“面積公式推導(dǎo)”教學(xué)序列思考與實(shí)踐

□宋煜陽

一、現(xiàn)象檢視與思辨

基本平面圖形面積，課程標(biāo)準(zhǔn)在第一、二學(xué)段分別給出了“探索并掌握長（正）方形的面積公式”“探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式”“探索并掌握?qǐng)A的面積公式”的教學(xué)目標(biāo)要求。相應(yīng)地，國內(nèi)教材就平面圖形面積公式的教學(xué)內(nèi)容編排分為三個(gè)階段：第一階段為長方形面積公式，第二階段為平行四邊形、三角形和梯形面積公式，第三階段為圓的面積公式。其中，第二階段多數(shù)教材以“多邊形面積”為單元，涵蓋三種基本圖形面積公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。這一單元的學(xué)習(xí)，是學(xué)生感悟“轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、落實(shí)邏輯推理等學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體與關(guān)鍵階段。

“多邊形面積”單元編排，國內(nèi)教材都采用了“平行四邊形的面積—三角形的面積—梯形的面積”公式探索的序列，轉(zhuǎn)化的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)路徑為：先從平行四邊形面積公式推導(dǎo)中形成轉(zhuǎn)化思路，學(xué)會(huì)剪拼法（割補(bǔ)為長方形）；再從三角形面積公式推導(dǎo)中重點(diǎn)學(xué)會(huì)倍拼法（用兩個(gè)全等的三角形拼成平行四邊形）；最后重點(diǎn)運(yùn)用倍拼法推導(dǎo)出梯形面積公式。實(shí)際教學(xué)表明，這種轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的學(xué)習(xí)路徑存在以下缺陷：

推導(dǎo)方法單一，開放度不高。三種圖形的面積公式推導(dǎo)，都只對(duì)剪拼法或倍拼法的其中一種方法展開主要探索，方法單一。即使部分教材在三角形面積公式推導(dǎo)中對(duì)剪拼法進(jìn)行了補(bǔ)充介紹，也只是加以了解，側(cè)重的依然是倍拼法。

暗示性強(qiáng)，學(xué)生自主探索空間不大。在進(jìn)行平行四邊形、三角形面積公式探索時(shí)，教師往往會(huì)提供或要求學(xué)生自備剪刀、兩個(gè)一樣的三角形等學(xué)具材料，帶有很強(qiáng)的暗示性，削減了學(xué)生自主探索的空間。

轉(zhuǎn)化方法之間切換跨度大，容易產(chǎn)生認(rèn)知混亂?？缍戎皇瞧叫兴倪呅无D(zhuǎn)化為長方形，學(xué)生很難自發(fā)想到剪拼法，缺乏轉(zhuǎn)化的心理準(zhǔn)備和方法準(zhǔn)備?？缍戎侨切无D(zhuǎn)化為平行四邊形，學(xué)生很難自發(fā)從原有經(jīng)驗(yàn)的剪拼法向倍拼法轉(zhuǎn)身。

針對(duì)上述缺陷，也不乏相關(guān)課例就學(xué)習(xí)材料、學(xué)習(xí)路徑改進(jìn)的研究成果。筆者認(rèn)為，本單元的面積公式推導(dǎo)，不能局限于單個(gè)課例的改進(jìn)思考，需要基于轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的激活、形成、應(yīng)用的序列視角對(duì)整個(gè)單元教學(xué)進(jìn)行系統(tǒng)分析。

國內(nèi)教材，一直是把“平行四邊形的面積”作為單元的起始課和轉(zhuǎn)化推導(dǎo)的種子課，甚至讓我們形成了“必須先教學(xué)‘平行四邊形的面積’才可以教學(xué)‘三角形的面積’”的思維定勢。平行四邊形雖然轉(zhuǎn)化思路起點(diǎn)較低，但轉(zhuǎn)化方法單一。而三角形面積公式推導(dǎo)要比平行四邊形復(fù)雜得多，主要體現(xiàn)在富有較大的挑戰(zhàn)空間和轉(zhuǎn)化方法的多樣性上。為此，要實(shí)現(xiàn)單元面積公式探索空間的進(jìn)一步開放，理應(yīng)把“三角形的面積”作為單元起始課和種子課，在第一時(shí)間同時(shí)激活、提煉剪拼法和倍拼法，為后續(xù)其他圖形面積的轉(zhuǎn)化做好方法準(zhǔn)備。

