找準(zhǔn)切入口 破解隱圓問題有方*

江蘇省南京市第二十九中學(xué)高二(4)班 (210036)

劉樂舟 郭建華(指導(dǎo)教師)

在題設(shè)條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題設(shè)條件中，通過題意的深度理解和相關(guān)信息整合發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而可以利用圓的相關(guān)知識求解，我們稱這類問題為“隱圓”問題.下面就如何尋找解決“隱圓”問題的切入口做一些有益的探索.

類型一 圓的定義

到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓.

點(diǎn)評:求出線段AB的中點(diǎn)M的軌跡是解決本題的切入口，點(diǎn)M是“無”中生有的，為什么會想到求點(diǎn)M的軌跡呢？由圓C的弦AB為定長，顯然弦AB的中點(diǎn)的軌跡為圓，自然就想到了構(gòu)造圓，再轉(zhuǎn)化為方程求解.

類型二 垂直關(guān)系圓

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1:kx-y+2=0與直線l2:x+ky-2=0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時，點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最大值為_________.

點(diǎn)評:過定點(diǎn)的兩條直線的垂直關(guān)系是解題的切入口，解題的關(guān)鍵是將垂直的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而求出點(diǎn)P的軌跡，使問題獲解.

類型三 向量數(shù)量積圓

類型四 距離平方圓

點(diǎn)評:分析無理式函數(shù)的結(jié)構(gòu)是解題的切入口，再利用整體換元得到圓的方程，從而將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)而使問題破解.

類型五 阿波羅尼斯圓

例5 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l:y=2x-4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上.若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.

點(diǎn)評:將數(shù)量關(guān)系MA=2MO，通過“建系、設(shè)點(diǎn)、列式、代入、化簡”等步驟得到“阿波羅尼斯圓”是解題的切入口，再結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)而使問題破解.

以上幾個例子都是通過坐標(biāo)系，充分挖掘題設(shè)條件將隱圓問題實(shí)現(xiàn)化“隱性”為“顯性”，不愧為培養(yǎng)抽象核心素養(yǎng)的好素材，即在實(shí)現(xiàn)“化隱為顯”的過程，找到解決問題最本源的知識和思想方法，從題中的具體背景中抽象出一般的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)的語言予以表達(dá)，從而深化對概念的理解、掌握、運(yùn)用，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題.