隨機(jī)觀測(cè)下兩面跳的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型

王冰冰,何敬民

(天津理工大學(xué)理學(xué)院,天津 300384)

風(fēng)險(xiǎn)理論是保險(xiǎn)精算學(xué)中的重要組成部分.它主要以概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過程作為工具,對(duì)保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中建立的隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)分析,進(jìn)而得到一些重要結(jié)論以解決保險(xiǎn)實(shí)務(wù)中的現(xiàn)實(shí)問題.在風(fēng)險(xiǎn)理論中,破產(chǎn)理論是其核心內(nèi)容.自1998年GERBER和SHIU[1]提出用期望折現(xiàn)罰金函數(shù)(即Gerber-Shiu函數(shù))來研究風(fēng)險(xiǎn)模型中的破產(chǎn)問題,就揭開了研究者對(duì)破產(chǎn)理論研究的新篇章,如文獻(xiàn)[2].盡管GERBER和SHIU在風(fēng)險(xiǎn)理論方面作出了重大貢獻(xiàn),但是他們以及大多數(shù)以前的學(xué)者都是對(duì)古典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行研究、分析及擴(kuò)展,缺乏一定的現(xiàn)實(shí)性.隨著全球金融業(yè)和保險(xiǎn)業(yè)的發(fā)展,越來越多的學(xué)者對(duì)對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型產(chǎn)生濃烈的興趣.因?yàn)閷?duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型在石油公司和科研機(jī)構(gòu)等這些持續(xù)投資但是收益不穩(wěn)的公司有著非常廣泛的應(yīng)用,所以對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型自20世紀(jì)50-60年代由CRAMER[3],SEAL[4]和TAKACS[5]等人提出后,就有不少學(xué)者對(duì)其做了大量研究.如LI和WU[6],ANDREW[7], ALBRECHER,BADESCU 和LANDRIAULT[8],WEN[9].

近年來,對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型在國(guó)內(nèi)外得到了廣泛的研究.但一般都是在連續(xù)時(shí)間下考慮的,而在現(xiàn)實(shí)生活中,隨機(jī)性的觀測(cè)更具有合理性.因此,自Albrecher, Cheun和Thonhauser首次引入“隨機(jī)觀測(cè)”的概念,在連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間的風(fēng)險(xiǎn)模型之間建立起一個(gè)橋梁后,就有很多學(xué)者在這方面做出一些研究.例如:ALBRECHER,CHEUNG和THONHAUSER[10]研究了隨機(jī)觀測(cè)下經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的Gerber-Shiu函數(shù)以及期望折現(xiàn)分紅總量.彭丹等[11]研究了隨機(jī)觀測(cè)下對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的分紅問題.此外,對(duì)于對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的研究一般假定收益額是非負(fù)的.但在實(shí)際生活中,意外在所難免,導(dǎo)致收益額有可能是負(fù)的.因此有很多學(xué)者考慮了一種更為廣泛的模型:兩面跳的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型.如KOU和WANG[12]研究了跳擴(kuò)散過程的首中時(shí)問題.胡燕[13]考慮了兩面跳的對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型.受胡燕文章的啟發(fā),本文主要考慮兩面跳對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型在隨機(jī)觀測(cè)下的相關(guān)破產(chǎn)問題.并在最后給出雙指數(shù)情況下該模型破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式以及具體數(shù)值例子.

1 模型介紹

給定一完備概率空間(Ω,F,P),令保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余過程為

U(t)=u-ct+∑N(t)i=1Xi,

其中:U(0)=u表示保險(xiǎn)公司的初始資本;c>0是單位時(shí)間內(nèi)總的成本費(fèi)用;∑N(t)i=1Xi代表0到t時(shí)間內(nèi)保費(fèi)收入總額.其中{N(t),t≥0}是強(qiáng)度為λ>0的Poisson過程,N(t)表示0到t時(shí)間內(nèi)收取保費(fèi)的次數(shù),{Xi,i≥1}是一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列.Xi表示第i次收取的保費(fèi)額,它的值可以為正也可以為負(fù).因此定義其密度函數(shù)為f(x)=pf+(x)I{x≥0}+qf-(-x)I{x<0}(這里存在條件p+q=1).