那么，學(xué)生對(duì)三角形面積公式探索又有多少可行性呢？筆者選取了奉化區(qū)某城區(qū)小學(xué)五年級(jí)4個(gè)班150名學(xué)生，分兩組進(jìn)行了不同內(nèi)容和要求的前測。

第一組前測對(duì)象為已經(jīng)學(xué)完“平行四邊形的面積”一課的72名學(xué)生，要求“限時(shí)10分鐘，通過多種方法分別求出方格圖中直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形的面積”。統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，直角三角形采用剪拼法占比88.9%、倍拼法占比48.6%，銳角三角形采用剪拼法（剪拼為長方形或平行四邊形）占比36.1%、倍拼法占比6.9%，鈍角三角形采用剪拼法和倍拼法均為0。數(shù)據(jù)一方面表明，在方格圖支持下，近半數(shù)學(xué)生對(duì)直角三角形能夠采用剪拼法、倍拼法兩種方法進(jìn)行探索；另一方面表明，學(xué)生對(duì)已有的經(jīng)驗(yàn)方法不善于反思提煉和遷移運(yùn)用，如倍拼法沒能從直角三角形遷移到鈍角三角形和銳角三角形。

第二組前測對(duì)象為沒有學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”一課的78 名學(xué)生，要求“限時(shí)3 分鐘，通過多種方法求出方格圖中直角三角形的面積”。統(tǒng)計(jì)結(jié)果為，采用剪拼法（剪拼為長方形）占比46.2%，采用倍拼法（倍拼為長方形）占比44.9%。這組數(shù)據(jù)表明，學(xué)生對(duì)直角三角形轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備較為豐厚，在沒有經(jīng)歷平行四邊形面積公式推導(dǎo)的背景下，能對(duì)直角三角形面積自發(fā)產(chǎn)生較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，自發(fā)呈現(xiàn)剪拼、倍拼兩種轉(zhuǎn)化方法。

從前測分析可以得出，單元面積公式推導(dǎo)先從三角形開始探索是可行的?？紤]到學(xué)生轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)差異和認(rèn)知跨度，三角形的面積教學(xué)建議劃分為“直角三角形的面積”和“一般三角形（銳角三角形和鈍角三角形）的面積”兩課時(shí)，前一課時(shí)重在激活經(jīng)驗(yàn)、提煉方法，為一般三角形的面積探索提供思路與方法；后一課時(shí)重在經(jīng)驗(yàn)積累、形成方法，為平行四邊形、梯形面積探索提供方法應(yīng)用與推廣的支持。

需要補(bǔ)充說明的是，韓國教材和臺(tái)灣地區(qū)教材，面積公式推導(dǎo)序列并非是從平行四邊形開始的，而是先教學(xué)“三角形的面積”，再教學(xué)“平行四邊形的面積”。這一事實(shí)依據(jù)也表明面積公式推導(dǎo)序列是動(dòng)態(tài)的，完全可以基于學(xué)情進(jìn)行單元整合，為公式推導(dǎo)提供更大的探索空間。

二、序列重組與定位

序列重組，是指基于整個(gè)單元，重新編排課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，構(gòu)建單元面積公式推導(dǎo)教學(xué)新序列，優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑，進(jìn)一步提升面積公式探索的自主性與進(jìn)階性。重組后的單元教學(xué)序列，一方面強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)的激活、積累與推廣，另一方面強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化方法的提煉、內(nèi)化與應(yīng)用。

筆者所在的研究團(tuán)隊(duì)，選取人教版教材進(jìn)行了單元序列重組。“多邊形面積”整個(gè)單元共編排了五個(gè)例題，其中前三個(gè)例題分別為平行四邊形、三角形和梯形的面積，后兩個(gè)例題是組合圖形和不規(guī)則圖形的面積。序列重組主要針對(duì)前三個(gè)例題（例1、例2、例3）與配套的三個(gè)練習(xí)（練習(xí)十九、練習(xí)二十、練習(xí)二十一）展開討論，后兩個(gè)例題及相關(guān)練習(xí)均保持不變。

