“植樹問題”之兩端都種的教學(xué)設(shè)計(jì)

鮑海林

[摘 要]植樹問題的教學(xué)主要是為了滲透數(shù)學(xué)模型思想。通過生活中一些常見的問題，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，提取其中的數(shù)學(xué)模型，然后再用發(fā)現(xiàn)的一些數(shù)學(xué)規(guī)律來解決生活中的一些簡(jiǎn)單問題。

[關(guān)鍵詞]植樹問題；建構(gòu)模型；尋找規(guī)律

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2019）11-0077-02

【教學(xué)內(nèi)容】人教版教材五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)106頁(yè)

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過合作探究、動(dòng)手實(shí)踐，經(jīng)歷將數(shù)學(xué)問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程。理解并掌握植樹棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系。

2.滲透模型、數(shù)形結(jié)合和對(duì)應(yīng)等基本數(shù)學(xué)思想，以及“化繁為簡(jiǎn)”等解決問題的策略。

3.培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【教學(xué)重點(diǎn)】理解植樹問題棵樹與間隔數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用“植樹問題”模型解決實(shí)際問題。

【教學(xué)難點(diǎn)】 構(gòu)建“植樹問題”模型，準(zhǔn)確應(yīng)用“植樹問題”模型解決實(shí)際問題。

【教學(xué)準(zhǔn)備】課件，圖片和小棒等。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境

師（課件出示設(shè)計(jì)圖（圖略）并指出要綠化的三處位置）：為了綠化生態(tài)園，需要在三處綠化植樹，請(qǐng)同學(xué)們觀察生態(tài)園的設(shè)計(jì)圖。

師：大家覺得這三處應(yīng)該種什么樹？怎樣種才美觀？

生1：風(fēng)景樹，每隔相等的一段距離種一棵，不同的樹間隔距離也不同。

師：今天我們就來一起研究植樹問題吧。

【設(shè)計(jì)意圖：合理處理教材能讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課產(chǎn)生極大的興趣。讓學(xué)生說植樹方案能夠激發(fā)學(xué)生對(duì)植樹問題的思考，滲透概念——間隔距離?！?/p>

二、探索交流，解決問題

1.建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

師：（例1）在全長(zhǎng)30米的花園路一旁種櫻花樹，每隔6米栽一棵（兩端都要栽）。一共要栽多少棵樹？

生2：5棵。

生3：6棵。

師：能用什么方法證明你的猜想呢？

生4：畫線段圖。

生5：擺一擺。

（學(xué)生先動(dòng)手實(shí)踐，再在小組里交流自己的看法，最后在課堂上說出自己的驗(yàn)證方法）

生6：我是通過畫線段圖的方式?？傞L(zhǎng)30米，每6米栽一棵，我就畫了5段， 數(shù)一數(shù)有6個(gè)端點(diǎn)，所以一共栽6棵。

生7：我是用擺模型的方法?？傞L(zhǎng)30米，每6米栽一棵，我就用一根小棒的長(zhǎng)度表示6米，需要6根小棒；然后用1個(gè)小正方形來表示1棵樹，要擺6個(gè)，所以一共栽6棵。

師：大家說得都非常棒，我們把道路被樹木間隔成的段數(shù)叫作間隔數(shù)。（結(jié)合課件及學(xué)生的作品進(jìn)行講解）

【設(shè)計(jì)意圖：通過猜想與驗(yàn)證，讓思想與實(shí)踐進(jìn)行碰撞，讓學(xué)生理解兩端都栽是什么意思，再讓學(xué)生在交流多種方法中清楚間隔數(shù)指的是什么，使得學(xué)生初步建立起數(shù)學(xué)模型，加強(qiáng)對(duì)植樹問題的理解?！?/p>

2.列式解決問題

師：你能結(jié)合自己所畫的圖或擺的模型列出算式并解答嗎？

生（齊）：能。

生8：30÷6+1=6（棵）。

師：能說一說你是怎樣列出算式的嗎？

生8：這條路全長(zhǎng)是30米，每隔6米栽一棵，那么30÷6=5，因?yàn)閮啥硕家?，就?huì)多出1棵，所以要+1，于是5+1=6（棵）。

師：（例2）現(xiàn)在因?yàn)橛芯w，所以只有24米可以種樹，每隔6米栽一棵（ 兩端都栽）。一共要栽多少棵樹？

生9：5棵。

師：是5棵嗎？大家擺一擺，看看是不是5棵。

生10：是5棵。

師：你能快速列出算式嗎？

生10：24÷6+1=5（棵） 。

師：說一說你是怎樣列式的。

生10：這條路全長(zhǎng)是24米，每隔6米栽一棵，那么24÷6=4，因?yàn)閮啥硕荚?，所?+1=5（棵），要栽5棵。

【設(shè)計(jì)意圖：例1是讓學(xué)生先嘗試列式解答，再結(jié)合圖形進(jìn)行理解和消化，明白算式里為什么要+1，從而理解算理。由例1已獲得的經(jīng)驗(yàn)來解決例2相同情況的問題，意在讓學(xué)生熟悉解題方法、積累經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)形結(jié)合的魅力，引發(fā)學(xué)生的成就感?！?/p>