在一般的風(fēng)險(xiǎn)模型中,公司盈余是在連續(xù)時(shí)間下觀測(cè)的.但是在實(shí)際生活中,隨機(jī)觀測(cè)比連續(xù)觀測(cè)更為合理.因此本文假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)模型在隨機(jī)時(shí)間{Wk,k≥0}處進(jìn)行觀測(cè),Wk表示第k次觀測(cè)的時(shí)刻(令W0=0),Tk=Wk-Wk-1表示第k-1次與第k次觀測(cè)之間的時(shí)間間隔.并且假定{Tk,k≥1}是一獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列且服從參數(shù)為ρ>0的指數(shù)分布,同時(shí){Tk,k≥1},{Xi,i≥1}與{N(t),t≥0}之間是相互獨(dú)立的.那么在隨機(jī)觀測(cè)下,記第k次觀測(cè)時(shí)保險(xiǎn)公司的盈余U(Wk)為

U(Wk)=U(Wk-1)-c(Wk-Wk-1)+

(>∑N(Wk)i=1Xi-∑N(Wk-1)i=1Xi.

記k*=inf{k≥1,U(Wk)<0|U(0)=u},則Wk*為保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻(這里只有當(dāng)被觀測(cè)時(shí)刻的盈余小于0時(shí),才被認(rèn)為是真正的破產(chǎn)).δ≥0為折扣因子,ω(x,y)(0≤x,y<∞)為非負(fù)可測(cè)函數(shù),I(E)為事件E的示性函數(shù),U(Wk*-1) 和|U(Wk*)|分別表示破產(chǎn)前一次觀測(cè)時(shí)的盈余和破產(chǎn)時(shí)的赤字,那么破產(chǎn)時(shí)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)被定義為

m(u)=E[e-δWk*ω(U(Wk*-1),

|U(Wk*)|)I(Wk*<∞)|U(0)=u].

上式也被稱為Gerber-Shiu函數(shù).顯然,當(dāng)ω(x,y)=y時(shí),m(u)變?yōu)槠飘a(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)函數(shù)

φ(u)=

E[e-δWk*|U(Wk*)|I(Wk*<∞)|U(0)=u].

當(dāng)ω(x,y)=1時(shí),m(u)變?yōu)槠飘a(chǎn)時(shí)的Laplace變換,即

φ(u)=E[e-δWk*I(Wk*<∞)|U(0)=u].

當(dāng)ω(x,y)=1,δ=0時(shí),m(u)變?yōu)槠飘a(chǎn)概率,即

ψ(u)=P{Wk*<∞)|U(0)=u}.

2 期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

這一部分分別給出了Gerber-Shiu函數(shù)、破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)函數(shù)、破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換以及破產(chǎn)概率所滿足的積分-微分方程.為了方便計(jì)算,對(duì)m(u)進(jìn)行如下定義:

m(u)={m1(u),u<0,

m2(u),u≥0.

定理1 若罰金函數(shù)ω(x,y)對(duì)任意x,y∈[0,+∞)有界,則期望折現(xiàn)罰金函數(shù)m(u)滿足下面的積分-微分方程.當(dāng)u<0時(shí),有

cm1′(u)+(λ+δ+ρ)m1(u)-

λp[∫-u0m1(u+x)f+(x)dx+

∫∞-um2(u+x)f+(x)dx]-

λq∫∞0m1(u-x)f-(x)dx-ρω(u,-u)=0.

當(dāng)u≥0時(shí),有

cm2′(u)+(λ+δ)m2(u)-

λp∫∞0m2(u+x)f+(x)dx-

λq[∫u0m2(u-x)f-(x)dx+

∫∞um1(u-x)f-(x)dx]=0.