教材序列（以下簡稱原序列），前三個(gè)例題與配套練習(xí)等教學(xué)內(nèi)容一般安排六課時(shí)，其中新授、練習(xí)各為三課時(shí)。序列重組（以下簡稱新序列），保留“平行四邊形的面積”“梯形的面積”課時(shí)內(nèi)容，將原序列“三角形的面積”一課劃分為“直角三角形的面積”和“一般三角形的面積”兩課時(shí)，共計(jì)新授四課時(shí)、練習(xí)兩課時(shí)，總課時(shí)數(shù)依然不變。原序列和新序列的具體課時(shí)內(nèi)容對(duì)照如表1。

表1

新序列有兩個(gè)基本要點(diǎn)：一是剪拼法和倍拼法并重、整體推進(jìn)，將兩種方法在本單元一以貫之；二是選用學(xué)生經(jīng)驗(yàn)最為厚實(shí)的圖形切入公式探索，降低轉(zhuǎn)化方法的認(rèn)知跨度，力求經(jīng)驗(yàn)激發(fā)的自主性和方法形成的進(jìn)階性。

在這一思路下，剪拼法、倍拼法兩種轉(zhuǎn)化方法在學(xué)習(xí)路徑上表現(xiàn)為“起于特殊，成于一般，應(yīng)用于同類”，也即在直角三角形中激活經(jīng)驗(yàn)、提煉方法，在一般三角形中積累經(jīng)驗(yàn)、形成方法，在平行四邊形和梯形中推廣應(yīng)用、整體溝通。

具體到新序列各個(gè)課例的目標(biāo)定位，簡述如下（表2）。需要指出的是，依然保留的“平行四邊形的面積”“梯形的面積”與原序列相比，課時(shí)目標(biāo)發(fā)生了一定變化?！捌叫兴倪呅蔚拿娣e”，除了剪拼法轉(zhuǎn)化，還擴(kuò)充了將平行四邊形分割成兩個(gè)三角形，以三角形面積公式為基礎(chǔ)，通過“底×高÷2×2”推理得出平行四邊形面積公式?！疤菪蔚拿娣e”，視作多邊形面積問題解決，鼓勵(lì)學(xué)生充分運(yùn)用已有面積公式進(jìn)行多種路徑探索，并通過梯形、平行四邊形、三角形圖形之間的變化關(guān)系，溝通三者之間的聯(lián)系，進(jìn)一步形成面積公式推導(dǎo)的整體方法意識(shí)。

表2

續(xù)表

三、實(shí)驗(yàn)研究與啟示

（一）實(shí)驗(yàn)基本情況

1.實(shí)驗(yàn)樣本對(duì)象

寧波市奉化區(qū)兩所城區(qū)小學(xué)，每所小學(xué)各選取五年級(jí)兩個(gè)平行班，其中一個(gè)班為對(duì)照班，一個(gè)班為實(shí)驗(yàn)班。兩所小學(xué)共有對(duì)照班兩個(gè)，學(xué)生78 名（原來學(xué)業(yè)水平合格70名）；實(shí)驗(yàn)班兩個(gè)，學(xué)生79名（原來學(xué)業(yè)水平合格73名）。本次實(shí)驗(yàn)只對(duì)原來學(xué)業(yè)水平合格學(xué)生的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

2.實(shí)驗(yàn)研究方法

以整個(gè)單元為研究周期，選派骨干教師分序列教學(xué)，對(duì)照班采用原序列，實(shí)驗(yàn)班采用新序列。整個(gè)單元教學(xué)結(jié)束后，對(duì)照班和實(shí)驗(yàn)班統(tǒng)一進(jìn)行后測分析。針對(duì)不同學(xué)業(yè)水平等級(jí)的學(xué)生群體差異，研究中把對(duì)照班、實(shí)驗(yàn)班的學(xué)生劃分為合格、良好、優(yōu)秀三個(gè)等級(jí)，其中合格人數(shù)占比15%，良好人數(shù)占比40%，優(yōu)秀人數(shù)占比45%。

3.測查內(nèi)容說明

面積公式推導(dǎo)認(rèn)知水平測查，分為公式應(yīng)用、公式推導(dǎo)再現(xiàn)、新圖形面積探究三個(gè)維度。公式應(yīng)用，側(cè)重考查面積公式程序運(yùn)作、公式變式記憶和底高對(duì)應(yīng)記憶水平；公式推導(dǎo)再現(xiàn)，側(cè)重考查基本圖形公式含義理解、公式推導(dǎo)說理水平；新圖形面積探究，側(cè)重考查新圖形轉(zhuǎn)化方法的類比遷移水平。

