數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究

李宏欣

【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)抽象性極高，因此，將數(shù)形結(jié)合思想靈活運(yùn)用，不僅便于解題，而且能激發(fā)學(xué)生想象力以及創(chuàng)新能力，但采用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)必須了解題目本質(zhì)，把握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，將數(shù)學(xué)公式、概念靈活轉(zhuǎn)換成圖形，方能提高解題效率.本文著重講述數(shù)形結(jié)合的概念以及實(shí)例，以期拓展數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué);應(yīng)用研究

新課改背景下，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)增多，且難度加大，解題方式多元化，而數(shù)形結(jié)合的靈活運(yùn)用可以使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)化，以直觀的圖形形式呈現(xiàn)給學(xué)生，以輔助的方式引領(lǐng)學(xué)生探索答案.此方式不僅能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，而且能有效加強(qiáng)思維創(chuàng)新以及想象能力，最關(guān)鍵的是將復(fù)雜的題目大幅簡(jiǎn)化，減輕學(xué)生壓力，增加正確率.

一、數(shù)形結(jié)合的概念以及解決問(wèn)題的對(duì)象

所謂數(shù)形結(jié)合，是指把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，了解問(wèn)題條件以及所需結(jié)果的內(nèi)在聯(lián)系，不僅理解其代數(shù)關(guān)系，還需掌握幾何聯(lián)系，將代數(shù)關(guān)系以空間形式呈現(xiàn)，并從中探索出解題思路，進(jìn)而獲得答案.總而言之，其本質(zhì)在于將代數(shù)問(wèn)題幾何化，抽象問(wèn)題具體化.

目前，數(shù)形結(jié)合思想已廣泛運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)，例如，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何模型，從模型中提取參數(shù)范圍并求解;代數(shù)問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用效果最顯著的問(wèn)題，根據(jù)圖形分析問(wèn)題實(shí)質(zhì)，了解斜率、截距、極值等數(shù)據(jù)，甚至從結(jié)構(gòu)位置關(guān)系判斷代數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求解.

二、數(shù)形結(jié)合方法的意義

1.激活課堂氛圍.數(shù)形結(jié)合屬于偏實(shí)踐性教學(xué)，因此，能夠有效調(diào)動(dòng)學(xué)生情緒，激活課堂氛圍，尤其是針對(duì)理工專業(yè)學(xué)生，愿意探究?jī)?nèi)部規(guī)律，加之男生數(shù)量較多，課堂互動(dòng)性更好，師生溝通更為密切.

2.多領(lǐng)域共同學(xué)習(xí).理工專業(yè)課程也涉及大量高中數(shù)學(xué)知識(shí)，可以根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想從專業(yè)內(nèi)容找到學(xué)習(xí)途徑，例如，物理專業(yè)的積分計(jì)算物體位移、加速度等，或者是區(qū)域累積量問(wèn)題等，均能體現(xiàn)出該方法的優(yōu)勢(shì).

3.激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)導(dǎo)致部分學(xué)生感到沉悶，甚至產(chǎn)生畏難情緒，這是由于他們無(wú)法掌握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，沒(méi)有解題思路.但圖形屬于直觀形式，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，而且相比代數(shù)或者函數(shù)等數(shù)學(xué)內(nèi)容，圖形會(huì)帶給學(xué)生熟悉感，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的解題興趣.

4.提高數(shù)學(xué)分析能力.眾所周知，絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)均為抽象的數(shù)字，而幾何知識(shí)只占據(jù)小部分，但若將數(shù)形結(jié)合思想代入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅將數(shù)學(xué)知識(shí)形式轉(zhuǎn)化，同時(shí)加強(qiáng)學(xué)生的空間想象力，尋求不同的解題方法，腦海中創(chuàng)建問(wèn)題模型，提高數(shù)學(xué)分析能力.

5.通過(guò)實(shí)踐表明，高中院校的數(shù)學(xué)課程經(jīng)常將復(fù)雜的知識(shí)內(nèi)容拆分為細(xì)小單元，找到幾何化思路，激發(fā)學(xué)生自主實(shí)踐能力，從繪畫圖形中尋找問(wèn)題本質(zhì).例如，高中數(shù)學(xué)知識(shí)中包含中值定理，大量的推導(dǎo)公式加深學(xué)生的理解難度，而結(jié)合圖形說(shuō)明中值定理的概念意義并引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題，不僅加強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)降低教師的主體地位，提高學(xué)生的主體地位，進(jìn)而讓學(xué)生擁有克服困難的自信心.

三、結(jié)合實(shí)例來(lái)分析數(shù)形結(jié)合的實(shí)際運(yùn)用問(wèn)題

韋恩圖可以將包含關(guān)系清晰反映出來(lái)，概率問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)遇見集合問(wèn)題，因此，如果我們能夠善于利用韋恩圖梳理問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)而獲得事件概率，則相比傳統(tǒng)的公式推理，復(fù)雜的計(jì)算流程，此數(shù)形結(jié)合手段更加清晰易懂，且便于學(xué)生解決難題，減少運(yùn)算失誤.現(xiàn)以某個(gè)條件概率問(wèn)題為例：

事件A與事件B是樣本空間中兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，現(xiàn)已知P（B）>0，那么我們認(rèn)為：

P（A|B）=P（AB）P（B）為A事件在B事件發(fā)生背景下的條件概率，

根據(jù)此條件我們畫出右圖，假設(shè)樣本空間內(nèi)存在Q個(gè)概率樣本點(diǎn)，事件A占據(jù)X個(gè)點(diǎn)，事件B占據(jù)Y個(gè)點(diǎn)，而事件A與事件B的相交事件占據(jù)Z個(gè)點(diǎn)，那么根據(jù)概率計(jì)算公式我們可知：

P（A）=XQ;P（B）=YQ;

P（AB）=ZQ.

最終可得出當(dāng)事件B已經(jīng)存在的背景下，事件A發(fā)生的概率為

P（A|B）=P（AB）P（B）=YX.

反之，我們可以換種角度思考：如果事件B已經(jīng)發(fā)生，那么B代表B事件不會(huì)發(fā)生，所以我們可以完全排除事件B中的Q-Y個(gè)樣本點(diǎn)，而此時(shí)事件B內(nèi)部的Y個(gè)樣本點(diǎn)僅僅只有Z個(gè)點(diǎn)包含于事件A中，因此，P（A|B）=P（AB）P（B）=YX，換句話說(shuō)，我們?cè)谟?jì)算B事件一定發(fā)生條件下A事件的發(fā)生概率時(shí)的樣本空間大幅縮小.綜上所述，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果我們通過(guò)大量的概率公式不斷推導(dǎo)計(jì)算，學(xué)生不僅難以完全記住基本公式內(nèi)容，而且難以直接證明，但經(jīng)過(guò)圖形對(duì)比，記憶更加容易且解題速度更快，閱卷人也能一目了然，百利而無(wú)一害.

四、結(jié)語(yǔ)

高中數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)知識(shí)的高級(jí)課程，其內(nèi)容更具抽象性.如果將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題，不僅簡(jiǎn)化解題流程，而且加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、提高邏輯思維能力以及減少失誤率，本文以概率問(wèn)題以及數(shù)列極限問(wèn)題為例，詳細(xì)分析數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，以期推動(dòng)數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展.

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