基于數(shù)學實驗的初中數(shù)學課例分析

上海師范大學數(shù)理學院(200234) 張慶慶

華東師范大學教師教育學院(200062) 姜浩哲

1 引言

北京師范大學曹一鳴教授認為“數(shù)學實驗是指為了獲取某種數(shù)學理論、檢驗?zāi)硞€數(shù)學猜想、解決某類問題，實驗者運用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學思維活動的參與下，在特定的實驗環(huán)境下進行的探索及研究活動?！彼^“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，在數(shù)學課程中創(chuàng)設(shè)數(shù)學實驗，目的是通過實驗，向?qū)W生展示數(shù)學知識的探究過程，讓學生能夠在數(shù)學實驗中，發(fā)現(xiàn)數(shù)學的美、理解數(shù)學的本質(zhì)、感受數(shù)學的睿智，最終學會運用數(shù)學，以此既能讓學生學得數(shù)學相關(guān)的知識，又能培養(yǎng)探索能力，形成學生的批判性思維。

在初中數(shù)學教學過程中，數(shù)學實驗主要是學生運用相關(guān)教具，結(jié)合思維活動，通過自己的動手以及思考，形成對數(shù)學的認知，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)的活動。孫朝仁學者認為“數(shù)學實驗作為積累‘基本活動經(jīng)驗’的重要載體，在日常的數(shù)學教學中發(fā)揮著不可替代的作用”。

2 數(shù)學實驗的類型

基于已有的數(shù)學實驗分類方式，結(jié)合2015—2018年發(fā)表的10個具有代表性的初中數(shù)學實驗課例分析，從實驗?zāi)康膩砜矗瑪?shù)學實驗可以分為理解型、驗證型和探索型；從實驗工具來看，數(shù)學實驗可以分為實物實驗和計算機實驗。本文將從實驗?zāi)康某霭l(fā)，結(jié)合實驗工具，對10個數(shù)學實驗課例進行具體考察。

2.1 理解型數(shù)學實驗

課例“認識無理數(shù)”是以實物十面骰子以及計算機Excel為工具，讓學生理解無理數(shù)為目的的數(shù)學實驗。教師先讓學生合作擲十面骰子的實驗，將第一個擲出的點數(shù)作為整數(shù)位，其后擲出的點數(shù)依次作為小數(shù)位，并引導學生思考：得到的不斷延伸的小數(shù)有什么特點?是否為無理數(shù)?然后利用Excel估算面積為2的正方形的邊長，培養(yǎng)學生的數(shù)感，學生因此能更加自然地理解無理數(shù)的基本特征。

課例“平移翻折旋轉(zhuǎn)”是以實物透明紙和網(wǎng)格紙為工具，以讓學生理解三種變換方式為目的的數(shù)學實驗。教師通過讓學生在透明紙和網(wǎng)格紙上將原始圖像進行一系列變換之后得到目標圖像的實驗，培養(yǎng)學生的空間觀念，讓學生更好地理解平移、翻折和旋轉(zhuǎn)三種變換方式的基本特征。

課例“平行線的性質(zhì)和判定”是以實物折紙為工具，以讓學生理解平行線的性質(zhì)及判定為目的的數(shù)學實驗。教師用長方形紙條折平行線引入，學生在動手實驗的過程中運用平行線的判定定理來證明自己所折的是平行線；然后一步步深入，如圖1所示，教師給出任意線段EF，引導學生過點P折出EF的垂線，再過點Q折出這條垂線的平行線。學生利用平角的角平分線的性質(zhì)，過點P折疊，使得點E落在線段EF上，所得折痕就是線段EF的垂線；同樣的道理得到過點Q的垂線，利用同位角相等判定平行線。通過折紙實驗，培養(yǎng)學生空間觀念，幫助學生回顧和深刻理解平行線的性質(zhì)和判定。

圖1 過一點折已知線段的垂線

2.2 驗證型數(shù)學實驗

圖2 由四個全等直角三角形拼出的邊長為c或者(a＋b)的正方形

課例“在數(shù)軸上表示無理數(shù)”是以實物圓形紙片以及計算機軟件幾何畫板為工具，以驗證無理數(shù)可以在數(shù)軸上表示為目的的數(shù)學實驗。教師先請學生將一個周長為π的圓形紙片貼在數(shù)軸上滾動一周以求得π在數(shù)軸上的位置，但是滾動過程中存在一些誤差，經(jīng)過大家的討論改進，學生將繩子繞圓形紙片一周，然后將這段長度在數(shù)軸上量出來，初步把無理數(shù)π在數(shù)軸上表示了出來；此時實物驗證的方法會有誤差，學生在教師指導下借助計算機驗證，在幾何畫板上將圓形的滾動軌跡表示在數(shù)軸上，精確得到π的位置。通過實物和計算機實驗，培養(yǎng)了學生的數(shù)感和幾何直觀能力，學生能發(fā)現(xiàn)在數(shù)軸上表示無理數(shù)的方法。

