《用二分法求方程的近似解》教學(xué)設(shè)計

曾國文

一、教材分析

本節(jié)課關(guān)注學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，從具體到一般去分析方程的根與對應(yīng)函數(shù)零點之間的關(guān)系，再通過實例介紹求零點近似值的“二分法”，滲透“二分法”蘊(yùn)含豐富的算法思想，為算法學(xué)習(xí)做鋪墊。另教材中還希望學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化熏陶，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科興趣，產(chǎn)生探索欲望，推動數(shù)學(xué)的前進(jìn)與發(fā)展，因此還介紹古今中外數(shù)學(xué)家在方程求解方面所取的成就及貢獻(xiàn)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識目標(biāo)：通過實例讓學(xué)生觀察、感悟、體會、理解二分法的概念及二分法定義。

2.能力目標(biāo)：借助現(xiàn)代化的信息技術(shù)，能用二分法求方程的近似解。

3.情感目標(biāo)：體會逼近過程，深化數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等重要數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，感受從特殊到一般這種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿餍轮R方法的價值。

三、教學(xué)重點、難點

重點：通過用二分法求方程的近似解，體會函數(shù)的零點與方程根的內(nèi)在聯(lián)系。

難點：靈活運(yùn)用二分法求給定精確度的方程（超越方程）的近似解。

四、教學(xué)方法

合作探究、知識拓展等。

五、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)回顧，有效引入

1.復(fù)習(xí)：（1）函數(shù)零點的定義；（2）判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法（零點存在定理）。

練習(xí)：求下列函數(shù)的零點：（1）f（x）=3x-4；（2）f（x）=x2-3x+2。

2.引入：我們之前能求解一元一次方程、一元二次方程等，那若碰到f（x）=lnx+2x-6這樣的函數(shù)，則應(yīng)怎樣求解它的零點呢？

分析：上節(jié)課利用判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法判斷出函數(shù)零點的大致區(qū)間是（2，3），原因是，f（2）<0，f（3）>0，怎樣把區(qū)間逐步縮小呢？

（二）科學(xué)探索，真知發(fā)現(xiàn)

1.先看一個具體實例：假若在某城市的A地到B地，距離2000米的路段發(fā)生電路故障，現(xiàn)派一名電工進(jìn)行修理，問：電工應(yīng)采用什么方法能快速準(zhǔn)確找到這個故障點？

甲組：沿路進(jìn)行檢測；

乙組：每隔50米檢測一次，找到所在范圍再沿路檢測；

丙組：先找中點的位置，對兩邊進(jìn)行測量，確定一側(cè)之后再取中點，不斷地測量下去；

經(jīng)過共同分析探討，發(fā)現(xiàn)丙組同學(xué)的方法是最快的，把這樣的思想稱為二分法。

2.進(jìn)一步思考：怎么用二分法求解f（x）的零點呢？這個零點是精確值還是近似解？

我們發(fā)現(xiàn)可以用判斷零點所在區(qū)間的方法判斷，逐步縮小零點所在區(qū)間，得到近似解，為了不無限算下去，我們規(guī)定一個精確度，只要區(qū)間長度小于精確度，那計算就可停止。

3.求解f（x）=lnx+2x-6零點的過程：

第1步：?。?，3）的中點2.5，計算得f（2.5）≈-0.084。

∵f（2.5）<0，f（3）>0，∴f（2.5）·f（3）<0∴零點在內(nèi)（2.5，3）內(nèi)。

第2步：取（2.5，3）的中點2.75，計算得f（2.5）≈0.512，

∵f（2.5）<0，f（2.75）<0，∴f（2.5）·f（2.75）<0∴零點在（2.5，2.75）內(nèi)。

∵（2，3）？勐（2.5，3）？勐（2.5，2.75）

∴零點所在的范圍越來越小，只要重復(fù)以上步驟，則零點的范圍會越來越小。

（三）合作學(xué)習(xí)，探究新知

1.請2位同學(xué)試著概括二分法求近似解的定義及用二分法求函數(shù)f（x）零點近似值的步驟，在學(xué)生總結(jié)基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)形結(jié)合及師生互動共同完成二分法的精準(zhǔn)定義。

2.給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f（x）零點近似值的步驟如下：

（1）確定區(qū)間[a，b]，驗證f（a）·f（b）<0，給定精確度ε，求區(qū)間（a，b）的中點m；

（2）計算f （m）：{1}若f（m）=0，則m為函數(shù)的零點；{2}若f（a）· f（m）<0，則令b=m（零點x0∈（a，m））；{3}若f（m）·f（b）<0，則令a=m（零點x0∈（m，b））；

（3）若a-b<ε，則零點近似值a（或b）；否則重復(fù)以上步驟。

（四）典例講解，鞏固升華

典例：用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確度0.1）

解：原方程2x+3x-7=0，f（x）=2x+3x-7，f（x）在R上為增函數(shù)，且f（1）·f（2）<0，則說明f（x）在（1，2）內(nèi)有零點x0，?。?，2）的中點x1=1.5，計算得f（1.5）≈0.33，因為f（1）·f（1.5）<0，所以x0∈（1，1.5）；再取（1，1.5）的中點x2=1.25，計算得f（1.25）≈-0.87，因為f（1.25）·f（1.5）<0，所以x0∈（1.25，1.5）；同理得x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375）。由于1.375-1.4375=0.0628<0.1，故近似解可取1.4375。

（五）課堂練習(xí)，時效檢測

1.用二分法求函數(shù)f（x）=x3+x2+0.9x-1.5的零點。（精確度0.1）

2.用二分法求方程x=3-lnx的近似解。（精確度0.01）

（六）課堂小結(jié)，明確重點

1.掌握用二分法求方程的近似解的方法，并能在具體問題中加以應(yīng)用；

2.體會函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、逐漸逼近思想。

（七）課后作業(yè)，鞏固提升

{1}P92A組1、3 {2}同步檢測課時訓(xùn)練A級

（八）板書設(shè)計，做好示范

課題《用二分法求方程的近似解》

1.定義：情境引入 思考 復(fù)習(xí)

2.步驟：具體問題 1. 1.零點

用于方程求解近似解 2. 2.零點存在定理

編輯 魯翠紅