3.回顧解題過程，尋找解決此類問題的規(guī)律和技巧

（1）從算理角度觀察

師：對(duì)于解決這種兩端都栽的情況，我們可以怎樣快速得出答案？

（教師引導(dǎo)學(xué)生回憶例1和例2的解題過程，結(jié)合算式 30÷6+1=6（棵）和24÷6+1=5 （棵）得出規(guī)律）

生11：棵數(shù)=總長(zhǎng)÷間隔距離+1。

（2）從圖形方面觀察

師：還有沒有其他不同的看法？

生12：棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

（教師指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作探究棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系并記錄數(shù)據(jù)）

得出規(guī)律：棵數(shù)=間隔數(shù)+1

總長(zhǎng)÷間隔距離 =間隔數(shù)

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于小學(xué)生來說，要探索知識(shí)間的規(guī)律是比較難的，所以教師要想辦法化繁為簡(jiǎn)，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多方面進(jìn)行觀察分析，從而獲得知識(shí)的內(nèi)在關(guān)系?！?/p>

三、鞏固應(yīng)用

師：我們通過探究得出了解決此類問題的規(guī)律。如果有一條路是全長(zhǎng)50米的沿湖路，要在兩旁栽桃樹，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵樹？（學(xué)生板演）

師：其實(shí)在日常生活中我們也有其他類似于植樹模型的問題。比如，在一條全長(zhǎng)2千米的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50米安裝一盞。一共要安裝多少盞？

師：除了路燈，大家覺得現(xiàn)實(shí)生活中還有哪些類似于植樹問題的實(shí)例？

生：上樓梯的臺(tái)階，教室的座位，窗戶的不銹鋼鋼管，鐘表的指針走動(dòng)方式……

【設(shè)計(jì)意圖：第一個(gè)問題是鍛煉學(xué)生運(yùn)用新知去解決實(shí)際問題的能力，第二個(gè)問題是拓展學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生回歸生活，使學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，又運(yùn)用于生活。】

四、拓展延伸，激發(fā)興趣

師：周長(zhǎng)60米的圓形湖的四周，每隔10米栽一棵樹。一共要栽多少棵樹？

生13：60÷10=6（棵）。

師：為什么不“+1”呢？

生13：因?yàn)樗粚儆趦啥硕挤N的情況，它的首尾兩端是重合的，所以不能+1。

【設(shè)計(jì)意圖：誘發(fā)學(xué)生深層次的思考——能不能用前面所得規(guī)律來解題？為什么？數(shù)學(xué)中的一些規(guī)律只適用于特定情況，不能生搬硬套，此題不僅能檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，還能滲透化曲為直的數(shù)學(xué)思想，將學(xué)生的思維推向一個(gè)新的高度?！?/p>

五、收獲喜悅，欣賞美景

師展示綠化植樹后的生態(tài)園圖片（略）。

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生感受勞動(dòng)之美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之魅力。 】

【課后反思】

1.正確解讀和合理處理教材

教材上是讓學(xué)生在一條100米的道路上植樹然后探究植樹問題，因?yàn)檫@條路比較長(zhǎng)，學(xué)生既不知道從何下手，又不感興趣，課堂氣氛沉悶，學(xué)習(xí)積極性也差。為此，我設(shè)計(jì)了一個(gè)美麗生態(tài)園，學(xué)生一下子就有興趣了。通過綠化生態(tài)園的植樹問題將距離縮短為30米和24米，栽種方式既有直線型和也有圓弧型，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生逐步探究，學(xué)生在解決實(shí)際問題中獲得了知識(shí)，課堂教學(xué)事半功倍。

2.滲透數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生建立植樹模型

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠化抽象為形象，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

學(xué)生建立模型需要有一個(gè)過程，從初步感知猜想到畫一畫、擺一擺、看一看、辨一辨，一步步構(gòu)建自己的植樹模型。從觀察圖形到列出算式，再由算式算理回到圖形分析，數(shù)與形始終聯(lián)系在一起，學(xué)生在不斷的變換中感受著數(shù)形結(jié)合的思想。這些思想能讓學(xué)生對(duì)植樹問題的認(rèn)識(shí)達(dá)到一個(gè)新的高度從而構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

（責(zé)編 金 鈴）