用函數(shù)思想解決面積的最值問題

向興河

【摘要】新課標(biāo)要求學(xué)生通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的基本思想，而函數(shù)思想是各種數(shù)學(xué)思想最重要的思想之一，它是解決面積最值問題最主要、最有效的核心思想.

【關(guān)鍵詞】自變量;取值范圍;解析式;最值;三角形;四邊形;扇形

《數(shù)學(xué)新課標(biāo)（2011版）》要求學(xué)生能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，能確定其自變量的取值范圍，求出函數(shù)值，能結(jié)合對(duì)函數(shù)關(guān)系的分析，對(duì)變量的變化情況進(jìn)行初步討論.求幾何圖形面積的最值問題，正充分考查了學(xué)生用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的能力.因?yàn)檫@類問題往往綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生能力面較廣，所以考查這類問題成了許多命題者的喜好.

用函數(shù)思想解決面積最值問題的步驟可歸納如下：

第一，確定自變量.這一步的關(guān)鍵是選定一個(gè)恰當(dāng)?shù)牧孔鳛樽宰兞縳，它可能是一條線段，也可能是一個(gè)角等.在這里，往往還需要用x去表示另一些與x相關(guān)的量.

第二，確定解析式.求表示面積的函數(shù)表達(dá)式時(shí)，有的采用直接法，即直接用面積公式求;有的采用間接法，即用面積的和或差求.這兩種方法的選擇，需要根據(jù)圖形的特征決定.

第三，確定最值.這主要是在自變量的取值范圍內(nèi)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求面積的最值.

一、求三角形面積的最值問題

如圖1所示，正方形ABCD的邊長為1，E為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，且不與A，B重合，連接ED，過B點(diǎn)作BF∥DE交CD于點(diǎn)F，以CF為邊作正方形CFMN，且點(diǎn)N在BC的延長線上，連接EM，DM，求△EDM面積的最小值.

分析 首先選取恰當(dāng)?shù)淖宰兞?因?yàn)镋是AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以可設(shè)BE為x.再分析△EDM的面積的求法.這時(shí)用三角形面積公式直接求顯然不方便，所以選擇間接法.不難發(fā)現(xiàn)S△EDM=S梯形EBCD+S梯形CNMD-S梯形BNME.而這些梯形的面積都可以用含x的代數(shù)式表示，所以S△EDM關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式就可以求出來，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)解析式就可以求出S△EDM的最小值.

簡(jiǎn)單解析如下：

設(shè)BE=x（0

所以S△EDM=12（x+1）×1+12（1+1-x）（1-x）-12（x+1-x）（1+1-x）=12x2-12x+12，

所以當(dāng)x=12時(shí)，S△EDM最小，最小值為38.

二、求四邊形面積的最值問題

如圖2所示，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10.D是△ABC內(nèi)部或BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合）.以D為頂點(diǎn)作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k>1），EF∥BC.若兩三角形重疊部分的形狀始終是四邊形AGDH.當(dāng)四邊形AGDH的面積最大時(shí)，過A作AP⊥EF于P，且AP=AD，求k的值.

分析 這個(gè)問題的核心是抓住“四邊形AGDH的面積最大”這個(gè)條件，從考慮這個(gè)四邊形的面積入手.不難發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)矩形，矩形的面積=長×寬，用直接法求面積比較合適.但有長與寬兩個(gè)變量，所以關(guān)鍵是用其中一個(gè)量表示另一個(gè)量.不妨設(shè)AG=x，且0

三、求扇形面積的最值問題

半徑為2 cm的⊙O與邊長為2 cm的正方形ABCD在水平直線l的同側(cè)，⊙O與l相切于點(diǎn)F，DC在l上.以正方形ABCD的邊AD與OF重合的位置為初始位置，向左移動(dòng)正方形（如圖3所示），至邊BC與OF重合時(shí)停止移動(dòng)，M，N分別是邊BC，AD與⊙O的公共點(diǎn)，求扇形MON的面積的范圍.

分析 因?yàn)楸绢}涉及的面積是扇形面積，所以應(yīng)從扇形面積的求法入手，于是我們想到扇形的面積公式S扇形=nπr2360.在半徑r一定的情況下，S扇形MON是關(guān)于n的一次函數(shù)，即S扇形MON=π90n，且S扇形MON隨n的增大而增大.所以只需求出n的取值范圍，而n的大小是由∠MON所對(duì)的弦MN的大小確定的.我們知道，當(dāng)MN∥DC時(shí)，MN最小，它等于正方形的邊長2，此時(shí)∠MON最小等于60°;當(dāng)N與F重合或M與F重合時(shí)，MN最大，它等于正方形的對(duì)角線22，此時(shí)∠MON最大等于90°，所以60≤n≤90.然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出扇形面積的取值范圍為23π≤S扇形MON≤π.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張煥煥.高中函數(shù)與方程思想方法學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與教學(xué)滲透策略研究[J].亞太教育，2016（6）：53.