2.3 探索型數(shù)學實驗

課例“反比例函數(shù)”是以實物天平為工具，以重構(gòu)反比例函數(shù)歷史過程為目的的數(shù)學實驗。教師使用了如圖3所示的天平模型，點O是支點，左右兩邊A、B處懸掛重物，為方便理解，將OA的距離設(shè)為acm，OB的距離設(shè)為bcm。A處懸掛的重物質(zhì)量為mg，B處重物質(zhì)量為ng。學生在教師的指導下探究：當a、n不變時，b和m之間的關(guān)系。做完這組實驗后，教師再啟發(fā)學生思考和探究：當a、m不變時，b和n之間的關(guān)系是怎樣的，從而引出反比例函數(shù)。通過天平實驗，培養(yǎng)了學生的模型思想，學生更易接受反比例函數(shù)的概念。

課例“三角形的邊”是以實物牙簽和直尺為工具，以探究三角形三邊不等關(guān)系為目的的數(shù)學實驗。教師引導學生將不同長度的牙簽擺成三角形，然后改變?nèi)切蝺蛇叺拈L度，并讓學生探究第三邊長度的取值范圍。學生發(fā)現(xiàn)牙簽的長度存在誤差，既而調(diào)整為直尺繼續(xù)探究。通過數(shù)學實驗，培養(yǎng)了學生的空間觀念，學生更加了解了三角形三邊的不等關(guān)系。

圖3 天平模型

課例“多邊形外角和”是以實物拼圖和計算機軟件幾何畫板為工具，以探究多邊形外角和為目的的數(shù)學實驗。教師先用三角形、四邊形和五邊形讓學生進行討論和探究，學生借助拼圖，將多邊形外角和拼在一起，發(fā)現(xiàn)合成了一個圓周。為了規(guī)避實物實驗帶來的誤差，學生在教師指導下又用幾何畫板進行驗證，將所有的外角匯聚到一點，得到的也是一個圓周(見圖4)，由此得到多邊形外角和與邊數(shù)無關(guān)，始終為360°。通過數(shù)學實驗，培養(yǎng)了學生的空間觀念和探究精神。

圖4 幾何畫板求多邊形外角和

課例“三角形中位線定理”是以實物折紙為工具，以探究三角形中位線為目的的數(shù)學實驗。教師先以直角三角形(見圖5)引入，讓學生將點A與點C重合，觀察折痕的特性；然后將點B與點C重合，觀察討論折痕的特性；教師在此基礎(chǔ)上引入三角形中位線的定義，而后引導學生折出一般三角形的中位線(見圖6)，探究中位線與第三邊的關(guān)系。通過折紙實驗，培養(yǎng)學生的空間觀念。

課例“二次函數(shù)圖像與性質(zhì)”是以計算機軟件幾何畫板為工具，以探究二次函數(shù)圖像與性質(zhì)為目的的數(shù)學實驗。學生先討論二次函數(shù)y＝ax2(a≠0)中a對函數(shù)圖像變化的影響，然后利用幾何畫板，調(diào)整a的取值，來具體觀察二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律，做成實驗表格進行交流。對于y＝ax2＋k(a≠0)、y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)等不同的形式中的參數(shù)對圖像變化的影響也做同樣的探究。通過數(shù)學實驗，培養(yǎng)了學生的空間觀念。

圖5 直角三角形的中位線

圖6 一般三角形的中位線

3 數(shù)學實驗的特點

根據(jù)數(shù)學實驗的目的、工具等因素，數(shù)學實驗表現(xiàn)出如下特征。

(1)工具性，即使用工具，包括紙張、模型、作圖工具、計算機等進行實驗；

(2)操作性，即實驗必須通過學生動手操作去完成；

(3)情境性，即實驗的設(shè)計與實施必然置于某種情境之中；

(4)探究性，即整個教學過程是一個學生對知識的探究過程。

基于上述特征，我們依次對初中階段數(shù)學實驗課例進行分析。

“認識無理數(shù)”是人教版八年級上冊的內(nèi)容，教科書通過面積為25d m的正方形畫布求邊長引入算術(shù)平方根的概念，繼而引出無限不循環(huán)小數(shù)。數(shù)學實驗課例中，教師通過讓學生合作擲十面骰子，將第一個擲出的點數(shù)作為整數(shù)位，其后擲出的點數(shù)依次寫在小數(shù)位，讓學生思考得到的不斷延伸的小數(shù)有什么特點，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性。學生通過Excel探究面積為2的正方形的邊長，體現(xiàn)了探究性。

