經(jīng)清晰，底高概念無(wú)須再次提示，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形時(shí)不再出現(xiàn)錯(cuò)誤。此時(shí)，平行四邊形面積公式推導(dǎo)只需在轉(zhuǎn)化方法上應(yīng)用推廣，學(xué)生自主探索空間被有效釋放。

二、順應(yīng)學(xué)情，拓寬推導(dǎo)路徑

在教材原編排序列中，“平行四邊形的面積”只積累了剪拼轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，而到三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形時(shí)，學(xué)生很難自發(fā)從原有的剪拼法向倍拼法轉(zhuǎn)變，若順應(yīng)學(xué)生經(jīng)歷先剪后拼，時(shí)間上又不允許。新構(gòu)建的單元面積公式推導(dǎo)序列，先教學(xué)“直角三角形的面積”積累倍拼和剪拼的經(jīng)驗(yàn)，在“一般三角形面積”中積累分割轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)，為平行四邊形面積轉(zhuǎn)化拓寬路徑。路徑一，通過(guò)剪拼法將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形進(jìn)行推導(dǎo)；路徑二，將平行四邊形分割為兩個(gè)三角形進(jìn)行推導(dǎo)。這樣的學(xué)習(xí)路徑不僅順應(yīng)了學(xué)生的學(xué)情，也發(fā)展了學(xué)生的求異思維和發(fā)散思維，還為后續(xù)學(xué)習(xí)梯形的面積和多邊形的面積奠定了方法基礎(chǔ)。

三、練習(xí)充裕，騰出教學(xué)時(shí)空

多邊形面積公式推導(dǎo)序列調(diào)整后，“平行四邊形的面積”一課的學(xué)習(xí)難度明顯降低，學(xué)生會(huì)比較輕松地推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式。這樣，教師就可以節(jié)省出更多的時(shí)間去展開(kāi)關(guān)系梳理和針對(duì)練習(xí)等，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好知識(shí)和方法上的準(zhǔn)備。

【教學(xué)實(shí)踐】

一、復(fù)習(xí)引入，揭示課題

1.回顧長(zhǎng)方形和三角形的面積公式。

2.揭示課題：今天這節(jié)課我們要繼續(xù)來(lái)研究“平行四邊形的面積”（板書(shū)）。

二、自主轉(zhuǎn)化，經(jīng)歷公式的推導(dǎo)

1.回顧面積概念，感知方法。

（1）請(qǐng)學(xué)生說(shuō)說(shuō)平行四邊形的面積在哪里，要求平行四邊形的面積，有什么辦法？

（2）學(xué)生提出轉(zhuǎn)化方法，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形或者兩個(gè)三角形。

2.自主探究，初步探究平行四邊形的面積公式。

（1）出示探究單（圖1），請(qǐng)學(xué)生畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)，獨(dú)立探索平行四邊形的面積公式。

圖1

（2）反饋兩種轉(zhuǎn)化方法。

師：說(shuō)一說(shuō)，你轉(zhuǎn)化成了什么圖形？怎么轉(zhuǎn)化的？

生：我把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長(zhǎng)方形，沿高剪下一個(gè)直角三角形，移拼變成了一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：沿高剪拼轉(zhuǎn)化成功，還能沿著其他的高來(lái)剪嗎？

生：可以沿著任意高進(jìn)行剪拼。

學(xué)生作品補(bǔ)充，小結(jié)：也就是說(shuō)我們只要沿著平行四邊形的高將其剪成兩部分，就能拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：還有其他轉(zhuǎn)化方法嗎？

生：我把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)三角形，只要斜著對(duì)折分割開(kāi)就可以了。

3.溝通交流，完成面積的推導(dǎo)。

（1）溝通長(zhǎng)方形面積與平行四邊形面積，推導(dǎo)出平行四邊形面積公式。

指名學(xué)生邊投影邊說(shuō)理：平行四邊形的面積相當(dāng)于長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，長(zhǎng)相當(dāng)于平行四邊形的底，寬相當(dāng)于平行四邊形的高，所以平行四邊形的面積=底×高。

（2）溝通三角形面積與平行四邊形面積，推導(dǎo)出平行四邊形面積公式。

指名學(xué)生邊投影邊說(shuō)理：平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)面積相等的三角形，我們發(fā)現(xiàn)三角形的底就是平行四邊形的底，三角形的高就是平行四邊形的高，因?yàn)槿切蚊娣e等于“底×高÷2”，所以平行四邊形的面積等于“底×高÷2×2”，也就是“底×高”。

4.加深理解，得出結(jié)論。

結(jié)合課件動(dòng)態(tài)演示兩種轉(zhuǎn)化過(guò)程，并跟進(jìn)小結(jié)：同學(xué)們看，雖然兩種轉(zhuǎn)化的方法不同，但轉(zhuǎn)化后的面積都不變。通過(guò)溝通，我們發(fā)現(xiàn)“平行四邊形的面積=底×高”，用字母表示是“S=a×h”。

三、鞏固內(nèi)化

1.計(jì)算下面的平行四邊形面積。

2.選一選。

（1）下面平行四邊形面積正確列式的是（ ）。

A.12×10 B.12×15 C.8×15 D.8×10

①指名學(xué)生選出正確答案，說(shuō)一說(shuō)，你是怎么想的？

②指出求平行四邊形的面積時(shí)要用對(duì)應(yīng)的底和高。

③想象平行四邊形如何轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方形，并動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)。

