二 次 函 數(shù)最值求解的利器

余旭紅

近幾年中考中，關(guān)于二次函數(shù)最值的求解問題頻頻出現(xiàn)。這類問題應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)解題，分布于填空題、選擇題和解答題。同學(xué)們要學(xué)會(huì)求解二次函數(shù)最值的解題策略，從而靈活解決相關(guān)問題。下面整理了三類關(guān)于二次函數(shù)最大值或最小值問題的解題方法，旨在和同學(xué)們交流探討。

問題一：二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是二次函數(shù)的最大值還是最小值？

例1 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值（用含a的代數(shù)式表示）。

【解析】利用交點(diǎn)式寫出拋物線解析式為y=ax2-2ax-3a，配成頂點(diǎn)式得y=a（x-1）2-4a，那么根據(jù)a的正負(fù)性，確定二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最值。

解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），即y=ax2-2ax-3a。

∵y=a（x-1）2-4a，

∴當(dāng)x=1時(shí)，二次函數(shù)有最值-4a。

當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)有最小值-4a；當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)有最大值-4a。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)最大值或最小值的求解，解題策略是先根據(jù)題目特征用交點(diǎn)式、一般式或頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的解析式，在自變量的取值范圍是任何實(shí)數(shù)的情況下：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＞0時(shí)，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是二次函數(shù)的最小值；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a＜0時(shí)，二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)是二次函數(shù)的最大值。

問題二：二次函數(shù)圖像開口向上，二次函數(shù)有沒有最大值？

例2 已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而增大，且-2≤x≤1時(shí)，y的最大值為9，則a的值為（ ）。

A.1或-2 B.-2或 2 C.2 D.1

【解析】先求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性，得出拋物線開口向上，即a＞0。然后由-2≤x≤1時(shí)，y的最大值為9，可得x=1時(shí)，y=9，即可求出a。

解：∵二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3（其中x是自變量），

∵當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而增大，

∴a＞0，

∵-2≤x≤1時(shí)，y的最大值為9，

∴x=1時(shí)，y=a+2a+3a2+3=9，

∴3a2+3a-6=0，

∴a=1或a=-2（不合題意舍去）。即a=1。

故選D。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的增減性。先利用增減性判斷拋物線的開口向上，再根據(jù)自變量-2≤x≤1，判斷在拋物線的對(duì)稱軸x=-1左側(cè)（即當(dāng)-2≤x≤-1時(shí)），由于y隨x的增大而減小，故當(dāng)x=-2時(shí)，y有最大值為3a2+3；在拋物線的對(duì)稱軸x=-1右側(cè)（即當(dāng)-1≤x≤1時(shí)），由于y隨x的增大而增大，故當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值為3a+3a2+3。比較兩種情況的最大值，得出x=1時(shí)，y的最大值=a+2a+3a2+3=9，從而成功求解。

問題三：如果拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)，如何求二次函數(shù)最大值或最小值?

例3 已知二次函數(shù)y=-（x-h）2（h為常數(shù)），當(dāng)自變量x的值滿足2≤x≤5時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最大值為-1，則h的值為（ ）。

A.3或6 B.1或6 C.1或3 D.4或6

【解析】如圖，分h＜2、2≤h≤5和h＞5三種情況考慮：當(dāng)h＜2時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；當(dāng)2≤h≤5時(shí)，此時(shí)函數(shù)的最大值為0，與題意不符；當(dāng)h＞5時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得出關(guān)于h的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論。

解：當(dāng)h＜2時(shí)，有-（2-h）2=-1，解得：h1=1，h2=3（舍去）。

當(dāng)2≤h≤5時(shí)，y=-（x-h）2的最大值為0，不符合題意。

當(dāng)h＞5時(shí)，有-（5-h）2=-1，解得：h3=4（舍去），h4=6。

綜上所述：h的值為1或6。

故選：B。

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不一定在自變量的取值范圍內(nèi)的情況下，如何求二次函數(shù)的最大值或最小值。利用二次函數(shù)求最大值或最小值問題時(shí)，一定要先求出自變量的取值范圍，再看二次函數(shù)的開口方向。當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)位于自變量范圍內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值；當(dāng)開口向下，頂點(diǎn)不位于自變量范圍內(nèi)時(shí)，要求出端點(diǎn)坐標(biāo)，通過比較端點(diǎn)縱坐標(biāo)大小來確定最大值；當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，也有最大值，直接比較兩個(gè)端點(diǎn)縱坐標(biāo)，大的即為最大值。