證明在無窮小的時(shí)間區(qū)間(0,h)內(nèi).根據(jù)首次是否發(fā)生觀測(cè)或跳躍對(duì)m(u)進(jìn)行討論,存在以下3種情況:

(1)在(0,h)時(shí)間區(qū)間內(nèi),既沒有發(fā)生觀測(cè)行為,又沒有發(fā)生跳躍;

(2)在(0,h)時(shí)間區(qū)間內(nèi),觀測(cè)行為發(fā)生在跳躍之前,即發(fā)生一次觀測(cè)行為而沒有發(fā)生跳躍;

(3)在(0,h)時(shí)間區(qū)間內(nèi),收取保費(fèi)發(fā)生在觀測(cè)之前,即發(fā)生一次跳躍而沒有發(fā)生觀測(cè)行為.

當(dāng)u≥0時(shí),有

m2(u)=e-(λ+δ+ρ)hE[m2(u-ch)]+

∫h0ρe-ρte-(λ+δ)tE[m2(u-ct)]dt+

∫h0λe-λte-(δ+ρ)t[p∫∞0m2(u-ct+x)f+(x)dx+

q(∫u-ct0m2(u-ct-x)f-(x)dx+

∫∞u-ctm1(u-ct-x)f-(x)dx)]dt.

利用泰勒展開式可得

m2(u)-m2(u-ch)+

(λ+δ+ρ)hm2(u-ch)-

∫h0ρe-ρte-(λ+δ)tm2(u-ct)dt-

∫h0λe-λte-(δ+ρ)t[p∫∞0m2(u-ct+x)f+(x)dx+

q(∫u-ct0m2(u-ct-x)f-(x)dx+

∫∞u-ctm1(u-ct-x)f-(x)dx)]dt=0.

等式兩邊同時(shí)除以h并令h→0,得到

limh→0m2(u)-m2(u-ch)ch×c+(λ+δ)m2(u)-

λp∫∞0m2(u+x)f+(x)dx-

λq[∫u0m2(u-x)f-(x)dx+

∫∞um1(u-x)f-(x)dx]=0.

通過整理可以得到等式.

當(dāng)u<0時(shí),有

m1(u)=e-(λ+δ+ρ)hE[m1(u-ch)]+

∫h0ρe-ρte-(λ+δ)tE[ω(u-ct,ct-u)]dt+

∫h0λe-λte-(δ+ρ)t[q∫∞0m1(u-ct-x)f-(x)dx+

p(∫ct-u0m1(u-ct+x)f+(x)dx+

∫∞ct-um2(u-ct+x)dx)]dt.

同理利用泰勒展開式,并將等式兩邊同時(shí)除以h且令h→0,等式即可被得到.

類似于m(u),將φ(u),φ(u)和ψ(u)分別作如下定義:

φ(u)={φ1(u),u<0,

φ2(u),u≥0,

φ(u)={φ1(u),u<0,

φ2(u),u≥0,

ψ(u)={ψ1(u),u<0,

ψ2(u),u≥0.

定理2 破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)函數(shù)φ(u)滿足下面的積分-微分方程.當(dāng)u<0時(shí),有

cφ1′(u)+(λ+δ+ρ)φ1(u)-

λp[∫-u0φ1(u+x)f+(x)dx+

∫∞-uφ2(u+x)f+(x)dx]-

λq∫∞0φ1(u-x)f-(x)dx+ρu=0.

當(dāng)u≥0時(shí),有

cφ2′(u)+(λ+δ)φ2(u)-

λp∫∞0φ2(u+x)f+(x)dx-

λq[∫u0φ2(u-x)f-(x)dx+

∫∞uφ1(u-x)f-(x)dx]=0.

證明令ω(x,y)=y,等式即可被得到.

定理3 破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換φ(u)滿足下面的積分-微分方程.當(dāng)u<0時(shí),有

cφ1′(u)+(λ+δ+ρ)φ1(u)-

λp[∫-u0φ1(u+x)f+(x)dx+

∫∞-uφ2(u+x)f+(x)dx]-

λq∫∞0φ1(u-x)f-(x)dx-ρ=0.

當(dāng)u≥0時(shí),有

cφ2′(u)+(λ+δ)φ2(u)-

λp∫∞0φ2(u+x)f+(x)dx-

λq[∫u0φ2(u-x)f-(x)dx+

∫∞uφ1(u-x)f-(x)dx]=0.

證明令ω(x,y)=1,結(jié)論即可被得到.