（2）下面的圖形中，（ ）的面積最大。

A.第一個(gè)圖形 B.第二個(gè)圖形

C.第三個(gè)圖形 D.三個(gè)圖形一樣大追問(wèn)：為什么它們的面積都相等？

生：這兩個(gè)平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成底8 高5 的長(zhǎng)方形。等底等高的平行四邊形，面積相等。

討論：都是四邊形，為什么長(zhǎng)方形的面積可以用鄰邊相乘，而平行四邊形的面積卻不能用鄰邊相乘？

生：長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角，所以長(zhǎng)方形的邊就是高，也就是說(shuō)長(zhǎng)方形的邊和高重疊在一起了。

小結(jié)：因?yàn)殚L(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，長(zhǎng)方形的寬就是它的高，所以長(zhǎng)方形的面積可以鄰邊相乘，“長(zhǎng)×寬”實(shí)際上就是“底×高”。

3.畫(huà)一畫(huà)。

你能畫(huà)出和下面平行四邊形面積一樣的平行四邊形嗎？

反饋交流呈現(xiàn)學(xué)生的不同作品，并呈現(xiàn)學(xué)生的特殊平行四邊形（圖2）。

圖2

討論：特殊平行四邊形，你喜歡怎樣轉(zhuǎn)化？它能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形嗎？怎么轉(zhuǎn)化？

四、課堂小結(jié)（略）

【教學(xué)反思】

實(shí)踐表明，學(xué)生充分調(diào)用了三角形面積學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，有效達(dá)成了本課在面積公式推導(dǎo)序列中“推廣應(yīng)用，關(guān)系梳理”的目標(biāo)定位。主要反映為以下三點(diǎn)。

一、達(dá)成自主轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)應(yīng)用推廣

本節(jié)課，學(xué)生思考的是如何將平行四邊形轉(zhuǎn)化成已知圖形，所以會(huì)自主呈現(xiàn)剪拼轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形和分割轉(zhuǎn)化成三角形兩種路徑，規(guī)避了拉成長(zhǎng)方形的這種錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化。但從兩種推導(dǎo)路徑的選擇來(lái)看，學(xué)生有一定差異。兩個(gè)教學(xué)班80 名學(xué)生，平行四邊形轉(zhuǎn)化路徑選擇數(shù)據(jù)見(jiàn)表1。將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形略多于將平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)三角形。從轉(zhuǎn)化前后圖形之間聯(lián)系和公式推導(dǎo)難度來(lái)看，兩種路徑各有優(yōu)勢(shì)。長(zhǎng)方形，學(xué)生更為熟悉，面積計(jì)算方法也比較簡(jiǎn)單，但轉(zhuǎn)化中長(zhǎng)寬和底高的對(duì)應(yīng)難度更大一些；三角形面積計(jì)算方法略顯復(fù)雜，但轉(zhuǎn)化中面積公式推導(dǎo)更為簡(jiǎn)單。不管學(xué)生選擇哪一種方法，都是在自主思考下順利完成的，實(shí)現(xiàn)了應(yīng)用推廣。

表1

二、特殊圖形補(bǔ)充，突破難點(diǎn)認(rèn)知

學(xué)生接觸最多的是夾角為50°到70°之間的一般平行四邊形，他們很難自主呈現(xiàn)特殊的平行四邊形。為了讓學(xué)生自主呈現(xiàn)特殊的平行四邊形，教學(xué)中教師設(shè)計(jì)了在一組平行線(xiàn)中畫(huà)一個(gè)和原平行四邊形面積一樣的平行四邊形。通過(guò)動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要等底等高，那么任何平行四邊形的面積都是相等的，并呈現(xiàn)特殊的平行四邊形。此時(shí)讓學(xué)生再次進(jìn)行面積推導(dǎo)回顧，既是鞏固內(nèi)化，又是難點(diǎn)突破。學(xué)生會(huì)呈現(xiàn)另一邊剪拼或是三角形分割的方法，通過(guò)“你喜歡哪種推導(dǎo)方式”的追問(wèn)，這一次數(shù)據(jù)（表2）出現(xiàn)了反轉(zhuǎn)。

表2

顯然，當(dāng)學(xué)生在轉(zhuǎn)化中遇見(jiàn)困難或復(fù)雜情形時(shí)，會(huì)選擇更為簡(jiǎn)單的方法。對(duì)于特殊的平行四邊形，沿高剪拼對(duì)學(xué)生的想象和操作有一定難度，而三角形分割方法的使用使得學(xué)生在任務(wù)操作上有了選擇的余地，也為后續(xù)多邊形面積求法中分割成任意個(gè)三角形做好鋪墊。這凸顯三角形作為面積教學(xué)基本圖形的地位。

三、加強(qiáng)溝通聯(lián)系，完成關(guān)系梳理

本課學(xué)習(xí)學(xué)生自主轉(zhuǎn)化并不難，難的是溝通聯(lián)系。教學(xué)中，轉(zhuǎn)化圖形與平行四邊形的公式推導(dǎo)做了多次溝通和聯(lián)系。比如，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬與平行四邊形的底高做溝通聯(lián)系，兩個(gè)三角形的面積和一個(gè)平行四邊形的面積做溝通推導(dǎo)。同時(shí)，加強(qiáng)了平行四邊形和長(zhǎng)方形的面積公式關(guān)系溝通梳理，通過(guò)對(duì)“為什么長(zhǎng)方形的面積可以用鄰邊相乘”的思辨，學(xué)生明晰了平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，感知圖形之間一般與特殊的關(guān)系，真正內(nèi)化和理解了面積公式推導(dǎo)的原理。