對(duì)一個(gè)水杯重心變化問(wèn)題的定性分析

陳小明

(安徽省銅陵市第一中學(xué),安徽 銅陵 244000)

物體的重心是物體各部分所受重力等效集中的點(diǎn).高中物理在重心的教學(xué)時(shí),注重對(duì)重心概念的理解,要求學(xué)生理解重心與質(zhì)量分布和形狀有關(guān),知道形狀規(guī)則的均勻物體的重心在幾何中心,不要求進(jìn)行重心的定量計(jì)算.資料上經(jīng)常出現(xiàn)這樣一類題.

例題.一個(gè)空心均勻球殼里面注滿水,球的正下方有一小孔,當(dāng)水由小孔慢慢流出的過(guò)程中,空心球殼和水的共同重心將會(huì)

(A) 一直下降. (B) 一直上升.

(C) 先升高后降低. (D) 先降低后升高.

解析:開始時(shí)系統(tǒng)包含均勻球殼和內(nèi)部的水,系統(tǒng)重心在球心位置.水剛流出時(shí),水重心下降,系統(tǒng)重心先下降.最后水流完時(shí),重心又回到球心.所以選項(xiàng)(D)正確.這種分析存在一個(gè)問(wèn)題,初、末重心位置雖然相同,但中間過(guò)程會(huì)不會(huì)有反復(fù)的先減小后增大,無(wú)法從上面的分析中得出結(jié)論.有文章[1]通過(guò)定量計(jì)算分析出重心的變化規(guī)律,其中涉及到重心的公式、復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性以及求導(dǎo)確定重心最低位置,并且容器的形狀為橫截面積不隨高度變化,不然列重心的公式時(shí)難度增加.定量計(jì)算能看出重心的變化,但對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有一定的要求,下面通過(guò)重心的概念來(lái)定性分析重心的變化.

為了方便討論,我們將往球殼里注水的過(guò)程看成是一層層的水鋪起來(lái),每層水的質(zhì)量依次為m1、m2……,每層水的重心在圓形水層平面的幾何中心.如圖1所示,開始時(shí)球殼的重心在x0處,當(dāng)注入第一層水時(shí),分別找出這層水和球殼的重心,水看成是集中在O1點(diǎn)的質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn),球殼看成集中在x0處的質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn),此時(shí)系統(tǒng)的重心可定性判斷出在兩點(diǎn)之間設(shè)為x1位置.當(dāng)注入第二層水時(shí),這層水同樣看成是集中在O2點(diǎn)的質(zhì)量為m2的質(zhì)點(diǎn),前面球殼和第一層水由前面分析可知,看成是集中在x1處的物體,故此時(shí)系統(tǒng)重心在x1和O2之間的位置設(shè)為x2.以此類推,只要每次注入的水層重心在前一次系統(tǒng)重心的下面,系統(tǒng)的重心就在下降,直到注入第i層水時(shí)系統(tǒng)重心xi在水面的位置.在此之后,當(dāng)注入第i+1層水時(shí),如圖2所示,這層水看成是集中在Oi+1點(diǎn)的質(zhì)量為mi+1的質(zhì)點(diǎn),球殼和前面所有水看成是集中在xi處的物體,故此時(shí)系統(tǒng)重心在xi和Oi+1之間的位置設(shè)為xi+1,由于系統(tǒng)重心在Oi+1下方,故肯定在這層水面的下方,依次類推,以后每次注入的水都在前次系統(tǒng)重心的上方,故而重心是逐漸上升的.最后水注滿時(shí),很容易判斷出系統(tǒng)重心在x0處.綜合整個(gè)分析過(guò)程,可以得出結(jié)論,開始注入水時(shí),系統(tǒng)重心逐漸下降,當(dāng)系統(tǒng)重心在液面位置時(shí)重心位置最低,再注入水時(shí),系統(tǒng)重心逐漸上升,最后回到初始的位置.

圖1 重心下降

這種方法相比只分析初、末狀態(tài)的方法而言,能看出單調(diào)性的詳情.相比于定量計(jì)算,可以避免形狀的影響以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的處理,能讓學(xué)生清楚認(rèn)識(shí)重心的概念.