定理4 破產(chǎn)概率ψ(u)滿足如下的積分-微分方程.當(dāng)u<0時(shí),有

cψ1′(u)+(λ+ρ)ψ1(u)-

λp[∫-u0ψ1(u+x)f+(x)dx+

∫∞-uψ2(u+x)f+(x)dx]-

λq∫∞0ψ1(u-x)f-(x)dx-ρ=0.

(1)

當(dāng)u≥0時(shí),有

cψ2′(u)+λψ2(u)-λp∫∞0ψ2(u+x)f+(x)dx-

λq[∫u0ψ2(u-x)f-(x)dx+

∫∞uψ1(u-x)f-(x)dx]=0.

(2)

證明令ω(x,y)=1,δ=0,等式即可被得到.

上面得到的關(guān)于Gerber-Shiu折現(xiàn)罰金函數(shù)、破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)函數(shù)、破產(chǎn)時(shí)的Laplace變換以及破產(chǎn)概率的方程均是變系數(shù)的積分-微分方程,其顯性解較難被求出.故下面以上跳與下跳均服從指數(shù)分布為例子求出破產(chǎn)概率的顯性解.

3 破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式

一般情況下,對(duì)于未知分布的積分-微分方程,其顯性解很難被得到.因此本節(jié)對(duì)于上跳額和下跳額均服從指數(shù)分布時(shí)破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式進(jìn)行討論,不妨設(shè)f+(x)=η1e-η1x(x≥0),f-(-x)=η2eη2x(x<0).

當(dāng)u<0時(shí),等式(1)變?yōu)?/p>

cψ1′(u)+(λ+ρ)ψ1(u)-

λp[∫-u0ψ1(u+x)η1e-η1xdx+

∫∞-uψ2(u+x)η1e-η1xdx]-

λq∫∞0ψ1(u-x)η2e-η2xdx-ρ=0.

(3)

將上面等式兩邊分別對(duì)u求導(dǎo)得

cψ1″(u)+(λ+ρ)ψ1′(u)-

λp[η1∫-u0ψ1(u+x)η1e-η1xdx-

η1ψ1(u)+η1∫∞-uψ2(u+x)η1e-η1xdx]-

λq[-η2∫∞0ψ1(u-x)η2e-η2xdx+η2ψ1(u)]=0.

(4)

作(4)-η1×(3)得到

cψ1″(u)+(λ+ρ-cη1)ψ1′(u)+

[λpη1-λqη2-(λ+ρ)η1]ψ1(u)+

λq(η1+η2)∫∞0ψ1(u-x)η2e-η2xdx+ρη1=0.

(5)

對(duì)于新得到的等式(5),對(duì)其關(guān)于u進(jìn)行求導(dǎo),有

cψ1″′(u)+(λ+ρ-cη1)ψ1″(u)+

[λpη1-λqη2-(λ+ρ)η1]ψ1′(u)+

λq(η1+η2)[-η2∫∞0ψ1(u-x)η2e-η2xdx+

η2ψ1(u)]=0.

(6)

由(6)+η2×(5)得到

cψ1″′(u)+[λ+ρ-c(η1-η2)]ψ1″(u)+

[λpη1-λqη2-(λ+ρ)(η1-η2)-

cη1η2]ψ1′(u)-ρη1η2ψ1(u)+ρη1η2=0.

此方程為常系數(shù)微分方程,解之得

ψ1(u)=1+C1er1u+C2er2u+C3er3u,

其中r1,r2,r3是以下特征方程的3個(gè)根:

cξ3+[λ+ρ-c(η1-η2)]ξ2+[λpη1-λqη2-

(λ+ρ)(η1-η2)-cη1η2]ξ-ρη1η2=0.

(7)

由于r1r2r3=ρη1η2c>0,說明特征方程的根均為正數(shù)或者有2個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù).又由于r1+r2+r3=-λ+ρ-c(η1-η2)c<0(根據(jù)凈收益為正可得到,即-c+λ(pη1-qη2)>0),如果3個(gè)根均是正數(shù),那么由r1+r2+r3>0得出矛盾.因此r1,r2,r3中必有2個(gè)為負(fù)數(shù)一個(gè)為正數(shù),這里不妨設(shè)r1,r2<0且r3>0.那么根據(jù)邊界條件limu→-∞ψ1(u)=1,可以得出C1=C2=0.進(jìn)而u<0的破產(chǎn)概率為

ψ1(u)=1+C3er3u.