“平移 翻折旋轉(zhuǎn)”是人教版初中3年都涉及的知識點，“平移”在7年級下冊，教科書通過幾組在同一直線上的相同的圖形來探究經(jīng)過怎樣的變換得到的；“翻折”在8年級上冊，教科書通過軸對稱圖形引入；“旋轉(zhuǎn)”在9年級上冊，通過鐘表和風扇的旋轉(zhuǎn)引入。數(shù)學實驗課例中，教師通過讓學生用透明紙和網(wǎng)格紙臨摹圖形，找出變換規(guī)律，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性。學生自己通過操作實驗，得到圖形的變換過程，體現(xiàn)了探究性。

“平行線的性質(zhì)和判定”是人教版7年級下冊的內(nèi)容，教科書通過用直尺和三角板畫平行線的方法得到“同位角相等，兩直線平行”。數(shù)學實驗課例中，教師通過讓學生過線段上的一點折該線段的垂線，以及過線段上的另一點折出平行于這條垂線的線段，并且讓學生自己證明為什么平行，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性以及探究性。

“勾股定理的證明”是人教版9年級下冊的內(nèi)容，教科書給出畢達哥拉斯證明法的提示。數(shù)學實驗課例中，教師引導學生用拼圖的方式將4個全等直角三角形拼成邊長為a＋b或者c，學生通過等面積法驗證勾股定理，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性。學生探究拼圖的過程體現(xiàn)了探究性。

“在數(shù)軸上表示無理數(shù)”是人教版8年級下冊的內(nèi)容，教科書上是在利用勾股定理將無理數(shù)在數(shù)軸上表示出來的。數(shù)學實驗課例中，學生通過在數(shù)軸上滾動圓以及用繩子度量圓的周長的方式將無理數(shù)在數(shù)軸上表示出來，并且通過幾何畫板更加精確地驗證這一課題，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性。學生發(fā)現(xiàn)實物實驗的誤差，然后利用計算機實驗的過程體現(xiàn)了探究性。

“反比例函數(shù)”是人教版9年級下冊的內(nèi)容，教科書通過已知路程，平均速度v隨全程運行時間t的變化而變化這一問題引入反比例函數(shù)的概念。數(shù)學實驗課例中，教師通過天平模型，控制一端的重量和到支點的距離，探索另一端重物的重量和到支點的距離之間存在的關(guān)系，引入反比例函數(shù)，體現(xiàn)了工具性、情境性和探究性。因為是教師演示，所以在操作性上略顯不足。

“三角形的邊”是人教版8年級上冊的內(nèi)容，教科書對三角形的定義為“不在同一直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形”，由此引出對三角形三邊不等關(guān)系的探究。數(shù)學實驗課例中，教師讓學生自行利用不同長度的牙簽進行實驗，探索已知兩條線段的長度，第三條線段長度的取值范圍，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性。學生在探究過程中發(fā)現(xiàn)牙簽長度的誤差，調(diào)整為用直尺作為實驗工具，體現(xiàn)了探究性。

“多邊形的外角和”是人教版8年級上冊的內(nèi)容，教科書通過六邊形任何一個外角加上與它相鄰的內(nèi)角等于180°，利用多邊形內(nèi)角和求得六邊形外角和為360°，然后拓展成一般的多邊形。數(shù)學實驗課例中，教師引導學生利用拼圖以及幾何畫板平移外角，驗證得到多邊形外角和始終為360°，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性和探究性。

“三角形中位線定理”是人教版8年級下冊的內(nèi)容，教科書是通過構(gòu)造平行四邊形證明得到三角形中位線平行第三條邊且等于第三條線的一半。數(shù)學實驗課例中，教師引導學生通過折紙，折出三角形中位線，能夠直觀感受到三角形中位線與第三條線的關(guān)系，體現(xiàn)了工具性、操作性、情境性.學生通過數(shù)學證明三角形中位線定理的過程體現(xiàn)了探究性。

“二次函數(shù)圖像與性質(zhì)”是人教版9年級上冊的內(nèi)容，教科書通過描點法畫出二次函數(shù)圖像。在數(shù)學實驗課例中，教師先讓學生進行討論，然后學生借助幾何畫板通過調(diào)整不同系數(shù)，觀察系數(shù)對于二次函數(shù)圖像的影響，體現(xiàn)了工具性、操作性和探究性，但是在情境性方面略有不足。

初中階段數(shù)學實驗課例的對比分析見表1。

表1 初中階段數(shù)學實驗課例的特點

表1對初中階段各課例中數(shù)學實驗的特點進行了匯總，大部分的數(shù)學實驗課例具有工具性、操作性、情境性和探究性。南京師范大學譚頂良教授認為 “初中數(shù)學實驗課堂教學評價的目的旨在改進教師教與學生學的行為”，因此在進行數(shù)學實驗教學中應(yīng)更關(guān)注操作性與探究性，使學生積極參與到探索真理的過程中去，尊重學生在數(shù)學實驗中的主體地位。