（二）實(shí)驗(yàn)結(jié)論與啟示

1.實(shí)驗(yàn)班在公式推導(dǎo)再現(xiàn)維度占據(jù)優(yōu)勢，反映新序列學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)更為厚實(shí)，推理能力得到明顯提升

測查數(shù)據(jù)顯示，對(duì)照班和實(shí)驗(yàn)班在公式應(yīng)用維度沒有明顯差異，但在公式推導(dǎo)再現(xiàn)維度實(shí)驗(yàn)班存在較大優(yōu)勢。

測查題中提供了底6 高4 的三角形，要求學(xué)生畫出“6×4”表示的圖形，并給出這個(gè)三角形剪拼法轉(zhuǎn)化的示意圖（圖1），要求學(xué)生寫出推導(dǎo)過程。學(xué)生推導(dǎo)能力水平劃分為四個(gè)層級(jí)：水平0，錯(cuò)誤或沒作答；水平1，只提到將三角形轉(zhuǎn)化為長方形；水平2，說明三角形的底和長方形的長相等，三角形的高的一半和長方形的寬相等；水平3，完整表達(dá)推導(dǎo)說理過程（圖2為學(xué)生作品）。

圖1

圖2

實(shí)驗(yàn)班優(yōu)勢一，三角形轉(zhuǎn)化的路徑更為多元。畫出“6×4”表示的圖形，反映的是對(duì)三角形倍拼后圖形種類的認(rèn)知。對(duì)照班轉(zhuǎn)化為平行四邊形占比95.4%，長方形占比4.6%；實(shí)驗(yàn)班轉(zhuǎn)化為平行四邊形占比62.5%，長方形占比37.5%。實(shí)驗(yàn)班對(duì)轉(zhuǎn)化的兩種圖形選擇更為均衡。實(shí)驗(yàn)班優(yōu)勢二，三角形剪拼轉(zhuǎn)化的公式推導(dǎo)說理能力水平更高。推導(dǎo)能力水平3，對(duì)照班占比30.0%，實(shí)驗(yàn)班占比57.5%，實(shí)驗(yàn)班優(yōu)勢明顯，近60%的學(xué)生表現(xiàn)了較強(qiáng)的邏輯推理能力。

這兩處優(yōu)勢，都證實(shí)了新序列在公式推導(dǎo)的含義理解、轉(zhuǎn)化路徑和說理水平方面有更為充分而深刻的體驗(yàn)，學(xué)習(xí)路徑得到優(yōu)化。

2.實(shí)驗(yàn)班在新圖形面積探究維度存在優(yōu)勢，反映新序列學(xué)習(xí)發(fā)揮了經(jīng)驗(yàn)遷移的作用，特別是對(duì)低起點(diǎn)的學(xué)生產(chǎn)生較為明顯的影響

新圖形面積探究維度，安排了圓的面積公式推導(dǎo)，要求學(xué)生畫一畫、寫一寫轉(zhuǎn)化和推導(dǎo)的想法。探究能力水平劃分為四個(gè)層級(jí)：水平0，錯(cuò)誤或沒作答；水平1，只提到轉(zhuǎn)化為已學(xué)圖形，沒有轉(zhuǎn)化說明或圖示；水平2，給出圓和正方形或三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)化的圖示，沒有轉(zhuǎn)化說明或說明不清晰；水平3，給出把圓分割成多個(gè)三角形轉(zhuǎn)化的圖示，并有初步推導(dǎo)思路。對(duì)照班和實(shí)驗(yàn)班的整體數(shù)據(jù)如表3，不同學(xué)業(yè)水平等級(jí)的群體數(shù)據(jù)如表4。

表3

表4

表3 顯示，實(shí)驗(yàn)班在整體上要略優(yōu)于對(duì)照班，在水平0的占比上優(yōu)勢較為明顯。從表4可以看出，三個(gè)等級(jí)學(xué)生在水平3上占比基本持平；學(xué)業(yè)水平合格、良好等級(jí)的實(shí)驗(yàn)班學(xué)生，在水平0～水平2 之間有較大幅度提升。分析可知，對(duì)于學(xué)業(yè)水平起點(diǎn)較低的學(xué)生，新序列的學(xué)習(xí)更有利于增強(qiáng)轉(zhuǎn)化意識(shí)，更有利于面積公式推導(dǎo)方法的形成與類比遷移。