(8)

同理對(duì)于u≥0,等式(2)變?yōu)?/p>

cψ2′(u)+λψ2(u)-λp∫∞0ψ2(u+x)η1e-η1xdx-

λq[∫u0ψ2(u-x)η2e-η2xdx+

∫∞uψ1(u-x)η2e-η2xdx]=0.

(9)

類似地得到其三階微分方程如下:

cψ2″′(u)+[λ-c(η1-η2)]ψ2″(u)+

[λpη1-λqη2-λ(η1-η2)-cη1η2]ψ2′(u)=0.

解該常系數(shù)微分方程得

ψ2(u)=C4+C5ek1u+C6ek2u,

其中k1和k2是以下特征方程的根:

cξ2+[λ-c(η1-η2)]ξ+[λpη1-λqη2-

λ(η1-η2)-cη1η2]=0.

(10)

由k1k2=λpη1-λqη2-λ(η1-η2)-cη1η2c>0和k1+k2=-λ-c(η1-η2)c<0,可以得到k1和k2均為負(fù)數(shù).根據(jù)邊界條件limu→+∞ψ2(u)=0,可以得出C4=0.進(jìn)而u≥0的破產(chǎn)概率為

ψ2(u)=C5ek1u+C6ek2u.

(11)

通過等式(8)和(11),接下來求解破產(chǎn)概率中系數(shù)的具體值.首先由破產(chǎn)概率在零點(diǎn)是連續(xù)的,聯(lián)立等式(8)和(11)可以得到以下等式:

C5+C6=1+C3.

(12)

然后將等式(8)和(11)分別代入等式(3)和(9)得到

(λ+ck1)C5ek1u+(λ+ck2)C6ek2u=

(λpη1η1-k1+λqη2η2+k1)C5ek1u+

(λpη1η1-k2+λqη2η2+k2)C6ek2u+

(λq+λqη2η2+r3C3-λqη2η2+k1C5-λqη2η2+k2C6)e-η2u

和

(λ+ρ+cr3)C3er3u=(λpη1η1-r3+λqη2η2+r3)C3er3u+

(λpη1η1-k1C5+λpη1η1-k2C6-λp-λpη1η1-r3C3)eη1u.

根據(jù)等式(7)和(10),很容易得到上面2個(gè)等式中ek1u、ek2u和er3u的相應(yīng)系數(shù)是相等的,則e-η2u和eη1u對(duì)應(yīng)的系數(shù)應(yīng)為0.即可得到

{1+η2η2+r3C3=η2η2+k1C5+η2η2+k2C6.

1+η1η1-r3C3=η1η1-k1C5+η1η1-k2C6. (13)

聯(lián)立等式(12)和(13),解得破產(chǎn)概率的具體系數(shù)值為

{C3=k1k2(r3-η1)(r3+η2)η1η2(r3-k1)(r3-k2),

C5=-r3k2(η2+k1)(η1-k1)η1η2(r3-k1)(k1-k2),

C6=r3k1(η2+k2)(η1-k2)η1η2(r3-k2)(k1-k2).

進(jìn)而破產(chǎn)概率在雙指數(shù)情況下的具體表達(dá)式被得到.

在參數(shù)λ,ρ,c,η1,η2,u滿足λ=5,ρ=1,c=0.3,η1=10.2,η2=10.3,u∈[-5,5] 的條件下,圖1描述了兩面跳對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型和古典對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率.

圖1 破產(chǎn)概率

從圖1可以看出,在其他條件保持不變的情況下,破產(chǎn)概率的變化受到初始盈余的影響并且隨初始盈余的增大而減小.詳細(xì)地,對(duì)于兩面跳對(duì)偶風(fēng)險(xiǎn)模型(即p=0.8,q=0.2)的破產(chǎn)概率曲線.當(dāng)u